22. Coeficiente de restitución y velocidad relativa de separación

El coeficiente de restitución compara cómo se separan los cuerpos con la rapidez relativa que tenían al aproximarse.

22.1 Por qué necesitamos otra relación

En una colisión unidimensional aislada, la conservación de la cantidad de movimiento aporta una ecuación para las dos velocidades finales. Para completar el problema necesitamos información sobre cómo se separan los cuerpos.

El coeficiente de restitución, representado por e, resume esa información mediante velocidades relativas medidas antes y después del impacto.

22.2 Velocidad de un cuerpo respecto del otro

La velocidad de A respecto de B es la diferencia:

vA/B = vA − vB

No se suman automáticamente los módulos. La resta algebraica funciona si ambas velocidades se expresan sobre el mismo eje y respecto del mismo observador.

22.3 Rapidez relativa de aproximación

Supongamos que A está a la izquierda de B. Para que la distancia disminuya debe cumplirse vAi > vBi. La rapidez con la que se acercan es:

rapidez de aproximación = vAi − vBi

El resultado es positivo. Por ejemplo, si vAi = +4 m/s y vBi = −2 m/s, se aproximan a 6 m/s.

22.4 Rapidez relativa de separación

Inmediatamente después, B debe alejarse de A. Con el mismo orden espacial, esto exige vBf > vAf:

rapidez de separación = vBf − vAf

Los cuerpos pueden moverse ambos hacia la derecha y aun así separarse si B es más rápido.

22.5 Definición del coeficiente de restitución

Después

vBf − vAf

Rapidez relativa de separación

Antes

vAi − vBi

Rapidez relativa de aproximación

e = (vBf − vAf) / (vAi − vBi)

Esta forma supone que A está a la izquierda de B en las dos etapas cercanas al contacto.

22.6 Ecuación de restitución

La definición puede escribirse sin cociente:

vBf − vAf = e(vAi − vBi)

Esta ecuación relaciona las dos velocidades finales. Junto con la conservación del momento forma un sistema de dos ecuaciones lineales.

22.7 Interpretar los valores de e

e = 0
Los cuerpos no tienen separación relativa inmediata.
0 < e < 1
Se separan más lentamente de lo que se aproximaron.
e = 1
Las rapideces relativas antes y después son iguales.

Para choques pasivos comunes se usa 0 ≤ e ≤ 1. En interacciones que liberan energía interna puede medirse e > 1, un caso que requiere analizar cuidadosamente el balance energético.

22.8 El coeficiente no tiene unidades

Tanto el numerador como el denominador se expresan en m/s:

[e] = (m/s)/(m/s) = 1

e es adimensional. Si un resultado queda expresado en m/s, se calculó una diferencia de velocidades, no el coeficiente.

22.9 Calcular e a partir de mediciones

Si conocemos las cuatro velocidades, primero comprobamos que antes había aproximación y después separación. Luego formamos ambas diferencias positivas.

Ejemplo: vAi = +5 m/s, vBi = 0, vAf = +1 m/s y vBf = +3 m/s:

e = (3 − 1)/(5 − 0) = 2/5 = 0,4

22.10 No es una constante universal del material

El valor medido puede depender de los dos materiales, la velocidad de impacto, la temperatura, la geometría, el estado de las superficies y la deformación.

Por eso es más preciso decir “coeficiente de restitución de este par bajo estas condiciones” que asignar un único valor exacto a un material aislado.

22.11 Combinar restitución y momento

Para un sistema aislado usamos:

mAvAi + mBvBi = mAvAf + mBvBf
vBf − vAf = e(vAi − vBi)

La primera ecuación controla el movimiento total; la segunda controla la separación relativa.

22.12 Despejar mediante el momento total

Definimos Pi = mAvAi + mBvBi y Δvaprox = vAi − vBi. De restitución:

vBf = vAf + eΔvaprox

Sustituyendo en el balance de momento:

Pi = (mA + mB)vAf + mBeΔvaprox

22.13 Fórmulas para las velocidades finales

vAf = [Pi − mBe(vAi − vBi)] / (mA + mB)
vBf = [Pi + mAe(vAi − vBi)] / (mA + mB)

Estas expresiones requieren masas positivas, velocidades con signo, un e conocido y conservación del momento.

22.14 Comprobar los extremos

Con e = 0, ambas fórmulas producen:

vAf = vBf = Pi/(mA + mB)

Con e = 1 se recupera la inversión de la velocidad relativa estudiada para choques elásticos. Estos extremos son pruebas útiles para fórmulas y programas.

