Cantidad de Movimiento y Colisiones - 5. Cambio de cantidad de movimiento y fuerza resultante

5.1 Del estado al cambio

La cantidad de movimiento p⃗ = m·v⃗ describe el estado de movimiento de un cuerpo en un instante. Para estudiar una interacción debemos comparar dos estados: uno inicial y otro final.

Una pelota puede aumentar su rapidez, frenarse, invertir el sentido o desviarse. En todos esos casos cambia su vector cantidad de movimiento, aunque no siempre cambie su módulo.

Estado inicialp⃗_i = m·v⃗_i

InteracciónActúa una fuerza resultante

Estado finalp⃗_f = m·v⃗_f

La fuerza no es cantidad de movimiento almacenada. Es la interacción asociada con la rapidez a la que cambia esa cantidad.

5.2 Definición de cambio de cantidad de movimiento

El cambio de una magnitud se calcula como valor final menos valor inicial. Para el momento lineal:

Δp⃗ = p⃗_f − p⃗_i

El símbolo Δ se lee “cambio de”. Como p⃗ es vectorial, la resta también debe ser vectorial. En componentes:

Δp_x = p_fx − p_ix Δp_y = p_fy − p_iy

La unidad de Δp⃗ es la misma que la de p⃗: kg·m/s. El vector cambio apunta desde la punta de p⃗_i hasta la punta de p⃗_f cuando ambos se dibujan con un origen común.

5.3 Cambio en una dimensión

En una recta usamos valores con signo. Supongamos una pelota de 2 kg cuya velocidad cambia de +3 m/s a +7 m/s:

p_i = 2·3 = +6 kg·m/s
p_f = 2·7 = +14 kg·m/s
Δp = 14 − 6 = +8 kg·m/s

El cambio positivo indica que Δp apunta hacia el sentido positivo. Si la pelota se frenara de +7 m/s a +3 m/s, obtendríamos Δp = 6 − 14 = −8 kg·m/s.

El signo de Δp indica el sentido del cambio, no necesariamente el sentido de la velocidad final.

5.4 Invertir el sentido produce un cambio grande

Una pelota de 0,5 kg llega a una pared con v_i = +6 m/s y rebota con v_f = −4 m/s:

p_i = +3 kg·m/s
p_f = −2 kg·m/s
Δp = −2 − (+3) = −5 kg·m/s

No debemos restar solamente las rapideces ni los módulos. La pelota pasa de un vector positivo a uno negativo, por lo que el cambio incluye la eliminación del momento inicial y la aparición de momento en el sentido contrario.

Incluso si rebotara con la misma rapidez, de +6 a −6 m/s, su cambio no sería cero: Δp = −3 − (+3) = −6 kg·m/s.

5.5 Cambiar la dirección sin cambiar la rapidez

En dos dimensiones puede cambiar la cantidad de movimiento aunque la rapidez permanezca constante. Consideremos un cuerpo de 3 kg que pasa de v⃗_i = (4, 0) m/s a v⃗_f = (0, 4) m/s:

p⃗_i = (12, 0) kg·m/s
p⃗_f = (0, 12) kg·m/s
Δp⃗ = (−12, 12) kg·m/s

Los módulos inicial y final valen 12 kg·m/s, pero los vectores son distintos. El módulo del cambio es √(12² + 12²) ≈ 17 kg·m/s.

Esto muestra por qué no basta observar el velocímetro: una fuerza puede modificar la dirección del movimiento sin alterar la rapidez.

5.6 Tasa media de cambio

El mismo cambio puede ocurrir rápida o lentamente. Para distinguir estas situaciones dividimos Δp⃗ por el intervalo transcurrido:

tasa media de cambio = Δp⃗/Δt

Si Δp = 12 kg·m/s ocurre en 3 s, la tasa media es 4 kg·m/s². Si el mismo cambio ocurre en 0,2 s, la tasa media es 60 kg·m/s².

