8. Aproximar impulsos mediante sumas numéricas

8.1 Cuando la geometría elemental no alcanza

En el tema anterior calculamos impulsos como áreas de rectángulos, triángulos y trapecios. Pero una fuerza real puede seguir una curva irregular o conocerse únicamente mediante datos registrados por un sensor.

En esos casos dividimos el intervalo en partes pequeñas, aproximamos la fuerza dentro de cada parte y sumamos los impulsos parciales.

El resultado es una aproximación. Su calidad depende del método, del tamaño de los intervalos y de cómo varía la fuerza entre las muestras.

8.2 Dividir el intervalo

Sea una fuerza F(t) definida entre t₀ y t_n. Elegimos puntos intermedios que forman n subintervalos:

La duración del intervalo i es:

Si todos tienen la misma duración, la partición es uniforme y escribimos simplemente Δt = (t_f − t_i)/n. Los datos experimentales no siempre están igualmente espaciados, por lo que conviene conservar cada Δt_i.

8.3 Sumar pequeños impulsos

En cada subintervalo tratamos la fuerza como aproximadamente constante. El aporte es:

Al sumar todos los aportes obtenemos una suma de Riemann:

El subíndice i identifica el tramo. La fuerza representativa puede tomarse al inicio, al final, en el punto medio o como promedio de los extremos.

8.4 Rectángulos por la izquierda

El método izquierdo usa el valor al comienzo de cada subintervalo:

Si la fuerza es positiva y creciente, los rectángulos quedan por debajo de la curva y el método subestima el impulso. Si es decreciente, suele sobreestimarlo.

Es fácil de implementar porque usa muestras ya disponibles al iniciar cada paso de simulación. Sin embargo, su error puede ser apreciable con pocos intervalos.

8.5 Rectángulos por la derecha

El método derecho usa el valor al final de cada subintervalo:

Para una fuerza positiva creciente, los rectángulos superan la curva y sobreestiman el impulso. La comparación entre las sumas izquierda y derecha puede proporcionar una primera idea del error.

Estas conclusiones sobre sobreestimación o subestimación requieren una función monótona y sin cambios de signo. No deben aplicarse automáticamente a una curva irregular.

8.6 Método del punto medio

En cada intervalo evaluamos la fuerza en el instante central:

El punto medio suele producir una aproximación mucho mejor que elegir siempre un extremo, especialmente cuando la fuerza cambia suavemente.

Este método requiere poder evaluar F(t) en los puntos medios. Si solo disponemos de mediciones en los extremos, quizá no tengamos esos valores.

8.7 Regla del trapecio

La regla del trapecio supone que la fuerza cambia linealmente entre dos muestras consecutivas. Usa el promedio de sus valores:

Es exacta para fuerzas constantes o lineales por tramos. Además, resulta especialmente práctica con tablas experimentales porque utiliza directamente pares de muestras consecutivas.

Para una curva no lineal continúa siendo una aproximación, pero normalmente mejora al reducir la separación entre muestras.

8.8 Comparación de los métodos

No existe un método universalmente mejor para cualquier dato. La elección depende de la información disponible y de la precisión buscada.

8.9 Ejemplo con muestras uniformes

Una fuerza fue medida cada 0,1 s:

Con trapecios sumamos cuatro intervalos:

Como los tiempos están igualmente espaciados podemos factorizar Δt. Con intervalos desiguales deberíamos multiplicar cada promedio por su duración particular.

8.10 Muestras con intervalos desiguales

Supongamos las muestras (0 s, 0 N), (0,1 s, 20 N) y (0,4 s, 10 N). Los intervalos duran 0,1 s y 0,3 s. La regla del trapecio da:

Usar Δt = 0,1 s para ambos tramos ignoraría que el segundo dura tres veces más. Un algoritmo robusto debe calcular cada diferencia temporal a partir de los datos.

8.11 Cambios de signo

Las sumas numéricas deben conservar el signo de la fuerza. Un tramo negativo resta impulso. Si una fuerza cruza F = 0 entre dos muestras, la regla del trapecio interpola linealmente ese cruce.

Por ejemplo, F cambia de +10 N a −10 N en 0,2 s:

El área triangular positiva se cancela con la negativa bajo el supuesto lineal. Sumar valores absolutos daría 2 N·s y respondería otra pregunta: el área total sin signo, no el impulso.

8.12 Fuerzas vectoriales

Para una fuerza en dos o tres dimensiones, aplicamos el método numérico a cada componente:

La dirección de la fuerza puede cambiar durante el intervalo. Integrar las componentes conserva esa información y permite que aportes opuestos se cancelen.

No es equivalente sumar |F⃗_i|Δt y luego asignar una dirección promedio. Ese procedimiento calcula una acumulación de módulos, no el impulso vectorial.

8.13 Convergencia y tamaño del paso

Al aumentar el número de subintervalos, su ancho disminuye y las figuras se ajustan mejor a la curva. Si el método y la función se comportan adecuadamente, la aproximación converge al valor de la integral.

Reducir Δt no elimina errores en los datos originales. Mediciones ruidosas, sensores mal calibrados o muestras faltantes también afectan el resultado.

Una prueba práctica consiste en repetir el cálculo duplicando n. Si el resultado cambia mucho, el paso anterior era insuficiente. Si los primeros dígitos se estabilizan, tenemos evidencia de convergencia.

8.14 Error absoluto y error relativo

Cuando conocemos un valor de referencia J_ref, podemos medir la calidad de la aproximación:

El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100 %. Si J_ref = 12 N·s y obtenemos 11,7 N·s, el error absoluto es 0,3 N·s y el porcentual 2,5 %.