22.15 Qué ocurre si hay impulso externo

La ecuación de restitución describe el comportamiento relativo durante el contacto, pero no elimina las acciones externas. Si Jext es apreciable:

Pf = Pi + Jext

Debemos combinar restitución con este balance exacto. Usar Pf = Pi sin justificarlo puede producir velocidades incorrectas aunque e sea conocido.

22.16 Medir e en un experimento

  1. Definí un eje y registrá qué cuerpo está a la izquierda.
  2. Medí velocidades inmediatamente antes y después del contacto.
  3. Calculá las diferencias relativas con el orden correcto.
  4. Descartá ensayos sin aproximación clara o con movimiento fuera del eje.
  5. Repetí el experimento y reportá dispersión e incertidumbre.

Usar fotogramas muy alejados del impacto introduce el efecto de fuerzas externas entre la colisión y la medición.

22.17 Método de resolución

1. Fijar orden espacial y eje
2. Confirmar aproximación
3. Escribir momento
4. Escribir restitución
5. Resolver velocidades
6. Verificar separación y balance

El orden de las diferencias es esencial: aproximación vAi − vBi y separación vBf − vAf.

22.18 Actividad interactiva: variar la restitución

Modificá masas, velocidades iniciales y e. El laboratorio calcula el estado final y muestra qué fracción de la rapidez relativa de aproximación reaparece en la separación.

Laboratorio de restitución

A está a la izquierda de B; el sistema se considera aislado durante el choque.

Sin separación relativa60 % recuperadoSeparación elástica
Separación = 0,60 · 5,00 m/s = 3,00 m/s
Velocidades antes y después de un choque con restitución variable Dos cuerpos se aproximan y se separan con una rapidez relativa determinada por el coeficiente de restitución. ANTESDESPUÉS A B vAi = +5,0vBi = 0,0 A B vAf = +0,2vBf = +3,2
Rapidez de aproximación5,00 m/s
Rapidez de separación3,00 m/s
Velocidad final de A+0,20 m/s
Velocidad final de B+3,20 m/s
Momento antes / después+10,00 / +10,00 kg·m/s
Impulsos sobre A / B−9,60 / +9,60 N·s

Se verifican el balance de momento y la ecuación de restitución.

Los cuerpos recuperan el 60 % de la rapidez relativa de aproximación.

22.19 Implementar restitución con JavaScript

La función combina el momento inicial y la velocidad relativa:

function resolverConRestitucion(
  masaA, velocidadAi, masaB, velocidadBi, restitucion
) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }
  if (restitucion < 0) {
    throw new Error("El coeficiente no puede ser negativo");
  }

  const momentoInicial = masaA * velocidadAi + masaB * velocidadBi;
  const aproximacion = velocidadAi - velocidadBi;
  const masaTotal = masaA + masaB;
  const velocidadAf =
    (momentoInicial - masaB * restitucion * aproximacion) / masaTotal;
  const velocidadBf =
    (momentoInicial + masaA * restitucion * aproximacion) / masaTotal;

  return { velocidadAf, velocidadBf, aproximacion,
    separacion: velocidadBf - velocidadAf };
}

console.log(resolverConRestitucion(2, 5, 3, 0, 0.6));

La salida muestra velocidades finales +0,2 m/s y +3,2 m/s, con aproximación de 5 m/s y separación de 3 m/s.

22.20 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: medir e

vAi = +4 m/s, vBi = −2 m/s, vAf = −1 m/s y vBf = +3 m/s:

e = [3 − (−1)]/[4 − (−2)] = 4/6 ≈ 0,67

Ejemplo 2: predecir velocidades

mA = 2 kg, mB = 3 kg, vAi = +5 m/s, vBi = 0 y e = 0,6:

Pi = 10 kg·m/s     Δvaprox = 5 m/s
vAf = +0,2 m/s     vBf = +3,2 m/s

Ejemplo 3: masas iguales

mA = mB, vAi = +4 m/s, vBi = 0 y e = 0,5:

vAf = +1 m/s     vBf = +3 m/s

La separación es 2 m/s, la mitad de la aproximación de 4 m/s.

22.21 Tolerancias y casos límite

  • Sin aproximación: si vAi − vBi = 0, el cociente que define e no puede calcularse.
  • Aproximación muy pequeña: la incertidumbre relativa de e puede crecer mucho.
  • e cercano a cero: las velocidades finales deben resultar casi iguales.
  • e cercano a uno: las rapideces relativas antes y después deben ser casi iguales.
  • Datos experimentales: pequeños valores fuera de [0, 1] pueden deberse a incertidumbre; no deben recortarse sin análisis.