La unidad kg·m/s² equivale al newton:

1 N = 1 kg·m/s² = 1 (kg·m/s)/s

Esta equivalencia anticipa la relación fundamental entre fuerza resultante y cambio de cantidad de movimiento.

5.7 Segunda ley de Newton en forma de momento lineal

La fuerza resultante sobre un cuerpo es igual a la tasa de cambio de su cantidad de movimiento:

F⃗_resultante = dp⃗/dt

La expresión dp⃗/dt representa el cambio instantáneo de p⃗ por unidad de tiempo. No se refiere a una fuerza particular, sino a la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

Durante un intervalo finito podemos relacionar la fuerza resultante media con el cambio total:

F⃗_{resultante, media} = Δp⃗/Δt

Esta forma media es exacta como definición del promedio, aunque la fuerza haya variado durante el intervalo.

5.8 Relación con F⃗ = m·a⃗

En este curso trabajaremos con cuerpos de masa constante. En ese caso:

F⃗_res = d(mv⃗)/dt = m·dv⃗/dt = m·a⃗

Por lo tanto, la forma F⃗_res = m·a⃗ ya conocida es un caso de F⃗_res = dp⃗/dt cuando la masa no cambia.

Dos formas compatibles de la segunda ley.
Forma	Enfatiza	Uso en este curso
F⃗_res = m·a⃗	El cambio de velocidad de una masa constante	Dinámica habitual de un cuerpo
F⃗_res = dp⃗/dt	El cambio de cantidad de movimiento	Interacciones y colisiones

No analizaremos aquí sistemas de masa variable. Aplicarles mecánicamente F⃗ = m·a⃗ puede conducir a resultados incompletos.

5.9 Dirección de la fuerza y del cambio

La fuerza resultante media y Δp⃗ apuntan en la misma dirección y sentido porque se relacionan mediante el escalar positivo Δt:

Δp⃗ = F⃗_{res, media}·Δt

Esto no significa que la fuerza resultante apunte siempre en la dirección de la velocidad. Puede ocurrir que:

F⃗ y v⃗ tengan el mismo sentido: aumenta la rapidez;
F⃗ y v⃗ tengan sentidos opuestos: disminuye la rapidez;
F⃗ sea perpendicular a v⃗: cambia la dirección;
F⃗ forme otro ángulo: cambian rapidez y dirección.

La fuerza determina hacia dónde se desplaza el extremo del vector p⃗, no necesariamente hacia dónde se mueve el cuerpo en ese instante.

5.10 Fuerza resultante constante

Si la fuerza resultante permanece constante durante un intervalo, la cantidad de movimiento cambia a ritmo constante:

p⃗(t) = p⃗₀ + F⃗_res·t

En una dimensión, una fuerza positiva aumenta p linealmente. Una fuerza negativa lo reduce, puede llevarlo a cero y luego hacerlo negativo. El instante en que p = 0 corresponde al reposo momentáneo para una masa positiva constante.

La ecuación describe cómo evoluciona p sin necesidad de calcular primero la aceleración. Si luego necesitamos la velocidad, usamos v = p/m.

5.11 Gráficos de cantidad de movimiento y tiempo

En un gráfico p-t, la pendiente representa la fuerza resultante:

pendiente = Δp/Δt = F_{res, media}

Una recta horizontal indica fuerza resultante nula. Una curva indica que la fuerza resultante cambia con el tiempo; su pendiente instantánea proporciona el valor de la fuerza en cada instante.

5.12 Fuerza resultante nula

Si F⃗_res = 0, entonces dp⃗/dt = 0 y la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante:

F⃗_res = 0 ⇒ p⃗ = constante

Para masa constante, esto equivale a velocidad constante. El cuerpo puede estar en reposo o moverse en línea recta con velocidad constante.

Resultante nula no significa ausencia de fuerzas. El peso y la normal de un objeto apoyado pueden cancelarse. Lo importante es la suma vectorial.

