12. Pendientes y áreas: conectar gráficos y magnitudes cinemáticas

12.1 Una cadena de cambios

La posición x indica dónde está un objeto; la velocidad v indica cómo cambia su posición; la aceleración a indica cómo cambia su velocidad. En los gráficos, la pendiente permite avanzar hacia la tasa de cambio y el área firmada permite reconstruir el cambio acumulado.

12.2 Pendiente entre dos puntos

Para una gráfica y frente a t, la pendiente media entre dos instantes es:

El signo indica si la función crece o decrece. El módulo indica cuán rápido cambia, y las unidades resultan de dividir las unidades del eje vertical por segundos.

12.3 De posición a velocidad media

En una gráfica x-t, la pendiente de la recta secante entre dos puntos es:

Una pendiente positiva significa desplazamiento hacia +x; una negativa, hacia −x; una pendiente nula indica igual posición en ambos extremos, aunque el móvil podría haberse desplazado y regresado dentro del intervalo.

12.4 Pendiente instantánea

Al acercar los extremos del intervalo, la recta secante se aproxima a la tangente. Su pendiente representa la velocidad instantánea:

En programación podemos aproximarla usando un intervalo pequeño. Un intervalo demasiado grande pierde detalle; uno extremadamente pequeño puede amplificar errores numéricos.

12.5 De velocidad a aceleración

En una gráfica v-t, la pendiente media es la aceleración media:

Si v-t es horizontal, a=0. Una pendiente negativa significa aceleración negativa, pero no necesariamente pérdida de rapidez: también hay que observar el signo de v.

12.6 El área como acumulación

El área bajo una gráfica no es solo una forma geométrica: suma pequeños productos “altura por tiempo”. Debe incluir unidades y signo. Si la magnitud vertical es negativa, esa parte del área resta.

Dividir el intervalo en franjas y sumar sus áreas aproxima el valor acumulado; al hacerlas cada vez más estrechas obtenemos la integral.

12.7 De velocidad a desplazamiento

El área firmada bajo v-t entre t₁ y t₂ equivale al desplazamiento:

Las unidades confirman la relación: (m/s)·s=m. El área positiva aumenta x y el área negativa la disminuye.

12.8 Desplazamiento y distancia

El desplazamiento suma áreas con signo. La distancia recorrida suma sus módulos:

Si v cambia de signo, el móvil invierte el sentido. Entonces distancia y módulo del desplazamiento dejan de coincidir.

12.9 De aceleración a cambio de velocidad

El área firmada bajo a-t produce el cambio de velocidad:

El área no proporciona por sí sola la velocidad absoluta: necesitamos una condición inicial v₁.

12.10 Laboratorio de conexiones

12.11 Áreas geométricas simples

Las alturas conservan signo. Un trapecio debajo del eje aporta un área negativa.

12.12 Ejemplo combinado

Una velocidad aumenta linealmente de 2 m/s a 10 m/s durante 4 s. La pendiente y el área del trapecio son:

La misma gráfica responde dos preguntas distintas: su inclinación da aceleración y su área da desplazamiento.

12.13 Reconstruir requiere un estado inicial

Si el área bajo v-t vale 24 m, sabemos que x₂−x₁=24 m. Para obtener x₂ hace falta x₁. Del mismo modo, el área bajo a-t entrega Δv y necesita v₁ para reconstruir v₂.

12.14 Datos discretos y regla del trapecio

Las simulaciones y sensores suelen entregar muestras. Si asumimos una variación lineal entre muestras consecutivas:

Esta regla funciona también cuando los pasos temporales son diferentes, siempre que usemos el Δt de cada par.