El error relativo no está definido cuando J_ref = 0. En ese caso informamos error absoluto y una tolerancia coherente con la escala de las fuerzas.

8.15 Actividad interactiva: aproximar una curva

La curva representa F(t) = F_máx(t/T)² entre 0 y T. Su impulso exacto es F_máxT/3. Compará métodos y cantidades de intervalos.

Aumentá gradualmente el número de intervalos. Compará cuánto tardan en estabilizarse los métodos de extremos, punto medio y trapecios.

8.16 Integrar una tabla con JavaScript

La regla del trapecio se adapta bien a muestras con intervalos desiguales:

function impulsoTrapecios(muestras) {
  if (muestras.length < 2) return 0;

  let impulsoNs = 0;

  for (let i = 0; i < muestras.length - 1; i++) {
    const actual = muestras[i];
    const siguiente = muestras[i + 1];
    const dt = siguiente.tS - actual.tS;

    if (dt <= 0) {
      throw new Error("Los tiempos deben ser crecientes");
    }

    const fuerzaMediaN = (actual.fN + siguiente.fN) / 2;
    impulsoNs += fuerzaMediaN * dt;
  }

  return impulsoNs;
}

const datos = [
  { tS: 0, fN: 0 },
  { tS: 0.1, fN: 20 },
  { tS: 0.4, fN: 10 }
];

console.log(impulsoTrapecios(datos)); // 5.5 N·s

El algoritmo calcula cada Δt en lugar de asumir muestreo uniforme. También valida que los tiempos estén ordenados y no se repitan.

Para vectores podemos ejecutar la misma acumulación con fuerza.x, fuerza.y y, si corresponde, fuerza.z.

8.17 Preparar y validar datos experimentales

Antes de integrar una tabla conviene:

1. comprobar que tiempos y fuerzas tienen unidades conocidas;
2. ordenar las muestras por tiempo;
3. detectar tiempos duplicados o faltantes;
4. verificar que todos los valores sean finitos;
5. restar el valor de base del sensor si existe un desplazamiento sistemático;
6. conservar el signo de cada componente;
7. documentar cualquier filtrado aplicado al ruido.

Interpolar o suavizar puede ser útil, pero también modifica los datos. Esas operaciones deben registrarse para que el cálculo pueda reproducirse.

8.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: suma izquierda

Para F(t) = t² N entre 0 y 2 s, usamos dos intervalos de 1 s. Los extremos izquierdos son 0 y 1:

Ejemplo 2: suma derecha

Con la misma función y partición, los extremos derechos son 1 y 2:

Ejemplo 3: punto medio

Los puntos medios son 0,5 y 1,5 s:

Ejemplo 4: trapecios

Para las muestras 0, 1 y 4 N:

El valor exacto es 8/3 ≈ 2,67 N·s. Con esta partición, punto medio subestima y trapecios sobreestima.

8.19 Errores frecuentes

• Confundir muestras con intervalos: n+1 puntos forman n intervalos.
• Usar siempre el mismo Δt: solo es correcto si el muestreo es uniforme.
• Omitir el ancho: sumar fuerzas no produce impulso; cada aporte requiere multiplicar por tiempo.
• Eliminar signos: las fuerzas negativas deben restar área.
• Aplicar conclusiones de crecimiento a curvas irregulares: izquierda y derecha no siempre acotan el valor.
• Creer que trapecios siempre es exacto: lo es para variaciones lineales, no para cualquier curva.
• Reducir Δt sin revisar los datos: el ruido y la calibración no desaparecen con más muestras.
• Comparar errores relativos con referencia cero: en ese caso se usa error absoluto.
• Integrar módulos en un problema vectorial: deben acumularse las componentes.

8.20 Ejercicios propuestos

1. Cuatro muestras igualmente espaciadas por 0,2 s tienen fuerzas 0, 5, 9 y 12 N. ¿Cuántos intervalos forman?
2. Usá la suma izquierda con las muestras del ejercicio anterior.
3. Usá la suma derecha con las mismas muestras.
4. Aplicá trapecios a las muestras y compará el resultado con las sumas anteriores.
5. Calculá por trapecios el impulso de (0 s, 0 N), (0,1 s, 40 N), (0,25 s, 20 N) y (0,5 s, 0 N).
6. Una fuerza cambia linealmente de +15 N a −5 N en 0,4 s. Calculá el impulso mediante un trapecio.
7. Para F(t) = 2t N entre 0 y 2 s, calculá la suma izquierda y la de trapecios con dos intervalos. Compará con el valor exacto de 4 N·s.
8. Una aproximación da 9,7 N·s y la referencia es 10 N·s. Calculá los errores absoluto y porcentual.
9. Modificá el arreglo del ejemplo JavaScript con las muestras (0; 0), (0,2; 10), (0,5; −4) y (0,8; 0). Anticipá y verificá el impulso.

8.21 Ideas para recordar

• La integración numérica aproxima el área mediante subintervalos.
• Cada aporte tiene la forma fuerza representativa por duración.
• Izquierda, derecha y punto medio construyen rectángulos diferentes.
• Trapecios promedia muestras consecutivas y admite intervalos desiguales.
• Las regiones negativas deben conservar su signo.
• Una fuerza vectorial se integra por componentes.
• Al reducir el paso debemos comprobar que el resultado converge.
• La calidad también depende de la medición, calibración y limpieza de los datos.
• El resultado debe expresarse en N·s o kg·m/s.

En el próximo tema aplicaremos estas ideas al teorema impulso-cantidad de movimiento.