Cantidad de Movimiento y Colisiones - 23. Colisiones parcialmente inelásticas

23.1 Entre quedar unidos y recuperar completamente el movimiento

En una colisión parcialmente inelástica, los cuerpos se separan después del impacto, pero la rapidez relativa de separación es menor que la rapidez relativa de aproximación.

0 < e < 1

El caso ocupa el intervalo entre dos extremos ideales: velocidad final común cuando e = 0 y separación elástica cuando e = 1.

23.2 Inelástico no significa necesariamente unidos

Es frecuente usar “inelástico” como sinónimo de “los cuerpos quedan pegados”, pero eso describe solo el extremo perfectamente inelástico.

Cuando 0 < e < 1, existe separación relativa:

v_Bf − v_Af > 0

Los cuerpos rebotan o se apartan, aunque con menor rapidez relativa que antes.

23.3 El espectro de resultados

e = 0

Sin separación relativa.

Velocidad final común.

0 < e < 1

Separación parcial.

Choque parcialmente inelástico.

e = 1

Separación completa.

Choque elástico.

Modificar e de manera continua desplaza las velocidades finales entre ambos extremos.

23.4 Modelo y supuestos

Trabajaremos con dos cuerpos, masas constantes, movimiento en una dimensión y velocidades medidas por el mismo observador. A está inicialmente a la izquierda de B y debe alcanzarlo:

v_Ai > v_Bi

Además, consideramos despreciable el impulso externo durante el contacto para conservar el momento total.

23.5 Las dos ecuaciones necesarias

La conservación de la cantidad de movimiento aporta:

m_Av_Ai + m_Bv_Bi = m_Av_Af + m_Bv_Bf

La restitución aporta:

v_Bf − v_Af = e(v_Ai − v_Bi)

Con masas, velocidades iniciales y e conocidos, estas dos ecuaciones determinan las dos velocidades finales.

23.6 Fórmulas generales

Definimos P_i = m_Av_Ai + m_Bv_Bi. Entonces:

v_Af = [P_i − m_Be(v_Ai − v_Bi)] / (m_A + m_B)

v_Bf = [P_i + m_Ae(v_Ai − v_Bi)] / (m_A + m_B)

No se reemplaza e por uno: su valor intermedio es precisamente lo que distingue este caso.

23.7 Blanco inicialmente en reposo

Si v_Bi = 0, las expresiones se simplifican:

v_Af = [(m_A − em_B)/(m_A + m_B)]v_Ai

v_Bf = [(1 + e)m_A/(m_A + m_B)]v_Ai

El signo de v_Af depende de la comparación entre m_A y em_B.

23.8 Masas iguales y blanco en reposo

Con m_A = m_B = m y v_Bi = 0:

v_Af = [(1 − e)/2]v_Ai

v_Bf = [(1 + e)/2]v_Ai

Para 0 < e < 1, ambos cuerpos avanzan, pero B queda más rápido y se separa de A.

23.9 Predecir el sentido final de A

Con B inicialmente en reposo y v_Ai positiva:

m_A < e·m_B← A rebota

m_A = e·m_BA se detiene

m_A > e·m_BA continúa hacia delante →

Esta prueba rápida no reemplaza el cálculo de las velocidades, pero permite anticipar el signo de v_Af.

23.10 La separación puede ocurrir en el mismo sentido

Los cuerpos no necesitan viajar en sentidos opuestos. Si v_Af = +1 m/s y v_Bf = +3 m/s, ambos avanzan hacia la derecha, pero la distancia aumenta porque B se mueve más rápido.

v_Bf > v_Af ⇒ separación

23.11 Momento conservado y energía cinética menor

En el modelo aislado:

P_f = P_i

Para una colisión parcialmente inelástica pasiva, la energía cinética traslacional disminuye:

K_f < K_i

No debemos usar conservación de energía cinética como segunda ecuación, porque eso forzaría el extremo e = 1.

23.12 Calcular la variación energética directamente

Una vez obtenidas las velocidades finales, calculamos:

K_i = ½m_Av_Ai² + ½m_Bv_Bi²

K_f = ½m_Av_Af² + ½m_Bv_Bf²

ΔK = K_f − K_i < 0

Este procedimiento permite verificar el resultado sin introducir todavía fórmulas especiales para la diferencia energética.

23.13 Transformaciones durante el impacto

La disminución de energía cinética puede aparecer como deformación permanente, vibraciones, aumento de energía interna o sonido. La energía total no desaparece.

El valor de e resume cuánto movimiento relativo reaparece, pero no identifica por sí solo cómo se distribuyeron todas esas transformaciones.

