Cantidad de Movimiento y Colisiones - 7. Impulso de una fuerza variable

7.1 Las fuerzas reales no suelen ser constantes

En el tema anterior calculamos el impulso mediante J⃗ = F⃗Δt. Esa expresión directa funciona cuando la fuerza permanece constante o cuando F⃗ representa un valor medio correctamente definido.

Durante un golpe o una colisión, la fuerza suele comenzar cerca de cero, crecer mientras los cuerpos se deforman, alcanzar un máximo y disminuir al separarse. Un único valor instantáneo no describe todo el proceso.

Para calcular el efecto acumulado de una fuerza variable debemos considerar tanto sus valores como el tiempo durante el cual actúa cada uno.

La herramienta que reúne esa información es el área con signo bajo el gráfico de fuerza en función del tiempo.

7.2 La fuerza como función del tiempo

Escribimos F⃗(t) para indicar que la fuerza puede tener un valor distinto en cada instante. En una dimensión, F(t) puede ser positiva, negativa o nula.

Una tabla, una expresión matemática o un gráfico pueden representar la misma función:

Ejemplo de una fuerza que aumenta con el tiempo.
Tiempo t	Fuerza F(t)	Interpretación
0 s	0 N	Comienza la interacción
0,1 s	20 N	La fuerza aumenta
0,2 s	40 N	Alcanza el valor máximo del ejemplo

El impulso no se obtiene multiplicando necesariamente el valor máximo por la duración, porque la fuerza no mantuvo ese máximo durante todo el intervalo.

7.3 Definición del impulso variable

El impulso de una fuerza variable entre t_i y t_f se define mediante una integral:

J⃗ = ∫_tᵢ^tᶠ F⃗(t) dt

La integral representa una acumulación continua: divide conceptualmente el intervalo en partes muy pequeñas, calcula F⃗·dt en cada una y suma todos esos aportes.

Fuerza variable
F⃗(t)

Aportes pequeños
F⃗(t)·dt

Impulso total
J⃗

No necesitamos dominar técnicas avanzadas de cálculo para interpretar gráficos formados por rectas: podemos obtener sus áreas con figuras geométricas.

7.4 Interpretación como área con signo

En un gráfico F-t, cada franja pequeña tiene base dt y altura F(t). Su área es F(t)dt. La suma de todas las franjas produce el impulso.

impulso = área con signo entre F(t) y el eje temporal

El eje horizontal representa tiempo y el vertical fuerza. Por eso la unidad del área es N·s, exactamente la unidad del impulso.

“Bajo la curva” no significa que todas las áreas sean positivas. Las regiones situadas debajo del eje temporal representan fuerzas negativas y aportes negativos.

7.5 Áreas positivas y negativas

El impulso neto se obtiene sumando algebraicamente ambas regiones:

J = área positiva − valor absoluto del área negativa

Si las áreas tienen igual tamaño, J = 0. Esto no significa que la fuerza haya sido nula: sus efectos positivos y negativos se cancelaron durante el intervalo.

7.6 La fuerza constante como caso particular

Si F(t) = F permanece constante, el gráfico forma un rectángulo. Su área es base por altura:

J = F(t_f − t_i) = FΔt

Por lo tanto, la fórmula del tema anterior no es una regla diferente: es el caso más sencillo de la definición general mediante el área.

Esta conexión permite verificar resultados. Si un método para fuerzas variables no reproduce FΔt cuando la fuerza es constante, está implementado incorrectamente.

7.7 Pulso triangular

Una fuerza que aumenta linealmente desde cero hasta F_máx y luego vuelve linealmente a cero forma un triángulo. Su impulso es:

J = ½ · Δt · F_máx

Por ejemplo, un pulso triangular positivo de 600 N que dura 0,02 s produce:

J = ½(0,02 s)(600 N) = 6 N·s

Multiplicar 600 N por 0,02 s daría 12 N·s y duplicaría el resultado, porque trataría incorrectamente el máximo como si actuara durante todo el intervalo.

7.8 Fuerza que aumenta o disminuye linealmente

Si la fuerza cambia linealmente desde F_i hasta F_f, el área es un trapecio:

J = (F_i + F_f)/2 · Δt

El factor (F_i + F_f)/2 es el promedio de los extremos y coincide con la fuerza media para una variación lineal.

Si F_i = 10 N, F_f = 30 N y Δt = 4 s, entonces J = 20 N · 4 s = 80 N·s.

La fórmula sigue funcionando si ambos valores son negativos. Si tienen signos opuestos, conviene separar el gráfico en el punto donde cruza F = 0 para interpretar las áreas.

