28. Retrocesos y separaciones en dos dimensiones

28.1 Un mismo principio en un plano

Un resorte liberado, una explosión o la expulsión de una parte puede separar un sistema en direcciones diferentes. La conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo la herramienta central, pero ahora debe aplicarse como igualdad vectorial.

28.2 Elegir el sistema y el intervalo

El sistema debe incluir todas las partes antes y después de la separación. El intervalo comienza inmediatamente antes de liberarse la energía interna y termina cuando la interacción entre los fragmentos deja de ser importante.

Si el impulso externo neto durante ese intervalo es nulo o despreciable:

28.3 Estados antes y después

La masa total se mantiene si no se intercambia materia con el entorno: M = Σm_k.

28.4 Balance para dos fragmentos

Si un cuerpo de masa M = m_A + m_B se divide en A y B:

Conocida una velocidad final, la otra se obtiene despejando el vector completo.

28.5 Dos ecuaciones por componentes

Los dos balances deben usar los mismos ejes y el mismo sistema de referencia.

28.6 Despejar la segunda velocidad

Si se conoce v⃗_Af:

Esta operación se realiza componente por componente y luego se reconstruyen el módulo y la dirección con Pitágoras y atan2.

28.7 Separación desde el reposo

Si el conjunto estaba en reposo, P⃗_i = 0:

Con solo dos fragmentos, sus momentos deben ser colineales, iguales en módulo y opuestos en sentido.

28.8 Relación entre masas y velocidades

Para una separación desde el reposo:

La parte más liviana posee mayor rapidez. Las velocidades son opuestas, pero sus módulos solo son iguales cuando las masas lo son.

28.9 Ejemplo resuelto desde el reposo

Un sistema en reposo se divide en A de 2 kg y B de 3 kg. A sale a 6 m/s con ángulo 40° desde +x.

Por conservación:

B sale a 4 m/s con dirección 220°, exactamente opuesta a la de A.

28.10 Sistema inicialmente en movimiento

Cuando V⃗_i ≠ 0, los momentos finales no tienen que ser opuestos. Su suma debe reproducir el momento inicial, que puede transportar a ambos fragmentos en una dirección común.

28.11 Ejemplo con movimiento inicial

Un conjunto de 5 kg se mueve inicialmente con V⃗_i = (2, 1) m/s. Se divide en A de 2 kg y B de 3 kg. Si v⃗_Af = (5, 4) m/s:

Aunque el sistema se movía hacia arriba, B termina hacia abajo porque A recibe una componente y de momento mayor que la total inicial.

28.12 Referencia del centro de masa

La velocidad del centro de masa es:

Sin impulso externo, V⃗_CM permanece constante. Definimos velocidades relativas al centro de masa:

En esa referencia, el momento total es cero y para dos fragmentos m_Au⃗_A = −m_Bu⃗_B.

28.13 Movimiento global más separación relativa

Cada velocidad final puede interpretarse como la suma de dos movimientos:

V⃗_CM describe el transporte del sistema completo. u⃗_kf describe cómo se separa cada parte respecto del centro de masa.

28.14 La energía de la separación

Una separación espontánea requiere transformar energía interna almacenada en energía cinética. Sin trabajo externo apreciable:

Para dos fragmentos, la energía asociada al movimiento relativo en el centro de masa es:

La conservación del momento determina relaciones entre velocidades; la energía liberada determina su escala si las direcciones son conocidas.

28.15 Tres o más fragmentos

Para N fragmentos:

En el plano solo se obtienen dos ecuaciones de conservación. Con tres o más velocidades desconocidas existen muchas distribuciones posibles y se necesitan datos adicionales sobre direcciones, energías o simetrías.

28.16 Si existe impulso externo

El balance general es:

Puede conservarse una componente aunque otra cambie. Por ejemplo, un impulso externo vertical modifica P_y pero deja P_x inalterado.

28.17 Procedimiento de resolución

28.18 Actividad interactiva: laboratorio de separación

Elegí el movimiento inicial del conjunto y la salida de A. El laboratorio calcula la velocidad de B que conserva el momento y la energía mínima que debe liberarse.

28.19 Implementación con JavaScript

La función trabaja directamente con componentes cartesianas:

function velocidadSegundoFragmento({ masaA, masaB, velocidadInicial, velocidadA }) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }

  const masaTotal = masaA + masaB;
  const momentoInicial = {
    x: masaTotal * velocidadInicial.x,
    y: masaTotal * velocidadInicial.y
  };

  return {
    x: (momentoInicial.x - masaA * velocidadA.x) / masaB,
    y: (momentoInicial.y - masaA * velocidadA.y) / masaB
  };
}

const velocidadB = velocidadSegundoFragmento({
  masaA: 2,
  masaB: 3,
  velocidadInicial: { x: 0, y: 0 },
  velocidadA: {
    x: 6 * Math.cos(40 * Math.PI / 180),
    y: 6 * Math.sin(40 * Math.PI / 180)
  }
});

console.log(velocidadB);

28.20 Errores frecuentes

• Conservar el momento de cada fragmento: se conserva el total del sistema.
• Usar solo módulos: la igualdad es vectorial y debe cumplirse en x e y.
• Suponer direcciones opuestas siempre: ocurre para dos fragmentos cuando P⃗_i = 0.
• Igualar velocidades: desde el reposo se igualan los módulos de los momentos, no necesariamente las rapideces.
• Olvidar la masa total inicial: M = Σm_k.
• Mezclar referencias: las velocidades deben medirse en el mismo sistema.
• Conservar energía cinética: en una explosión generalmente aumenta por liberación de energía interna.
• Resolver muchos fragmentos con dos ecuaciones: hacen falta condiciones adicionales.

28.21 Ejercicios propuestos

1. Un sistema en reposo se divide en masas de 2 kg y 5 kg. Si A sale con v⃗ = (5, 0) m/s, hallá v⃗_B.
2. Un sistema en reposo produce p⃗_A = (6, 8) kg·m/s. Hallá p⃗_B, su módulo y dirección.
3. Dos fragmentos iguales se separan desde el reposo. A sale a 7 m/s y 25°. Determiná la velocidad de B.
4. Un conjunto de 4 kg se mueve con V⃗_i = (3, 0) m/s. Se divide en dos masas de 1 kg y 3 kg. Si A termina con (6, 3) m/s, hallá v⃗_B.
5. Para el ejercicio anterior, calculá V⃗_CM después de la separación.
6. Tres fragmentos salen de un sistema en reposo con momentos (4, 1), (−2, 3) y p⃗_C. Hallá p⃗_C.
7. Explicá de dónde proviene el aumento de energía cinética en una explosión.
8. Usá el laboratorio con V_i = 2 m/s a 90° y compará las direcciones finales con el caso en reposo.

28.22 Ideas para recordar

• Sin impulso externo, el momento vectorial total permanece constante durante la separación.
• En el plano se conservan simultáneamente las componentes x e y.
• Desde el reposo, dos fragmentos adquieren momentos iguales y opuestos.
• La rapidez es inversamente proporcional a la masa en una separación de dos partes desde el reposo.
• Si el sistema ya se movía, las velocidades finales no tienen que ser opuestas.
• La velocidad del centro de masa permanece constante cuando J⃗_ext = 0.
• Una explosión transforma energía interna en energía cinética.
• Con tres o más fragmentos suelen necesitarse datos adicionales.

En el próximo tema estudiaremos cómo actualizar el estado cuando ocurren secuencias de colisiones.