15. Ecuaciones cinemáticas y elección de la fórmula adecuada

15.1 El verdadero problema: construir el modelo

Las ecuaciones cinemáticas no son recetas independientes. Todas describen el mismo movimiento rectilíneo con aceleración constante. La elección correcta comienza antes del cálculo: debemos decidir qué objeto estudiamos, cuál es el intervalo, dónde está el origen, qué sentido es positivo y si la aceleración puede considerarse constante.

Una fórmula puede estar bien escrita y aun así ser inadecuada si sus supuestos no coinciden con la situación.

15.2 Las cinco magnitudes principales

En el MRUA, si conocemos tres de estas magnitudes normalmente podemos hallar una cuarta. La posición inicial se incorpora mediante Δx=x−x₀.

15.3 La familia de ecuaciones

La última relación solo adopta esta forma cuando la aceleración es constante. No debe generalizarse a cualquier movimiento.

15.4 Una estrategia sistemática

1. Escribí los datos con símbolo, valor, unidad y signo.
2. Definí la incógnita.
3. Comprobá que el modelo sea MRU o MRUA.
4. Buscá una ecuación que contenga la incógnita y los datos, pero no otra magnitud desconocida.
5. Despejá de forma simbólica antes de sustituir.
6. Calculá conservando unidades.
7. Verificá dimensiones, signo, dominio y sentido físico.

15.5 Tabla de ausencia

Una forma rápida de elegir es observar qué variable no aparece:

Si el tiempo es desconocido e innecesario, la tercera ecuación evita introducirlo. La mejor fórmula suele ser la que contiene menos incógnitas adicionales.

15.6 Laboratorio: selector de ecuaciones

15.7 Ejemplo: calcular la velocidad

Un móvil tiene v₀=4 m/s, a=3 m/s² y se mueve durante 5 s. Buscamos v; conocemos v₀, a y t. La ecuación v=v₀+at conecta esas cuatro variables:

El desplazamiento no es necesario. Calcularlo sería correcto, pero agregaría trabajo que la pregunta no pide.

15.8 Ejemplo: frenar en una distancia conocida

Un vehículo circula a 20 m/s, frena con a=−4 m/s² y queremos su velocidad luego de avanzar 32 m. No conocemos t, por lo que usamos:

La ecuación cuadrática produce dos raíces algebraicas. En este tramo el vehículo todavía avanza en el sentido positivo, por lo que corresponde v=+12 m/s. La raíz negativa podría corresponder a otro estado matemático, no al intervalo físico analizado.

15.9 Ejemplo: tiempo de caída

Si soltamos un objeto desde el reposo y tomamos hacia abajo como positivo, v₀=0, a=g y Δx=h. La posición conduce a:

Para h=19,6 m y g=9,8 m/s² obtenemos t=2 s. Con el eje hacia arriba, tanto Δx como a serían negativos y el mismo resultado surgiría manteniendo los signos coherentes.

15.10 Despejar antes de sustituir

El despeje simbólico muestra dependencias, permite revisar unidades y evita repetir cálculos. Por ejemplo, de v=v₀+at:

Debe considerarse el dominio: la forma para t requiere a≠0. Dividir por cero no significa “tiempo infinito”; indica que esa transformación no es válida para el caso.

15.11 Resolver una ecuación cuadrática

Cuando buscamos t en Δx=v₀t+½at², aparece:

El discriminante debe ser no negativo para obtener soluciones reales. Después hay que conservar solo los tiempos que pertenecen al intervalo físico, normalmente t≥0.

15.12 Implementar la selección en JavaScript

const ecuaciones = [
  { nombre: "velocidad", variables: ["v0", "v", "a", "t"] },
  { nombre: "posición", variables: ["dx", "v0", "a", "t"] },
  { nombre: "sin tiempo", variables: ["dx", "v0", "v", "a"] },
  { nombre: "velocidad media", variables: ["dx", "v0", "v", "t"] }
];

function ecuacionesAplicables(incognita, conocidas) {
  return ecuaciones.filter(ecuacion =>
    ecuacion.variables.includes(incognita) &&
    ecuacion.variables.every(variable =>
      variable === incognita || conocidas.includes(variable)
    )
  );
}

console.log(ecuacionesAplicables("v", ["v0", "a", "t"]));

La estructura de datos convierte la tabla de variables en una regla que el programa puede verificar.

