25. Conservación de la cantidad de movimiento en dos dimensiones

25.1 Del movimiento sobre una recta al movimiento en el plano

Hasta ahora cada velocidad podía describirse con un número y un signo. En dos dimensiones también importa la dirección: una pelota puede salir hacia la derecha y arriba, mientras otra lo hace hacia la izquierda y abajo.

25.2 Cantidad de movimiento de un cuerpo

Para un cuerpo de masa m y velocidad v⃗:

Si v⃗ = (v_x, v_y), entonces:

Ambas componentes se miden en kg·m/s. El signo depende de los ejes elegidos.

25.3 Momento total de un sistema

El momento total es la suma vectorial del momento de todos los cuerpos:

Para dos cuerpos A y B:

25.4 Condición de conservación

El teorema impulso-cantidad de movimiento para el sistema establece:

Si el impulso externo neto durante el intervalo es nulo o despreciable, resulta:

No es necesario que cada cuerpo conserve su momento. Los impulsos internos pueden cambiarlo y transferirlo entre los integrantes del sistema.

25.5 Una ecuación vectorial, dos ecuaciones escalares

En un plano cartesiano, la igualdad vectorial equivale a:

Las dos ecuaciones deben cumplirse a la vez. Un resultado que conserva P_x pero no P_y no conserva el momento vectorial.

25.6 Elegir los ejes

Los ejes son una herramienta de descripción. Pueden elegirse libremente, pero conviene alinearlos con una dirección conocida: la velocidad inicial, una pared o la línea que une los centros durante un contacto.

• Dibujá primero el sistema y fijá +x y +y.
• Mantené esos ejes durante todo el cálculo.
• Asigná signos a las componentes, no a los módulos.
• Indicá desde qué eje y en qué sentido se mide cada ángulo.

25.7 Pasar de módulo y ángulo a componentes

Si una velocidad de módulo v forma un ángulo θ medido en sentido antihorario desde +x:

El seno y el coseno ya producen el signo correcto cuando θ identifica el cuadrante. En JavaScript, las funciones trigonométricas reciben radianes.

25.8 Volver de componentes a módulo y dirección

Una vez obtenidas v_x y v_y:

atan2 considera los signos de ambas componentes y determina el cuadrante. Usar solamente arctan(v_y/v_x) pierde información y falla cuando v_x = 0.

25.9 Interpretación geométrica

La conservación también puede verse como una suma de flechas. Para dos cuerpos:

Al colocar las flechas finales cabeza con cola, su resultante debe coincidir con la resultante inicial.

25.10 Despejar un momento final desconocido

Si se conocen el estado inicial y el momento final de A, el de B queda determinado:

Por componentes:

25.11 Ejemplo resuelto: blanco inicialmente en reposo

Una esfera A de 2 kg se mueve a 6 m/s sobre +x y choca con una esfera B de 3 kg en reposo. Después, A se mueve a 3 m/s formando 60° con +x. Hallamos la velocidad final de B.

El momento inicial es:

Las componentes finales de A son v_Ax,f = 3 cos 60° = 1,5 m/s y v_Ay,f = 3 sen 60° ≈ 2,598 m/s. Por lo tanto:

Restamos vectores y dividimos por m_B:

Su módulo es √(3² + 1,732²) ≈ 3,464 m/s y su dirección es −30°, es decir, 30° por debajo de +x.

25.12 Comprobación del ejemplo

Sumamos los momentos finales por separado:

Ambas componentes coinciden con las iniciales. Los momentos verticales finales son opuestos: aparecieron por la interacción interna, pero su suma sigue siendo cero.

25.13 El momento no determina por sí solo toda colisión

Dos cuerpos finales aportan cuatro incógnitas posibles: v_Ax,f, v_Ay,f, v_Bx,f y v_By,f. La conservación del momento ofrece solamente dos ecuaciones.

No debe inventarse una conservación independiente de la energía cinética: solo corresponde cuando el modelo físico la justifica.

25.14 Caso con momento inicial nulo

Si P⃗_i = 0 y el impulso externo es despreciable, entonces P⃗_f = 0. Para dos fragmentos:

Los momentos son iguales en módulo y opuestos en dirección. Las velocidades solo tendrán el mismo módulo si las masas son iguales.

25.15 Impulso externo no despreciable

Si actúa un impulso externo apreciable, no se igualan directamente los momentos inicial y final:

Puede conservarse una componente y no la otra. Por ejemplo, si el impulso externo es vertical, P_x permanece constante aunque P_y cambie.

25.16 Procedimiento de resolución

Conviene conservar algunos decimales durante el cálculo y redondear al final para evitar residuos artificiales.

