3. Cantidad de movimiento total de dos o más cuerpos

3.1 De un cuerpo a un conjunto

Hasta ahora calculamos la cantidad de movimiento de un solo cuerpo mediante p⃗ = m·v⃗. Sin embargo, una colisión, un retroceso o una separación involucran al menos dos cuerpos. Para describir el estado de movimiento del conjunto necesitamos combinar sus vectores individuales.

Imaginemos dos carritos sobre una pista. Cada uno posee su propia masa, velocidad y cantidad de movimiento. El conjunto también tiene una cantidad de movimiento total, obtenida mediante la suma vectorial de ambos momentos lineales.

En este tema aprenderemos a calcular ese vector en una y dos dimensiones. Todavía no supondremos que se conserva; esa condición se estudiará después de analizar fuerzas externas e impulsos.

3.2 Definición de cantidad de movimiento total

Para un sistema formado por varios cuerpos, sumamos la cantidad de movimiento de cada uno:

Como p⃗_i = m_iv⃗_i, también podemos escribir:

Usaremos una P mayúscula para distinguir la cantidad de movimiento total del sistema de cada cantidad individual p⃗_i. Todos los términos deben calcularse respecto del mismo sistema de referencia y en el mismo instante.

3.3 La suma es vectorial

No siempre podemos sumar los módulos. La dirección y el sentido de cada velocidad determinan cómo se combinan los términos.

Dos vectores paralelos y del mismo sentido refuerzan el total. Si tienen sentidos opuestos, se restan sus módulos. Si forman un ángulo distinto de 0° o 180°, debemos sumarlos gráficamente o por componentes.

La unidad de cada término y del resultado es kg·m/s.

3.4 Suma en una dimensión

Cuando todos los cuerpos se desplazan sobre una misma recta, elegimos un sentido positivo y usamos velocidades con signo. Luego realizamos una suma algebraica:

Supongamos dos carritos: A tiene 2 kg y se mueve a +4 m/s; B tiene 3 kg y se mueve a −2 m/s.

El signo positivo indica que la cantidad de movimiento total apunta hacia el sentido positivo elegido. No significa que todos los cuerpos se muevan hacia allí.

3.5 Cantidad total nula

La cantidad de movimiento total puede ser cero aunque los cuerpos estén en movimiento. Esto ocurre cuando los vectores individuales se cancelan exactamente.

Por ejemplo, dos carritos de 2 kg con velocidades +3 m/s y −3 m/s tienen momentos +6 kg·m/s y −6 kg·m/s:

El sistema posee momento lineal total nulo, pero cada carrito tiene rapidez 3 m/s y cantidad de movimiento individual no nula.

3.6 Suma por componentes en dos dimensiones

En el plano, primero calculamos las componentes de cada momento y luego sumamos por ejes:

El símbolo Σ indica que repetimos la suma para todos los cuerpos. Una vez obtenidas las componentes, calculamos módulo y dirección:

La función atan2 distingue correctamente los cuadrantes y también los casos con P_x = 0. El ángulo se mide desde el eje x positivo.

3.7 Ejemplo por componentes

Dos discos tienen cantidades de movimiento p⃗_A = (6, 2) kg·m/s y p⃗_B = (−1, 5) kg·m/s. Sumamos componentes correspondientes:

Por lo tanto, P⃗ = (5, 7) kg·m/s. Su módulo es √(5² + 7²) = √74 ≈ 8,6 kg·m/s y su dirección es aproximadamente 54,5° respecto de +x.

No habría sido correcto sumar los módulos de p⃗_A y p⃗_B, porque no apuntan en la misma dirección.

3.8 Interpretación gráfica de la suma

Los vectores pueden sumarse con el método punta-cola: trasladamos p⃗_B sin girarlo hasta que su origen coincida con el extremo de p⃗_A. La resultante P⃗ va desde el origen del primero hasta la punta del último.

El método gráfico ayuda a interpretar, pero las componentes proporcionan mayor precisión y se adaptan mejor a un programa.

3.9 El orden de la suma no cambia el resultado

La suma vectorial es conmutativa y asociativa:

Podemos sumar los cuerpos en cualquier orden y agruparlos como resulte conveniente. Esto facilita el cálculo de sistemas con muchos términos y permite comprobar un algoritmo cambiando el orden de los datos.

