27. Impulso normal en el contacto entre superficies lisas

27.1 Del detalle de la fuerza a su efecto total

Durante un choque, la fuerza de contacto suele variar rápidamente y alcanzar valores grandes. Para determinar el cambio de velocidad no siempre necesitamos conocer su historia completa: basta su integral temporal, el impulso.

La unidad N·s equivale a kg·m/s.

27.2 Qué significa una superficie lisa

En el modelo ideal de superficies lisas no existe impulso de fricción en la dirección tangencial. La fuerza de contacto y su impulso actúan sobre la normal común.

27.3 Convención geométrica y de signos

Sean A y B los cuerpos en contacto. Elegimos n̂ como un vector unitario que apunta desde A hacia B. Para discos o esferas:

Definimos j ≥ 0 como el módulo escalar del impulso normal. Esta convención separa la magnitud de la dirección.

27.4 El par de impulsos de contacto

Por la tercera ley de Newton, las fuerzas internas son iguales y opuestas en cada instante. Sus impulsos también:

El contacto transfiere momento entre A y B sin cambiar el momento total del sistema, si el impulso externo es despreciable.

27.5 Actualización de las velocidades

Aplicamos Δp⃗ = J⃗ a cada cuerpo:

El mismo j produce un cambio de velocidad mayor en el cuerpo de menor masa.

27.6 Las componentes tangenciales no cambian

Como n̂ · t̂ = 0, al proyectar las actualizaciones anteriores sobre t̂ desaparece el término impulsivo:

Esto vale para las componentes tangenciales individuales en el modelo liso, no solamente para su suma.

27.7 Velocidad relativa normal

Con n̂ orientado de A hacia B definimos:

• g_n,i < 0: los cuerpos se aproximan.
• g_n,i = 0: no existe aproximación normal.
• g_n,i > 0: los cuerpos se separan.

Una respuesta impulsiva solo corresponde en el primer caso.

27.8 Cómo cambia la velocidad relativa

Restamos las velocidades finales y proyectamos sobre n̂:

El impulso aumenta g_n: primero detiene la aproximación normal y, si existe restitución, produce separación.

27.9 Incorporar el coeficiente de restitución

El modelo de restitución relaciona las velocidades relativas normales:

Para 0 ≤ e ≤ 1, e = 0 elimina la velocidad relativa normal final y e = 1 invierte su signo conservando su módulo.

27.10 Deducción del impulso escalar

Igualamos las dos expresiones de g_n,f:

Despejando:

Si g_n,i < 0 y e ≥ 0, el resultado es j > 0, coherente con la convención elegida.

27.11 Forma con masa reducida

La inversa de la suma de inversas es la masa reducida:

Entonces:

μ representa la masa efectiva del movimiento relativo traslacional entre los dos cuerpos.

27.12 Ejemplo resuelto

Dos discos lisos tienen m_A = 2 kg, m_B = 3 kg, v⃗_Ai = (5, 0) m/s y v⃗_Bi = (0, 0). La normal forma 30° con +x y e = 0,8.

n̂ = (0,866; 0,5), μ = 2·3/5 = 1,2 kg y:

Los impulsos y cambios de velocidad son:

27.13 Comprobar el ejemplo

El momento inicial es (10, 0) kg·m/s. El momento final resulta:

La velocidad relativa normal final es aproximadamente +3,464 m/s:

Ambas auditorías deben cumplirse dentro de la tolerancia numérica.

27.14 Relación con la energía cinética

En este modelo, la disminución de energía cinética depende solo del movimiento relativo normal:

Para el ejemplo, ΔK = −½·1,2·(1 − 0,8²)·4,330² = −4,05 J. La energía tangencial no cambia porque no hay impulso en esa dirección.

27.15 Choque contra una pared inmóvil

Una pared ideal de masa infinita equivale a tomar 1/m_B = 0 y v_Bn = 0. Para un cuerpo A:

Esta forma supone que v_An,i > 0 apunta hacia la pared según nuestra orientación de n̂. La componente normal del cuerpo queda:

La pared recibe un impulso opuesto, pero su cambio de velocidad es despreciable por su enorme masa efectiva.