22.22 Limitaciones del modelo

Un único coeficiente describe solo la componente relativa sobre la línea de impacto. No representa por sí mismo rozamiento tangencial, rotación, deformaciones complejas ni fuerzas externas.

En colisiones con varias dimensiones será necesario combinar el modelo de contacto con componentes vectoriales y condiciones geométricas adicionales.

22.23 Errores frecuentes

  • Invertir numerador y denominador: e compara separación con aproximación.
  • Usar velocidades de un solo cuerpo: la definición emplea velocidades relativas.
  • Sumar rapideces en todos los casos: deben calcularse diferencias con signo.
  • Cambiar el orden entre antes y después: aquí se usa A − B antes y B − A después.
  • Calcular e cuando no había aproximación: el evento no corresponde al modelo.
  • Suponer que e conserva el momento: el balance del momento debe justificarse por separado.
  • Tratar e como una constante universal: depende del par y las condiciones.
  • Asignarle unidades: es un cociente adimensional.
  • Usar e negativo: contradice la definición mediante rapideces positivas.

22.24 Ejercicios propuestos

  1. A está a la izquierda de B. Antes tienen velocidades +5 m/s y 0; después, +1 m/s y +3 m/s. Calculá e.
  2. Antes de un choque frontal, vAi = +4 m/s y vBi = −2 m/s. Después, vAf = −1 m/s y vBf = +3 m/s. Hallá e.
  3. Explicá qué significan e = 0, e = 0,5 y e = 1.
  4. mA = 2 kg, mB = 3 kg, vAi = +5 m/s, vBi = 0 y e = 0,6. Calculá vAf y vBf.
  5. Dos masas de 1 kg poseen vAi = +4 m/s, vBi = 0 y e = 0,5. Calculá las velocidades finales.
  6. mA = 1 kg, mB = 3 kg, vAi = +6 m/s, vBi = 0 y e = 1. Hallá el estado final.
  7. ¿Por qué no puede determinarse e cuando vAi = vBi?
  8. Un ensayo da aproximación de 8,0 ± 0,2 m/s y separación de 4,0 ± 0,2 m/s. Estimá e y explicá por qué no debe informarse como un valor exacto.
  9. En el laboratorio, mantené los datos iniciales y compará e = 0; 0,5 y 1. Registrá las velocidades finales y la separación.
Ver soluciones y explicaciones
  1. e = (3 − 1)/(5 − 0) = 0,4.
  2. e = [3 − (−1)]/[4 − (−2)] = 4/6 ≈ 0,67.
  3. Con e = 0 no hay separación relativa inmediata; con e = 0,5 reaparece la mitad de la rapidez relativa; con e = 1 la separación iguala la aproximación.
  4. Pi = 10 y la aproximación es 5. vAf = (10 − 3·0,6·5)/5 = +0,2 m/s; vBf = (10 + 2·0,6·5)/5 = +3,2 m/s.
  5. Pi = 4 y la aproximación es 4. vAf = (4 − 1·0,5·4)/2 = +1 m/s; vBf = (4 + 1·0,5·4)/2 = +3 m/s.
  6. Pi = 6 y la aproximación es 6. vAf = (6 − 3·6)/4 = −3 m/s; vBf = (6 + 1·6)/4 = +3 m/s.
  7. La rapidez relativa de aproximación es cero, por lo que el denominador de la definición se anula. Además, cuerpos separados con igual velocidad no se alcanzan.
  8. El valor central es e = 4/8 = 0,5. Las incertidumbres de ambas velocidades relativas se propagan al cociente, por lo que corresponde acompañar el resultado con una incertidumbre o rango.
  9. Con e = 0: vAf = vBf = +2 m/s y separación 0. Con e = 0,5: vAf = +0,5 m/s, vBf = +3 m/s y separación 2,5 m/s. Con e = 1: vAf = −1 m/s, vBf = +4 m/s y separación 5 m/s.

22.25 Ideas para recordar

  • e compara rapidez relativa de separación con rapidez relativa de aproximación.
  • Con A a la izquierda de B, e = (vBf − vAf)/(vAi − vBi).
  • El coeficiente es adimensional y no puede calcularse sin aproximación.
  • e = 0 produce velocidad final común; e = 1 recupera el caso elástico.
  • Para choques pasivos comunes, 0 ≤ e ≤ 1.
  • El valor depende del par de cuerpos y de las condiciones del impacto.
  • Restitución y conservación del momento son relaciones diferentes.
  • Juntas permiten calcular las dos velocidades finales.
  • Los datos medidos deben tomarse cerca del contacto y acompañarse con tolerancia.

En el próximo tema aplicaremos estas relaciones a las colisiones parcialmente inelásticas.