7.9 Gráficos por tramos

Una fuerza puede ser constante durante una etapa, variar linealmente en otra y anularse después. Calculamos el área de cada región y sumamos con sus signos:

J = J₁ + J₂ + … + J_n

El orden recomendado es:

marcar los límites temporales de cada tramo;
identificar la figura geométrica;
calcular base y altura con sus unidades;
asignar el signo según la posición respecto del eje;
sumar todos los aportes.

Las regiones donde F = 0 tienen área nula, aunque formen parte de la duración total observada.

7.10 Fuerza media equivalente

La fuerza media es el valor constante que produciría el mismo impulso durante la misma duración:

F_media = J/Δt

Gráficamente, reemplazamos el área irregular por un rectángulo de igual área y base. Para un pulso triangular positivo cuya altura máxima es F_máx:

F_media = F_máx/2

La fuerza media no tiene por qué coincidir con el valor en el punto medio del intervalo. Esa coincidencia ocurre en perfiles lineales, pero no en cualquier curva.

7.11 Impulso por componentes

Para una fuerza vectorial variable integramos cada componente:

J_x = ∫F_x(t)dt J_y = ∫F_y(t)dt

Luego reunimos el resultado como J⃗ = (J_x, J_y) y calculamos módulo y dirección si se requieren.

Las componentes pueden tener perfiles diferentes. Por ejemplo, F_x puede ser constante mientras F_y aumenta linealmente. Cada gráfico se analiza por separado sobre el mismo intervalo.

No debe calcularse primero el módulo variable |F⃗(t)| para luego asignar una dirección promedio. Ese procedimiento pierde información vectorial.

7.12 Impulso de la fuerza resultante

Si actúan varias fuerzas, podemos sumar sus impulsos o integrar directamente la fuerza resultante:

J⃗_res = ΣJ⃗_k = ∫F⃗_res(t)dt

Una fuerza puede variar aunque otra sea constante. La resultante se calcula en cada instante y su área proporciona el impulso neto.

El impulso resultante coincide con el cambio total de cantidad de movimiento, J⃗_res = Δp⃗. El tema 9 desarrollará este teorema y sus aplicaciones de manera sistemática.

7.13 Leer correctamente los ejes

Antes de calcular un área debemos revisar:

qué componente de fuerza representa el eje vertical;
qué unidades y escala utiliza cada división;
si el tiempo está expresado en segundos, milisegundos u otra unidad;
dónde comienza y termina el intervalo solicitado;
en qué instantes la fuerza cruza el eje;
si el gráfico muestra una fuerza individual o la resultante.

Un pulso de 2 ms dura 0,002 s. Omitir esa conversión multiplica el impulso por mil. En impactos breves, este es un error especialmente común.

7.14 Actividad interactiva: perfiles de fuerza

Elegí un perfil, el valor máximo y la duración. El área coloreada se calcula exactamente mediante la geometría de la figura.

Explorador de áreas fuerza-tiempo

Los perfiles representan modelos ideales definidos por segmentos rectos.

Perfil Fuerza máxima: 100 N Duración: 2,0 s

Área positiva100,0 N·s

Área negativa0,0 N·s

Impulso neto+100,0 N·s

Fuerza media+50,0 N

El área es un triángulo: J = ½FmáxΔt.

En el perfil “positivo y negativo”, ambas regiones tienen la misma forma y tamaño, por lo que el impulso neto es cero aunque la fuerza actúe durante todo el intervalo.

7.15 Calcular áreas conocidas con JavaScript

Para perfiles ideales podemos usar fórmulas geométricas exactas:

function impulsoPerfil(tipo, fuerzaMaxN, duracionS) {
  switch (tipo) {
    case "constante":
      return fuerzaMaxN * duracionS;
    case "triangular":
      return 0.5 * fuerzaMaxN * duracionS;
    case "rampaLineal":
      return 0.5 * fuerzaMaxN * duracionS;
    case "positivoNegativoSimetrico":
      return 0;
    default:
      throw new Error("Perfil desconocido");
  }
}

const impulsoNs = impulsoPerfil("triangular", 100, 2);
console.log(impulsoNs); // 100 N·s

Un pulso triangular que sube y baja y una rampa que solo sube tienen la misma área si comparten base y altura, aunque sus formas sean diferentes.

Este código no sirve para una curva arbitraria ni para mediciones sin una fórmula geométrica clara. En el próximo tema construiremos aproximaciones numéricas generales.