27.16 Impulso mínimo para impedir penetración

Si el objetivo fuera solamente eliminar la aproximación normal, impondríamos g_n,f = 0. Esto corresponde a e = 0:

Una restitución positiva agrega el impulso necesario para producir separación. Por eso j = (1 + e)j_mín.

27.17 Procedimiento de cálculo

Si g_n,i ≥ 0, se adopta j = 0: aplicar un impulso repulsivo adicional inyectaría energía y causaría respuestas repetidas.

27.18 Actividad interactiva: medir el impulso de contacto

Modificá las masas, las velocidades, la orientación del contacto y e. El laboratorio calcula j y representa el par de impulsos.

27.19 Implementación con JavaScript

La respuesta impulsiva puede encapsularse en una función que normaliza n⃗ y devuelve j = 0 cuando no hay aproximación:

function dot(a, b) {
  return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

function impulsoNormal({ masaA, masaB, vA, vB, normal, e }) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0 || e < 0) {
    throw new Error("Parámetros fuera de rango");
  }

  const longitud = Math.hypot(normal.x, normal.y);
  if (longitud < 1e-12) throw new Error("Normal no válida");
  const n = { x: normal.x / longitud, y: normal.y / longitud };
  const gn = dot({ x: vB.x - vA.x, y: vB.y - vA.y }, n);

  if (gn >= 0) {
    return { j: 0, vAf: { ...vA }, vBf: { ...vB } };
  }

  const inversaMasaEfectiva = 1 / masaA + 1 / masaB;
  const j = -(1 + e) * gn / inversaMasaEfectiva;
  const impulso = { x: j * n.x, y: j * n.y };

  return {
    j,
    vAf: {
      x: vA.x - impulso.x / masaA,
      y: vA.y - impulso.y / masaA
    },
    vBf: {
      x: vB.x + impulso.x / masaB,
      y: vB.y + impulso.y / masaB
    }
  };
}

console.log(impulsoNormal({
  masaA: 2,
  masaB: 3,
  vA: { x: 5, y: 0 },
  vB: { x: 0, y: 0 },
  normal: { x: Math.cos(Math.PI / 6), y: 0.5 },
  e: 0.8
}));

27.20 Límites del modelo

27.21 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• Usar una normal sin convertirla en vector unitario.
• Dar el mismo signo a los impulsos sobre ambos cuerpos.
• Confundir j escalar con el vector J⃗.
• Aplicar el impulso cuando g_n,i ≥ 0.
• Usar la velocidad relativa completa en lugar de su proyección normal.
• Olvidar dividir el impulso por la masa al actualizar la velocidad.
• Suponer que las dos masas experimentan el mismo Δv⃗.

Ejercicios propuestos

1. m_A = 2 kg, m_B = 6 kg y g_n,i = −4 m/s. Calculá μ.
2. Con los datos anteriores y e = 0,5, calculá j.
3. Si n̂ = (0,6; 0,8), escribí los impulsos vectoriales sobre A y B del ejercicio anterior.
4. Para j = 6 N·s, compará |Δv| en cuerpos de 2 kg y 6 kg.
5. Si g_n,i = +2 m/s, explicá por qué j debe ser cero.
6. Una pelota de 0,5 kg llega perpendicularmente a una pared a 8 m/s con e = 0,75. Calculá j y su rapidez final.
7. Demostrá que los impulsos internos no cambian el momento total.
8. Con μ = 1,2 kg, e = 0,8 y g_n,i = −4,33 m/s, calculá ΔK.

27.22 Ideas para recordar

• En superficies lisas, el impulso de contacto es normal.
• Los cuerpos reciben impulsos vectoriales iguales y opuestos.
• El impulso cambia la velocidad en ±(j/m)n̂.
• La condición g_n,i < 0 identifica una aproximación.
• j = −(1 + e)μg_n,i para dos masas traslacionales.
• La masa menor experimenta el mayor cambio de velocidad.
• Sin impulso tangencial, las componentes tangenciales individuales no cambian.
• Momento, restitución y energía permiten auditar la respuesta.

En el próximo tema utilizaremos balances vectoriales para estudiar retrocesos y separaciones en dos dimensiones.