5.13 Actividad interactiva: evolución bajo fuerza constante

Elegí la masa, la velocidad inicial, la fuerza resultante y la duración. La recta muestra cómo evoluciona p durante el intervalo.

Laboratorio p-t

Modelo unidimensional de masa constante y fuerza resultante constante.

Masa: 2,0 kg Velocidad inicial: +3,0 m/s Fuerza resultante: +4,0 N Duración: 2,0 s

Momento inicial+6,0 kg·m/s

Cambio Δp+8,0 kg·m/s

Momento final+14,0 kg·m/s

Velocidad final+7,0 m/s

La pendiente es positiva: la cantidad de movimiento aumenta en el sentido +x.

Probá una fuerza negativa. La recta puede cruzar p = 0: en ese instante el cuerpo se detiene momentáneamente y luego invierte el sentido.

5.14 Actualizar el momento con JavaScript

Para una fuerza constante durante un paso temporal pequeño, podemos actualizar primero la cantidad de movimiento y luego obtener la velocidad:

const cuerpo = {
  masaKg: 2,
  momento: { x: 6, y: 0 }
};

function actualizarMomento(cuerpo, fuerzaResultanteN, dtS) {
  cuerpo.momento.x += fuerzaResultanteN.x * dtS;
  cuerpo.momento.y += fuerzaResultanteN.y * dtS;
}

function velocidad(cuerpo) {
  return {
    x: cuerpo.momento.x / cuerpo.masaKg,
    y: cuerpo.momento.y / cuerpo.masaKg
  };
}

actualizarMomento(cuerpo, { x: 4, y: 0 }, 2);

console.log(cuerpo.momento); // { x: 14, y: 0 } kg·m/s
console.log(velocidad(cuerpo)); // { x: 7, y: 0 } m/s

El producto fuerzaResultanteN.x * dtS tiene unidad N·s, equivalente a kg·m/s, y por eso puede sumarse al momento.

Si la fuerza cambia, el intervalo se divide en pasos y se calcula la fuerza correspondiente a cada uno. La aproximación mejora al reducir el paso temporal, aunque aumenta el costo de cálculo.

5.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: fuerza resultante media

Un cuerpo cambia de p_i = +10 a p_f = +22 kg·m/s en 3 s:

F_{res, media} = (22 − 10)/3 = +4 N

Ejemplo 2: frenado

Un automóvil de 1000 kg reduce su velocidad de +20 a +12 m/s en 4 s:

Δp = 1000(12 − 20) = −8000 kg·m/s
F_{res, media} = −8000/4 = −2000 N

La fuerza media apunta en sentido opuesto al movimiento.

Ejemplo 3: cambio vectorial

Un disco pasa de p⃗_i = (4, 1) a p⃗_f = (−2, 7) kg·m/s en 0,5 s:

Δp⃗ = (−6, 6) kg·m/s
F⃗_{res, media} = (−12, 12) N

5.16 Cómo verificar un resultado

Una resolución completa debe superar varias comprobaciones:

Resta: el cambio siempre es final menos inicial.
Unidades: Δp se expresa en kg·m/s y Δp/Δt en N.
Dirección: Δp⃗ y la fuerza resultante media deben ser paralelos y tener el mismo sentido.
Caso nulo: si p⃗_f = p⃗_i, entonces Δp⃗ = 0 y la fuerza media resultante es cero.
Masa constante: Δp⃗ = mΔv⃗ solo se usa bajo ese supuesto.
Gráfico: el signo de la pendiente p-t debe coincidir con el signo de la fuerza.

Estas comprobaciones detectan errores de signo que una calculadora no puede reconocer por sí sola.

