9. Teorema impulso-cantidad de movimiento

9.1 Reunir fuerza, tiempo y movimiento

En los temas anteriores estudiamos tres ideas conectadas: la fuerza resultante determina cómo cambia la cantidad de movimiento, el impulso acumula la fuerza durante un intervalo y el cambio de momento compara los estados final e inicial.

El teorema impulso-cantidad de movimiento reúne esas ideas en una sola ecuación:

Esta relación permite analizar una interacción sin conocer cada detalle del movimiento durante el proceso. Basta determinar el impulso resultante o conocer los estados de movimiento en los extremos.

9.2 Enunciado completo

El impulso de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo durante un intervalo es igual a la variación de su cantidad de movimiento:

Usando J⃗_res para representar la integral:

La igualdad es vectorial. Ambos miembros tienen la misma dirección, el mismo sentido y la misma unidad: N·s, equivalente a kg·m/s.

9.3 Deducción desde la segunda ley de Newton

Partimos de la forma general de la segunda ley:

Multiplicamos conceptualmente por un intervalo infinitesimal dt:

Acumulamos ambos miembros desde t_i hasta t_f:

El primer miembro es el impulso resultante y el segundo es el cambio total de cantidad de movimiento. Por eso J⃗_res = Δp⃗.

9.4 Interpretación como suma vectorial

Podemos reordenar el teorema para calcular el estado final:

El impulso es un vector que se agrega al momento inicial. Si apunta igual que p⃗_i, aumenta su módulo; si apunta en sentido contrario, puede reducirlo, anularlo o invertirlo; si no es paralelo, cambia la dirección.

9.5 Debe usarse el impulso resultante

El cambio total de cantidad de movimiento corresponde a la suma de los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo:

Si una mano impulsa un bloque mientras el rozamiento se opone, no basta usar el impulso de la mano. Debemos sumar vectorialmente ambos aportes.

En una dirección donde los impulsos individuales se cancelan, la componente correspondiente de Δp⃗ es cero, aunque hayan actuado fuerzas durante todo el intervalo.

9.6 Fuerza constante y fuerza variable

El teorema no cambia. Lo que cambia es el procedimiento usado para obtener el impulso.

9.7 Aplicación en una dimensión

Elegimos un eje positivo y conservamos los signos:

Si p_i = +5 kg·m/s y J_res = −8 N·s:

El cuerpo termina moviéndose en el sentido negativo. El impulso opuesto fue mayor que el momento inicial.

No debemos reemplazar los valores por sus módulos: el signo contiene la información necesaria para detectar la inversión.

9.8 Tres tipos de problemas

La ecuación puede despejar cualquiera de sus tres vectores principales:

Es útil escribir primero el despeje simbólico y sustituir los números después. Así se reducen errores de signo.

9.9 Relación con la velocidad

Para un cuerpo de masa constante, p⃗ = m·v⃗. Entonces:

Podemos hallar la velocidad final mediante:

Un mismo impulso produce un cambio de velocidad inversamente proporcional a la masa. Sin embargo, produce el mismo cambio de cantidad de movimiento sin importar cómo sea la masa del cuerpo receptor.

9.10 Detener, acelerar e invertir el movimiento

En una dimensión, el valor del impulso respecto de p_i permite anticipar el resultado:

La tabla supone que impulso y momento inicial son colineales y opuestos. En dos dimensiones, un impulso lateral puede desviar el cuerpo sin llevar su momento a cero.

9.11 Leer el impulso desde un gráfico

Si se proporciona un gráfico F_res-t, primero calculamos el área con signo y luego usamos el teorema:

Un gráfico puede contener regiones positivas y negativas. Deben sumarse antes de actualizar p. El máximo de la fuerza no permite conocer directamente el cambio si ignoramos la forma y la duración.

Si el gráfico corresponde a una fuerza individual, su área proporciona solamente el impulso de esa fuerza. Para aplicar el teorema al cambio total necesitamos sumar los impulsos restantes.

9.12 Elegir correctamente el intervalo

Los estados p⃗_i y p⃗_f deben corresponder exactamente a los extremos usados para calcular el impulso. Si integramos la fuerza entre 1 s y 3 s, no podemos comparar momentos medidos en 0 s y 4 s.

Durante una colisión suele elegirse desde inmediatamente antes hasta inmediatamente después del contacto. Durante un frenado puede elegirse desde que comienza la acción hasta que el vehículo se detiene.

9.13 Un cuerpo o un sistema

Para un solo cuerpo, sumamos los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Para un sistema de varios cuerpos, el cambio de P⃗ se relaciona con los impulsos ejercidos desde el entorno sobre el sistema completo.

Las interacciones entre cuerpos incluidos son internas. Sus efectos individuales pueden cambiar p⃗_A y p⃗_B, pero no se agregan como impulsos externos sobre el conjunto A+B.

Esta distinción será esencial al formular la conservación de la cantidad de movimiento. Por ahora, basta mantener coherente la frontera anunciada.

9.14 Método de resolución

1. Dibujar el eje positivo y anotar los signos.
2. Definir el cuerpo o sistema estudiado.
3. Identificar todas las fuerzas externas relevantes.
4. Calcular el impulso resultante mediante FΔt, un área o una suma numérica.
5. Escribir el teorema y despejar simbólicamente la incógnita.
6. Sustituir datos con unidades consistentes.
7. Interpretar el signo, la dirección y el sentido del resultado.
8. Comprobar el balance p⃗_i + J⃗_res = p⃗_f.

9.15 Actividad interactiva: balance vectorial en una dimensión

Modificá la masa, la velocidad inicial y el impulso resultante. Las flechas representan la suma p_i + J_res = p_f.