23.14 Impulsos individuales

Después de calcular las velocidades:

J_A = m_A(v_Af − v_Ai)

J_B = m_B(v_Bf − v_Bi)

Si el impulso externo es despreciable, J_A + J_B = 0. La pérdida de energía cinética no rompe esta igualdad.

23.15 Comparar con los extremos

Manteniendo masas y velocidades iniciales fijas, podemos resolver tres veces:

El valor de e modifica la separación relativa.
Valor	Condición final	Uso como control
e = 0	v_Af = v_Bf	Extremo sin separación.
0 < e < 1	Separación parcial	El resultado debe quedar entre ambos extremos.
e = 1	Separación elástica	Extremo de recuperación completa.

23.16 Determinar e desde un choque observado

Si conocemos las cuatro velocidades, calculamos:

e = (v_Bf − v_Af)/(v_Ai − v_Bi)

Un resultado estrictamente entre cero y uno es compatible con una colisión parcialmente inelástica. También debemos comprobar el balance de momento para evaluar si el sistema fue aproximadamente aislado.

23.17 Procedimiento de resolución

1. Definir sistema y eje

2. Confirmar aproximación

3. Verificar 0 < e < 1

4. Aplicar momento y restitución

5. Calcular velocidades

6. Comprobar separación, P y K

La energía cinética se evalúa después de resolver; no se impone su conservación.

23.18 Actividad interactiva: recorrer el intervalo inelástico

Variá e entre 0,05 y 0,95. El marcador ubica el choque entre los extremos, y las barras comparan la energía cinética antes y después.

Laboratorio de colisión parcialmente inelástica

A está a la izquierda de B y el impulso externo se considera despreciable.

Masa A: 2,0 kg Masa B: 3,0 kg v_Ai: +5,0 m/s v_Bi: 0,0 m/s Restitución: e = 0,60

e = 0parcialmente inelásticoe = 1

Separación = 0,60 · 5,00 m/s = 3,00 m/s

Antes

25,00 J

Después

15,40 J

Velocidad final de A+0,20 m/s

Velocidad final de B+3,20 m/s

Momento antes / después+10,00 / +10,00 kg·m/s

Energía antes / después25,00 / 15,40 J

Variación de energía−9,60 J

Impulsos sobre A / B−9,60 / +9,60 N·s

El momento se conserva y los cuerpos se separan a 3,00 m/s.

La energía cinética disminuye 9,60 J y queda en 61,60 % del valor inicial.

23.19 Implementar el modelo con JavaScript

La validación distingue este intervalo de sus dos extremos:

function colisionParcialmenteInelastica(
  masaA, velocidadAi, masaB, velocidadBi, restitucion
) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }
  if (!(restitucion > 0 && restitucion < 1)) {
    throw new Error("Se requiere 0 < e < 1");
  }

  const aproximacion = velocidadAi - velocidadBi;
  if (aproximacion <= 0) {
    throw new Error("Los cuerpos no se aproximan");
  }

  const momentoInicial = masaA * velocidadAi + masaB * velocidadBi;
  const masaTotal = masaA + masaB;
  const velocidadAf =
    (momentoInicial - masaB * restitucion * aproximacion) / masaTotal;
  const velocidadBf =
    (momentoInicial + masaA * restitucion * aproximacion) / masaTotal;

  return { velocidadAf, velocidadBf,
    separacion: velocidadBf - velocidadAf };
}

console.log(colisionParcialmenteInelastica(2, 5, 3, 0, 0.6));

La salida muestra velocidades finales +0,2 m/s y +3,2 m/s, con separación relativa de 3 m/s.

23.20 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: blanco en reposo

m_A = 2 kg, m_B = 3 kg, v_Ai = +5 m/s, v_Bi = 0 y e = 0,6:

v_Af = +0,2 m/s v_Bf = +3,2 m/s

K_i = 25 J K_f = 15,4 J ΔK = −9,6 J

Ejemplo 2: masas iguales

Dos cuerpos de 1 kg, v_Ai = +4 m/s, v_Bi = 0 y e = 0,5:

v_Af = +1 m/s v_Bf = +3 m/s

K_i = 8 J K_f = 5 J ΔK = −3 J

Ejemplo 3: choque frontal

m_A = 1 kg, m_B = 2 kg, v_Ai = +4 m/s, v_Bi = −1 m/s y e = 0,5:

v_Af = −1 m/s v_Bf = +1,5 m/s

La aproximación era 5 m/s y la separación es 2,5 m/s.

23.21 Verificación física y numérica

Momento: P_f − P_i debe ser aproximadamente cero.
Restitución: v_Bf − v_Af debe igualar e(v_Ai − v_Bi).
Separación: con 0 < e, la diferencia final debe ser positiva.
Energía: para el choque pasivo, K_f debe ser menor que K_i.
Extremos: al acercar e a cero o uno, el resultado debe acercarse a los modelos límite.