5.17 Errores frecuentes

Calcular inicial menos final: por definición, Δp⃗ = p⃗_f − p⃗_i.
Restar módulos: deben restarse vectores o componentes.
Ignorar el signo durante un rebote: invertir el sentido produce un cambio aunque la rapidez sea igual.
Confundir p⃗ con Δp⃗: uno describe un estado y el otro la diferencia entre dos estados.
Usar una fuerza individual en lugar de la resultante: la segunda ley utiliza la suma vectorial de fuerzas.
Suponer que fuerza y velocidad apuntan igual: la fuerza apunta como el cambio de p⃗.
Confundir tasa media con valor instantáneo: coinciden si la fuerza es constante, pero no en general.
Interpretar resultante cero como ausencia de fuerzas: pueden existir fuerzas que se cancelan.
Usar F⃗ = m·a⃗ sin masa constante: ese paso requiere revisar el modelo.

5.18 Ejercicios propuestos

Un cuerpo pasa de p_i = +5 a p_f = +17 kg·m/s. Calculá Δp.
Una pelota cambia de p_i = +4 a p_f = −6 kg·m/s. Calculá e interpretá Δp.
Un cuerpo de 3 kg cambia su velocidad de −2 a +5 m/s. Hallá p_i, p_f y Δp.
Calculá Δp⃗ si p⃗_i = (3, −1) y p⃗_f = (−2, 5), en kg·m/s.
El cambio del ejercicio anterior ocurre en 2 s. Calculá la fuerza resultante media.
Una fuerza resultante constante de −6 N actúa durante 3 s sobre un cuerpo con p₀ = +10 kg·m/s. Hallá p_f.
Un gráfico p-t es horizontal en p = −8 kg·m/s. ¿Cuál es la fuerza resultante? ¿Está el cuerpo necesariamente en reposo?
Una pelota cambia su dirección 90° conservando el módulo de p. Explicá por qué Δp⃗ no es cero.
Modificá el código para aplicar F⃗ = (−3, 5) N durante 0,4 s a un cuerpo con p⃗_i = (2, −1) kg·m/s. Anticipá y verificá el resultado.

Ver soluciones y explicaciones

Δp = 17 − 5 = +12 kg·m/s.
Δp = −6 − (+4) = −10 kg·m/s. El cambio apunta en el sentido negativo.
p_i = 3(−2) = −6; p_f = 3(+5) = +15; Δp = 15 − (−6) = +21 kg·m/s.
Δp⃗ = (−2 − 3, 5 − (−1)) = (−5, 6) kg·m/s.
F⃗_{res, media} = Δp⃗/Δt = (−2,5; 3) N.
Δp = FΔt = (−6)(3) = −18 kg·m/s. Entonces p_f = 10 − 18 = −8 kg·m/s.
La pendiente es cero, por lo que F_res = 0. El cuerpo no está en reposo necesariamente: p = −8 kg·m/s indica movimiento en el sentido negativo.
Aunque los módulos inicial y final sean iguales, sus direcciones difieren. La resta vectorial entre ambos no es cero.
Δp⃗ = F⃗Δt = (−1,2; 2) kg·m/s. El resultado es p⃗_f = (0,8; 1) kg·m/s.

5.19 Ideas para recordar

El cambio de cantidad de movimiento es Δp⃗ = p⃗_f − p⃗_i.
La resta debe realizarse vectorialmente o por componentes.
Puede cambiar p⃗ aunque el módulo permanezca constante.
La fuerza resultante es la tasa instantánea de cambio: F⃗_res = dp⃗/dt.
La fuerza media es Δp⃗/Δt.
Para masa constante, F⃗_res = dp⃗/dt equivale a F⃗_res = m·a⃗.
La fuerza resultante apunta como el cambio de p⃗, no necesariamente como la velocidad.
En un gráfico p-t, la pendiente representa la fuerza resultante.
Si la fuerza resultante es nula, la cantidad de movimiento permanece constante.

En el próximo tema definiremos el impulso de una fuerza constante y veremos cómo resume el efecto de la fuerza durante un intervalo.