Buscá el impulso exacto que detiene al cuerpo. Después aumentá su módulo en una unidad y observá la inversión del movimiento.

9.16 Implementar el teorema con JavaScript

Una función puede sumar el impulso resultante al momento inicial y obtener la velocidad final:

function aplicarImpulso(cuerpo, impulsoResultanteNs) {
  if (cuerpo.masaKg <= 0) {
    throw new RangeError("La masa debe ser positiva");
  }

  const momentoFinal = {
    x: cuerpo.momento.x + impulsoResultanteNs.x,
    y: cuerpo.momento.y + impulsoResultanteNs.y
  };

  return {
    ...cuerpo,
    momento: momentoFinal,
    velocidad: {
      x: momentoFinal.x / cuerpo.masaKg,
      y: momentoFinal.y / cuerpo.masaKg
    }
  };
}

const cuerpoInicial = {
  masaKg: 2,
  momento: { x: 6, y: 0 }
};

const cuerpoFinal = aplicarImpulso(
  cuerpoInicial,
  { x: -8, y: 0 }
);

console.log(cuerpoFinal.momento);   // { x: -2, y: 0 }
console.log(cuerpoFinal.velocidad); // { x: -1, y: 0 }

La función devuelve un estado nuevo para conservar el inicial y poder comparar ambos. Esta práctica facilita las pruebas y evita perder datos necesarios para verificar Δp⃗.

9.17 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: fuerza constante

Una fuerza resultante de +12 N actúa 0,5 s sobre un cuerpo con p_i = −2 kg·m/s:

Ejemplo 2: impulso requerido para detener

Una pelota de 0,4 kg se mueve a +15 m/s:

Ejemplo 3: fuerza variable

Un pulso triangular positivo tiene altura 100 N y duración 0,2 s. El cuerpo parte con p_i = +3 kg·m/s:

Ejemplo 4: hallar fuerza media

Un objeto cambia de −5 a +7 kg·m/s en 0,03 s:

9.18 Verificar el balance

Una solución debe cumplir simultáneamente:

• J⃗_res = p⃗_f − p⃗_i;
• p⃗_i + J⃗_res = p⃗_f;
• las unidades N·s y kg·m/s son compatibles;
• el signo del cambio coincide con el sentido del impulso;
• el impulso corresponde al mismo intervalo que los estados;
• se incluyeron todas las fuerzas externas relevantes.

También conviene comprobar casos límite. Si J⃗_res = 0, debe resultar p⃗_f = p⃗_i. Si p⃗_i = 0, el momento final debe coincidir con el impulso.

9.19 Errores frecuentes

• Usar el impulso de una sola fuerza: el cambio total requiere el impulso resultante.
• Sumar impulso al módulo de p: la operación debe conservar signos o componentes.
• Invertir la resta: J⃗_res = p⃗_f − p⃗_i.
• Confundir N·s con N/s: el impulso es fuerza multiplicada por tiempo.
• Usar el valor máximo como fuerza media: solo es correcto si el gráfico lo justifica.
• Mezclar intervalos: fuerza y estados deben compartir los mismos extremos temporales.
• Mezclar cuerpos o sistemas: el impulso y Δp⃗ deben referirse al mismo sistema.
• Suponer que impulso opuesto siempre detiene: depende de su módulo respecto de |p⃗_i|.
• Confundir conservación con teorema: el teorema siempre relaciona impulso externo y cambio; la conservación exige impulso resultante nulo.

9.20 Ejercicios propuestos

1. Un cuerpo tiene p_i = +7 kg·m/s y recibe J_res = +5 N·s. Hallá p_f.
2. Un objeto pasa de p_i = +9 a p_f = −3 kg·m/s. Calculá el impulso resultante.
3. Un impulso de −6 N·s deja un cuerpo con p_f = +2 kg·m/s. Hallá p_i.
4. Una fuerza resultante de +20 N actúa durante 0,4 s sobre un cuerpo de 4 kg inicialmente en reposo. Calculá p_f y v_f.
5. Una pelota de 0,5 kg cambia su velocidad de +8 a −6 m/s. Hallá J_res.
6. Un pulso triangular negativo alcanza −300 N y dura 0,04 s. Si p_i = +10 kg·m/s, calculá p_f.
7. Dos fuerzas producen impulsos +14 y −5 N·s sobre un cuerpo con p_i = −2 kg·m/s. Hallá el impulso resultante y el momento final.
8. Un cuerpo cambia de +18 a 0 kg·m/s en 0,06 s. Calculá el impulso y la fuerza resultante media.
9. Modificá el ejemplo JavaScript para un cuerpo de 5 kg con p⃗_i = (10, −5) kg·m/s y J⃗_res = (−4, 15) N·s. Predecí y verificá el estado final.

9.21 Ideas para recordar

• El teorema establece J⃗_res = Δp⃗.
• También puede escribirse p⃗_f = p⃗_i + J⃗_res.
• Debe utilizarse la fuerza resultante o la suma de todos los impulsos externos.
• El teorema vale para fuerzas constantes y variables.
• Impulso y cambio de momento tienen unidad N·s = kg·m/s.
• Para masa constante, J⃗_res = m(v⃗_f − v⃗_i).
• Un impulso opuesto puede frenar, detener o invertir el movimiento.
• Impulso, estados y fuerzas deben referirse al mismo sistema e intervalo.
• El balance se verifica reconstruyendo p⃗_f a partir de p⃗_i y J⃗_res.

En el próximo tema aplicaremos el teorema de manera sistemática por componentes en una y dos dimensiones.