23.22 Medición e incertidumbre

Un valor experimental como e = 0,62 no convierte al choque real en un modelo exacto. Las velocidades poseen incertidumbre y el contacto puede incluir rotación o componentes laterales.

Conviene informar el valor con su precisión, repetir ensayos y comprobar por separado cuánto cambia el momento total medido.

23.23 Errores frecuentes

Suponer que los cuerpos quedan unidos: con 0 < e hay separación relativa.
Conservar energía cinética: eso corresponde al extremo e = 1.
Usar solo el momento: quedan dos velocidades finales desconocidas.
Olvidar que e es un dato: debe medirse o proporcionarse.
Invertir la diferencia final: con A a la izquierda se usa v_Bf − v_Af.
Confundir mismo sentido con cuerpos unidos: pueden avanzar juntos en dirección pero con velocidades distintas.
No comprobar la aproximación inicial: A debe alcanzar a B.
Interpretar ΔK < 0 como desaparición de energía: hubo transformación.
Aplicar e fuera de sus condiciones experimentales: puede variar con el impacto.

23.24 Ejercicios propuestos

Explicá la diferencia entre una colisión perfectamente y una parcialmente inelástica.
m_A = 2 kg, m_B = 3 kg, v_Ai = +5 m/s, v_Bi = 0 y e = 0,6. Calculá las velocidades finales.
Para el ejercicio anterior, verificá momento, restitución y variación de energía cinética.
Dos masas iguales parten con v_Ai = +6 m/s y v_Bi = 0. Si e = 0,4, hallá el estado final.
m_A = 1 kg, m_B = 2 kg, v_Ai = +4 m/s, v_Bi = −1 m/s y e = 0,5. Calculá ambas velocidades finales.
Con B en reposo y v_Ai positiva, deducí la condición para que A quede detenido.
Un choque medido tiene aproximación de 6 m/s y separación de 1,5 m/s. Calculá e y clasificá el resultado.
Dos cuerpos terminan moviéndose a +2 m/s y +5 m/s. Explicá por qué pueden estar separándose aunque ambos tengan el mismo signo.
En el laboratorio, mantené las condiciones iniciales y compará e = 0,1; 0,5 y 0,9. Registrá K_f y las velocidades.

Ver soluciones y explicaciones

En la perfectamente inelástica, e = 0 y los cuerpos comparten velocidad final. En la parcialmente inelástica, 0 < e < 1 y vuelven a separarse.
P_i = 10 y la aproximación es 5. Resultan v_Af = +0,2 m/s y v_Bf = +3,2 m/s.
P_f = 2·0,2 + 3·3,2 = 10 kg·m/s. La separación es 3 m/s = 0,6·5 m/s. K_i = 25 J, K_f = 15,4 J y ΔK = −9,6 J.
Para masas iguales, v_Af = [(1 − 0,4)/2]·6 = +1,8 m/s y v_Bf = [(1 + 0,4)/2]·6 = +4,2 m/s.
P_i = 2 y la aproximación es 5. v_Af = (2 − 2·0,5·5)/3 = −1 m/s; v_Bf = (2 + 1·0,5·5)/3 = +1,5 m/s.
v_Af = [(m_A − em_B)/(m_A + m_B)]v_Ai. Para que sea cero debe cumplirse m_A = em_B.
e = 1,5/6 = 0,25. Es parcialmente inelástico.
Si el primer cuerpo está a la izquierda, la separación requiere que el segundo sea más rápido: 5 m/s > 2 m/s.
Con los valores iniciales del laboratorio: para e = 0,1, v_Af = +1,7 m/s, v_Bf = +2,2 m/s y K_f = 10,15 J; para e = 0,5, v_Af = +0,5 m/s, v_Bf = +3 m/s y K_f = 13,75 J; para e = 0,9, v_Af = −0,7 m/s, v_Bf = +3,8 m/s y K_f = 22,15 J.

23.25 Ideas para recordar

Una colisión parcialmente inelástica cumple 0 < e < 1.
Los cuerpos se separan, pero recuperan solo parte de la rapidez relativa.
En un sistema aislado se conserva el momento, no la energía cinética.
Momento y restitución determinan las dos velocidades finales.
Los cuerpos pueden separarse mientras se mueven en el mismo sentido.
Con B en reposo, el signo final de A depende de m_A − em_B.
Los impulsos individuales siguen siendo iguales y opuestos.
La variación de K se calcula después de hallar las velocidades.
Los extremos e = 0 y e = 1 sirven para controlar el resultado.

En el próximo tema estudiaremos las transformaciones de energía y los límites físicos de un choque.