25.17 Actividad interactiva: completar el estado final

Modificá masas, velocidades iniciales y la salida de A. El laboratorio calcula la única velocidad final de B que conserva las dos componentes del momento.

25.18 Implementar vectores con JavaScript

Un objeto con propiedades x e y permite expresar directamente la aritmética vectorial:

function desdePolar(modulo, anguloGrados) {
  const angulo = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return {
    x: modulo * Math.cos(angulo),
    y: modulo * Math.sin(angulo)
  };
}

function momento(masa, velocidad) {
  return { x: masa * velocidad.x, y: masa * velocidad.y };
}

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function restar(a, b) {
  return { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y };
}

function calcularVelocidadFinalB(masaA, masaB, vAi, vBi, vAf) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }

  const momentoInicial = sumar(
    momento(masaA, vAi),
    momento(masaB, vBi)
  );
  const momentoFinalA = momento(masaA, vAf);
  const momentoFinalB = restar(momentoInicial, momentoFinalA);

  return {
    x: momentoFinalB.x / masaB,
    y: momentoFinalB.y / masaB
  };
}

const vBf = calcularVelocidadFinalB(
  2,
  3,
  desdePolar(6, 0),
  desdePolar(0, 0),
  desdePolar(3, 60)
);
console.log(vBf);

El resultado es aproximadamente { x: 3, y: -1.732 }. La función separa la física de la representación gráfica y puede reutilizarse en una simulación.

25.19 Tolerancia numérica y residuo

En cálculos de punto flotante, el residuo rara vez es exactamente cero. Una comprobación útil calcula:

Luego se compara r con una tolerancia adecuada a la escala del problema. No conviene exigir igualdad exacta con ===.

25.20 Errores frecuentes

• Conservar solo los módulos: dos vectores de igual módulo pueden tener direcciones diferentes.
• Sumar rapidez en vez de componentes: la suma de momentos es vectorial.
• Olvidar la masa: se conserva Σmv⃗, no la suma de velocidades.
• Cambiar los ejes a mitad del cálculo: todas las componentes deben referirse al mismo sistema.
• Usar grados en Math.sin o Math.cos: JavaScript espera radianes.
• Usar Math.atan(y/x): no identifica correctamente todos los cuadrantes.
• Suponer que P_y = 0 para cada cuerpo: si el total inicial es cero, las componentes finales pueden cancelarse.
• Creer que dos ecuaciones bastan para cuatro incógnitas: hacen falta condiciones adicionales.
• Ignorar el impulso externo: si no es despreciable, debe incluirse en el balance.

25.21 Ejercicios propuestos

1. Una masa de 2 kg se mueve a 5 m/s con θ = 30°. Calculá p_x y p_y.
2. Dos cuerpos tienen momentos (6, 2) y (−1, 4) kg·m/s. Hallá P⃗, su módulo y su ángulo.
3. Un sistema parte con P⃗_i = (10, 0) kg·m/s. Si p⃗_Af = (4, 3), calculá p⃗_Bf.
4. En el ejercicio anterior, si m_B = 2 kg, hallá la velocidad final de B en forma cartesiana y polar.
5. Una explosión parte del reposo. Un fragmento de 1 kg sale con velocidad (4, 3) m/s y el otro tiene 2 kg. Calculá la velocidad del segundo.
6. Explicá por qué P_y,i = 0 no obliga a que cada P_y,f sea cero.
7. Un impulso externo J⃗_ext = (0, 3) N·s actúa sobre un sistema con P⃗_i = (8, −1) kg·m/s. Hallá P⃗_f.
8. ¿Cuántos datos adicionales se necesitan, en general, para determinar cuatro componentes finales usando solo dos balances de momento?
9. Usá el laboratorio con los valores iniciales y cambiá el ángulo final de A a −60°. Describí qué ocurre con la componente y de B.

25.22 Ideas para recordar

• La cantidad de movimiento se conserva como vector cuando el impulso externo neto es despreciable.
• En dos dimensiones deben conservarse simultáneamente P_x y P_y.
• Los signos pertenecen a las componentes; la masa y el módulo son positivos.
• atan2 permite recuperar correctamente la dirección de un vector.
• El momento vertical total puede ser cero aunque cada cuerpo tenga momento vertical.
• La conservación del momento aporta dos ecuaciones, pero no siempre determina todas las incógnitas.
• Un residuo vectorial permite auditar numéricamente el resultado.

En el próximo tema aplicaremos estas herramientas a colisiones oblicuas y elegiremos ejes que simplifiquen el contacto.