12.15 Calcular pendientes con JavaScript

function pendienteMedia(puntoA, puntoB) {
  const dt = puntoB.tiempoS - puntoA.tiempoS;
  if (Math.abs(dt) < 1e-12) {
    throw new RangeError("Los tiempos deben ser diferentes");
  }
  return (puntoB.valor - puntoA.valor) / dt;
}

const p1 = { tiempoS: 1, valor: 3 };
const p2 = { tiempoS: 5, valor: 15 };
console.log(pendienteMedia(p1, p2));

Si los valores son posiciones en metros, el resultado está en m/s. Si son velocidades, queda en m/s².

12.16 Integrar muestras de velocidad

function areaTrapecios(muestras) {
  let area = 0;
  for (let i = 0; i < muestras.length - 1; i++) {
    const actual = muestras[i];
    const siguiente = muestras[i + 1];
    const dt = siguiente.tiempoS - actual.tiempoS;
    if (dt <= 0) throw new RangeError("Tiempos desordenados");
    area += 0.5 * (actual.valor + siguiente.valor) * dt;
  }
  return area;
}

const velocidad = [
  { tiempoS: 0, valor: 2 },
  { tiempoS: 2, valor: 6 },
  { tiempoS: 4, valor: 10 }
];
console.log(areaTrapecios(velocidad));

Como la velocidad del ejemplo es lineal, la regla del trapecio obtiene el desplazamiento exacto: 24 m.

12.17 Separar desplazamiento y distancia

function acumularMovimiento(tramos) {
  return tramos.reduce((total, tramo) => {
    const area = 0.5 * (tramo.vInicialMps + tramo.vFinalMps)
      * tramo.duracionS;
    total.desplazamientoM += area;
    total.distanciaM += Math.abs(area);
    return total;
  }, { desplazamientoM: 0, distanciaM: 0 });
}

console.log(acumularMovimiento([
  { vInicialMps: 4, vFinalMps: 4, duracionS: 3 },
  { vInicialMps: -2, vFinalMps: -2, duracionS: 2 }
]));

Esta versión supone que la velocidad no cruza por cero dentro de cada tramo. Si lo hace, debemos dividir justo en la raíz antes de sumar módulos.

12.18 Verificaciones útiles

• La pendiente debe tener unidades de “vertical dividido tiempo”.
• El área debe tener unidades de “vertical multiplicado por tiempo”.
• Una línea horizontal tiene pendiente cero, pero puede encerrar área no nula.
• Un área neta cero no implica necesariamente reposo ni distancia cero.
• Reducir el paso de integración debería estabilizar el resultado.
• Reconstruir una función exige una condición inicial.

12.19 Errores frecuentes

• Confundir pendiente con altura: una posición grande no implica velocidad grande.
• Ignorar el signo del área: las regiones bajo el eje deben restarse.
• Usar área firmada como distancia: la distancia suma contribuciones positivas.
• Olvidar la condición inicial: el área solo proporciona un cambio.
• Suponer pasos uniformes: cada par de muestras puede tener un Δt distinto.
• Unir puntos lejanos: una secante puede ocultar cambios intermedios.

12.20 Ejercicios propuestos

1. Una posición cambia 12 m en 3 s. Calculá la pendiente media.
2. Una velocidad constante de 5 m/s dura 4 s. Calculá desplazamiento y distancia.
3. La aceleración constante es −3 m/s² durante 2 s. Calculá Δv.
4. En v-t, un triángulo positivo tiene base 6 s y altura 4 m/s. Calculá su área.
5. Una velocidad vale +3 m/s durante 2 s y −3 m/s durante otros 2 s. Hallá desplazamiento y distancia.
6. Explicá por qué el área bajo a-t no determina por sí sola la velocidad final.

12.21 Ideas para recordar

• La pendiente x-t es velocidad.
• La pendiente v-t es aceleración.
• El área v-t es desplazamiento.
• El área a-t es cambio de velocidad.
• Las áreas deben conservar signos y unidades.
• Para reconstruir valores absolutos se necesitan condiciones iniciales.
• Las secantes y los trapecios conectan datos discretos con modelos continuos.

En el próximo tema aplicaremos estas conexiones al movimiento rectilíneo uniforme.