Aunque el resultado matemático no cambia, en una computadora pueden aparecer diferencias diminutas por redondeo al sumar grandes listas de números decimales. Para los ejemplos del curso bastará con usar una tolerancia apropiada.

3.10 Momento individual y momento total

Es importante mantener separados dos niveles de descripción:

Conocer P⃗ no determina de manera única las velocidades individuales. Un total de 10 kg·m/s puede provenir de un solo cuerpo o de muchas combinaciones de cuerpos con movimientos diferentes.

3.11 El sistema y el instante deben estar definidos

El valor de P⃗ depende de qué cuerpos incluimos. Si agregamos o quitamos un cuerpo, cambia la suma. Por eso debemos enumerar los componentes del sistema antes de calcular.

También debemos usar velocidades correspondientes al mismo instante. Sumar la velocidad inicial de un cuerpo con la velocidad final de otro produciría una cantidad que no representa el estado del sistema en ningún momento.

Finalmente, todas las velocidades deben medirse respecto del mismo observador. Mezclar referencias equivale a usar ejes incompatibles. El tema siguiente profundizará cómo elegir el sistema, el entorno y el intervalo de análisis.

3.12 Actividad interactiva: suma de tres cuerpos

Ingresá la masa y las componentes de velocidad de cada cuerpo. El gráfico muestra los tres momentos desde un origen común y la resultante en verde.

Los valores iniciales fueron elegidos para que los tres vectores se cancelen. Cambiá una sola componente y observá cómo aparece una resultante. Luego intentá recuperar P⃗ = 0 modificando otro cuerpo.

3.13 Calcular el total con JavaScript

Un arreglo permite representar cualquier cantidad de cuerpos. Podemos transformar masa y velocidad en momentos individuales y acumular sus componentes:

const cuerpos = [
  { masaKg: 2, velocidadMps: { x: 3, y: 1 } },
  { masaKg: 1, velocidadMps: { x: -2, y: 3 } },
  { masaKg: 1, velocidadMps: { x: -4, y: -5 } }
];

function momentoTotal(cuerpos) {
  return cuerpos.reduce(
    (total, cuerpo) => ({
      x: total.x + cuerpo.masaKg * cuerpo.velocidadMps.x,
      y: total.y + cuerpo.masaKg * cuerpo.velocidadMps.y
    }),
    { x: 0, y: 0 }
  );
}

const total = momentoTotal(cuerpos);
const modulo = Math.hypot(total.x, total.y);

console.log(total);  // { x: 0, y: 0 }
console.log(modulo); // 0 kg·m/s

reduce comienza con el vector cero y agrega el momento de cada cuerpo. El acumulador siempre contiene las mismas dos componentes, por lo que el algoritmo funciona sin importar cuántos elementos tenga el arreglo.

Una implementación real también debería validar que las masas sean positivas y que todos los valores sean números finitos.

3.14 Comprobaciones del resultado

Antes de aceptar una suma conviene aplicar varias comprobaciones:

• Unidades: cada componente debe estar en kg·m/s.
• Signos: deben concordar con los ejes elegidos.
• Dirección: la resultante debe apuntar hacia la combinación dominante.
• Caso simétrico: vectores iguales y opuestos deben cancelarse.
• Cota del módulo: |P⃗| no puede superar la suma de los módulos individuales.

La igualdad se alcanza cuando todos los vectores apuntan en la misma dirección y sentido. Si un cálculo viola esta cota, existe un error en las componentes o en la suma.

3.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tres cuerpos en una dimensión

Las cantidades individuales son +12, −5 y −3 kg·m/s:

La resultante apunta en el sentido positivo.

Ejemplo 2: movimientos perpendiculares

A posee p⃗_A = (6, 0) kg·m/s y B posee p⃗_B = (0, 8) kg·m/s:

El módulo no es 14 kg·m/s porque los vectores son perpendiculares.

Ejemplo 3: hallar un momento faltante

Queremos que P⃗ = 0 y conocemos p⃗_A = (4, −2) y p⃗_B = (−1, 5), en kg·m/s:

3.16 Precisión numérica y total aproximadamente nulo

Al sumar componentes decimales, un programa puede producir valores diminutos como 2,2 × 10⁻¹⁶ en lugar de cero. Esto se debe a la representación binaria de números y no necesariamente a un error físico.