7.16 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: pulso triangular

Una fuerza aumenta de 0 a 300 N y vuelve a 0 durante 0,04 s:

J = ½(0,04)(300) = 6 N·s

Ejemplo 2: trapecio

La fuerza crece linealmente de 20 N a 50 N durante 3 s:

J = (20 + 50)/2 · 3 = 105 N·s

Ejemplo 3: dos áreas con signo

Una fuerza vale +8 N durante 2 s y luego −4 N durante 3 s:

J = (+8)(2) + (−4)(3) = 16 − 12 = +4 N·s

Ejemplo 4: fuerza media

Una interacción variable produce 18 N·s en 0,06 s:

F_media = 18/0,06 = 300 N

7.17 Supuestos y comprobaciones

Antes de aceptar el resultado conviene comprobar:

el intervalo coincide con la región integrada;
el tiempo fue convertido a segundos;
las áreas debajo del eje tienen signo negativo;
la unidad final es N·s o kg·m/s;
el impulso queda entre límites razonables según el gráfico;
la fuerza media reproduce el área: F_mediaΔt = J;
cada componente se analizó por separado.

Si la fuerza nunca cambia de signo y permanece entre F_mín y F_máx, el impulso debe quedar entre F_mínΔt y F_máxΔt.

7.18 Errores frecuentes

Multiplicar el máximo por toda la duración: sobreestima el área si la fuerza no se mantiene en el máximo.
Olvidar el factor ½ de un triángulo: duplica el impulso.
Sumar como positivas las regiones inferiores: el área es algebraica.
Confundir pendiente con área: la pendiente describe cómo cambia la fuerza; el área representa impulso.
Leer mal la escala: cada división puede representar más de una unidad.
Usar milisegundos como segundos: produce un error por un factor de mil.
Promediar extremos de una curva cualquiera: solo es exacto para variación lineal.
Integrar el módulo en lugar de la componente: elimina cancelaciones de sentido.
Mezclar fuerzas individuales con la resultante: debe indicarse qué gráfico se está usando.

7.19 Ejercicios propuestos

Una fuerza constante de +12 N actúa durante 5 s. Interpretá y calculá el área F-t.
Un pulso triangular alcanza 80 N y dura 0,5 s. Hallá su impulso.
Una fuerza aumenta linealmente de 10 N a 30 N durante 4 s. Calculá J y F_media.
Una fuerza vale +6 N durante 3 s y −2 N durante 5 s. Calculá las áreas positiva, negativa y neta.
Un gráfico presenta un triángulo de −50 N de altura y 0,2 s de base debajo del eje. Hallá el impulso.
Un impulso de 24 N·s se produce en 0,08 s. Calculá la fuerza media equivalente.
F_x forma un rectángulo de +4 N durante 2 s y F_y un triángulo de altura −6 N con la misma duración. Hallá J⃗ y su módulo.
Explicá por qué un impulso neto cero no demuestra que la fuerza haya sido cero durante todo el intervalo.
Modificá el ejemplo JavaScript para un perfil triangular de −120 N y 0,3 s. ¿Qué cambio requiere el programa y qué impulso debe obtener?

Ver soluciones y explicaciones

El gráfico forma un rectángulo sobre el eje. J = 12·5 = +60 N·s.
J = ½·80·0,5 = 20 N·s.
F_media = (10 + 30)/2 = 20 N. J = 20·4 = 80 N·s.
Área positiva: +18 N·s. Área negativa: −10 N·s. Impulso neto: +8 N·s.
J = ½·0,2·(−50) = −5 N·s.
F_media = 24/0,08 = 300 N.
J_x = 4·2 = 8 N·s. J_y = ½·(−6)·2 = −6 N·s. J⃗ = (8, −6) N·s y |J⃗| = 10 N·s.
Puede haber áreas positivas y negativas iguales que se cancelen. La fuerza actuó, pero su efecto acumulado neto fue cero.
Debe admitirse una fuerza máxima con signo negativo o pasarse −120 como argumento. J = ½·(−120)·0,3 = −18 N·s.

7.20 Ideas para recordar

Una fuerza variable se representa como F⃗(t).
Su impulso es J⃗ = ∫F⃗(t)dt.
En un gráfico F-t, el impulso es el área con signo respecto del eje temporal.
Las regiones sobre el eje aportan positivamente y las inferiores, negativamente.
Rectángulos, triángulos y trapecios permiten calcular exactamente perfiles lineales.
La fuerza media equivalente satisface F⃗_mediaΔt = J⃗.
Las componentes del impulso se calculan por separado.
El impulso resultante es la suma de los impulsos individuales.
Cuando la forma no admite un área exacta sencilla, necesitaremos una aproximación numérica.

En el próximo tema aprenderemos a aproximar impulsos mediante sumas numéricas a partir de funciones o mediciones discretas.