15.13 Calcular tiempos físicamente válidos

function tiemposParaDesplazamiento(dxM, v0Mps, aMps2) {
  if (Math.abs(aMps2) < 1e-12) {
    if (Math.abs(v0Mps) < 1e-12) return [];
    const t = dxM / v0Mps;
    return t >= 0 ? [t] : [];
  }

  const discriminante = v0Mps ** 2 + 2 * aMps2 * dxM;
  if (discriminante < 0) return [];
  const raiz = Math.sqrt(discriminante);
  return [(-v0Mps + raiz) / aMps2,
          (-v0Mps - raiz) / aMps2]
    .filter(t => t >= 0)
    .filter((t, i, lista) =>
      i === 0 || Math.abs(t - lista[0]) > 1e-9
    );
}

console.log(tiemposParaDesplazamiento(5, 10, -2));

Puede haber cero, uno o dos instantes válidos: un objeto que sube y luego baja puede atravesar la misma posición dos veces.

15.14 Evitar igualdad exacta con decimales

function casiIguales(a, b, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(a - b) <= tolerancia;
}

function verificarMRUA({ dx, v0, v, a, t }) {
  return {
    velocidad: casiIguales(v, v0 + a * t),
    posicion: casiIguales(dx, v0 * t + 0.5 * a * t ** 2),
    sinTiempo: casiIguales(v ** 2, v0 ** 2 + 2 * a * dx)
  };
}

console.log(verificarMRUA({ dx: 40, v0: 2, v: 18, a: 4, t: 4 }));

Las tres comprobaciones deben concordar salvo pequeños errores de representación numérica.

15.15 Signos y sistema de referencia

Los signos no indican por sí solos si un móvil acelera o frena. Una velocidad negativa y una aceleración negativa aumentan la rapidez en el sentido negativo. Si v y a tienen signos opuestos, la rapidez disminuye hasta una posible inversión.

Elegido el eje, cada dato debe traducirse con ese convenio. No se cambian signos a mitad del cálculo para forzar una respuesta positiva.

15.16 Unidades como prueba automática

En Δx=v₀t+½at², ambos términos del lado derecho deben ser longitudes:

Si una suma combina metros con m/s, la expresión es inválida. Antes de calcular conviene convertir kilómetros a metros, horas a segundos y km/h a m/s.

15.17 Cuándo no usar estas ecuaciones

• Cuando la aceleración cambia de forma significativa durante el intervalo.
• Cuando la trayectoria exige dos o tres coordenadas y no se separaron componentes.
• Cuando se confunde distancia total con desplazamiento.
• Cuando se mezclan datos pertenecientes a intervalos distintos.
• Cuando el problema pide causas dinámicas y faltan fuerzas o masa.

Un movimiento complejo puede dividirse en tramos; en cada tramo se decide nuevamente qué modelo corresponde.

15.18 Errores frecuentes

• Usar todos los datos: algunos pueden ser redundantes.
• Elegir por la incógnita solamente: también deben estar disponibles las demás variables de la ecuación.
• Confundir x con Δx: la ecuación requiere el desplazamiento respecto del comienzo.
• Descartar una raíz sin analizarla: cada solución debe contrastarse con el dominio.
• Tomar una raíz cuadrada siempre positiva: la velocidad es una magnitud firmada.
• Redondear demasiado pronto: conviene hacerlo al final.

15.19 Ejercicios propuestos

1. Indicá qué ecuación usarías para hallar v con v₀, a y t conocidos.
2. Un auto pasa de 8 m/s a 20 m/s en 6 s. Calculá a.
3. Un móvil parte del reposo con a=2 m/s². ¿Qué distancia recorre en 5 s?
4. Con v₀=15 m/s, a=−3 m/s² y Δx=24 m, calculá v durante la frenada.
5. Explicá por qué una misma posición puede corresponder a dos tiempos.
6. ¿Qué ecuación elegirías si desconocés t y conocés Δx, v₀ y a?

15.20 Proyecto breve: solucionador con diagnóstico

Construí una función que reciba tres magnitudes conocidas y una incógnita. Debe seleccionar una ecuación, calcular el resultado y devolver también:

• la ecuación utilizada;
• las unidades del resultado;
• las raíces descartadas y su motivo;
• una verificación por sustitución;
• un aviso si los datos son incompatibles o insuficientes.

Separar selección, cálculo y validación produce un programa más fácil de probar que una única función llena de condiciones.

15.21 Ideas para recordar

• Primero se elige el modelo; después, la ecuación.
• La fórmula adecuada contiene la incógnita y suficientes datos, sin incógnitas adicionales.
• Despejar simbólicamente reduce errores.
• Los signos dependen del sistema de referencia.
• Una solución algebraica debe pertenecer al dominio físico.
• Las unidades, los casos límite y la sustitución permiten verificar el resultado.

En el próximo tema aplicaremos estas decisiones a encuentros, alcances y movimientos definidos por tramos.