Podemos considerar nulo un vector si su módulo es menor que una tolerancia adecuada:

function esVectorCasiNulo(vector, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.hypot(vector.x, vector.y) <= tolerancia;
}

const errorDeRedondeo = { x: 2.2e-16, y: -1.1e-16 };
const vectorDetectable = { x: 3e-6, y: 4e-6 };

console.log("Error de redondeo:", esVectorCasiNulo(errorDeRedondeo));
console.log("Vector detectable:", esVectorCasiNulo(vectorDetectable));

Al ejecutar el código, el primer caso muestra true porque su módulo es menor que la tolerancia; el segundo muestra false.

La tolerancia debe elegirse según la escala y precisión de los datos. Un umbral de 10⁻⁹ kg·m/s puede servir para ejemplos pequeños, pero no es una regla universal.

3.17 Errores frecuentes

• Sumar módulos en lugar de vectores: solo es válido si todos apuntan en el mismo sentido.
• Olvidar los signos en una dimensión: los movimientos opuestos deben contribuir con signos distintos.
• Sumar componentes cruzadas: x se suma con x e y con y.
• Confundir P⃗ = 0 con reposo: los momentos individuales pueden ser no nulos y cancelarse.
• Mezclar instantes: todas las velocidades deben describir simultáneamente el estado del sistema.
• Mezclar sistemas de referencia: todos los vectores deben medirse respecto del mismo observador.
• Cambiar los cuerpos incluidos sin recalcular: el total depende de la frontera del sistema.
• Suponer conservación: calcular P⃗ en un instante no demuestra que mantendrá ese valor.
• Calcular el ángulo con atan(P_y/P_x): atan2 evita ambigüedades de cuadrante.

3.18 Ejercicios propuestos

1. Dos carritos poseen p_A = +9 kg·m/s y p_B = −4 kg·m/s. Calculá P e interpretá su signo.
2. Tres cuerpos se mueven sobre un eje con cantidades +6, −10 y +1 kg·m/s. Hallá el total.
3. Dos pelotas iguales se mueven con velocidades opuestas del mismo módulo. Explicá por qué P = 0 no significa que estén quietas.
4. Sumá p⃗_A = (3, 4) y p⃗_B = (−1, 2), en kg·m/s. Calculá las componentes y el módulo de P⃗.
5. Un cuerpo de 2 kg tiene v⃗ = (4, −1) m/s y otro de 3 kg tiene v⃗ = (−2, 3) m/s. Calculá P⃗ y su módulo.
6. El sistema debe tener P⃗ = (5, 0) kg·m/s. Si p⃗_A = (2, 4) y p⃗_B = (−3, −1), hallá p⃗_C.
7. ¿Puede el módulo total de dos vectores de 5 y 8 kg·m/s ser 15 kg·m/s? Justificá.
8. Agregá un cuarto cuerpo al arreglo del ejemplo JavaScript sin modificar la función. Elegí sus datos para obtener P⃗ = (2, −4) kg·m/s.
9. En el laboratorio, cambiá solamente v_x del cuerpo C de −4 a −2 m/s. Calculá el resultado antes de observarlo y después recuperá P⃗ = 0 modificando v_x de B.

3.19 Ideas para recordar

• La cantidad de movimiento total es la suma vectorial de los momentos individuales.
• En una dimensión se suman valores con signo.
• En dos dimensiones se suman por separado las componentes x e y.
• El módulo y el ángulo se calculan después de obtener las componentes totales.
• P⃗ = 0 puede resultar de la cancelación de cuerpos que continúan en movimiento.
• El total no informa cómo se distribuye el movimiento entre los componentes.
• Todos los cuerpos, instantes y sistemas de referencia deben estar claramente definidos.
• Calcular el total no implica todavía afirmar que se conserva.
• Un arreglo y una acumulación por componentes permiten generalizar el cálculo en JavaScript.

En el próximo tema aprenderemos a elegir el sistema, el entorno y el intervalo de análisis para estudiar correctamente cómo puede cambiar su cantidad de movimiento.