16. Encuentros, alcances y resolución de movimientos por tramos

16.1 Un evento compartido

Un encuentro ocurre cuando dos móviles A y B poseen la misma posición al mismo tiempo:

Igualar solo distancias recorridas no basta. Los móviles pueden partir de lugares diferentes, moverse con signos distintos o comenzar en instantes diferentes.

16.2 Un único sistema de referencia

Antes de comparar debemos expresar ambas posiciones respecto del mismo origen, eje, sentido positivo, unidad y reloj. Una coordenada medida desde otra referencia no puede igualarse directamente.

También debemos definir un origen temporal común. “B sale tres segundos después” significa que su función cambia de regla en t=3 s del reloj compartido.

16.3 Encuentro entre dos MRU

Si ambos movimientos son uniformes:

Al igualar y despejar:

La posición de encuentro se obtiene sustituyendo t_e en cualquiera de las dos funciones; ambas deben coincidir.

16.4 Velocidad relativa

La diferencia vA−vB indica cómo cambia la separación firmada entre los móviles. Si definimos d=xB−xA:

Cuando la magnitud de la separación disminuye, los móviles se aproximan. Los signos reemplazan reglas memorizadas sobre “sumar si van de frente” o “restar si van en el mismo sentido”.

16.5 Alcance en el mismo sentido

A está detrás de B y ambos avanzan hacia el sentido positivo. Para alcanzarlo, A necesita una velocidad mayor. El tiempo puede leerse como:

Con xA₀=0 m, xB₀=100 m, vA=15 m/s y vB=10 m/s, la separación se cierra a 5 m/s; el alcance ocurre a 20 s y x=300 m.

16.6 Movimiento en sentidos opuestos

Si A avanza con +8 m/s y B con −4 m/s, la separación cambia a 12 m/s de módulo. La misma ecuación algebraica lo expresa: vA−vB=8−(−4)=12 m/s.

No debemos convertir ambas velocidades en números positivos antes de resolver: perderíamos la información de sentido.

16.7 Casos sin solución única

16.8 Verificar la solución

Después de obtener t debemos comprobar:

• que sea finito y pertenezca al intervalo solicitado;
• que ambas funciones estén definidas en ese instante;
• que xA(t) y xB(t) coincidan dentro de tolerancia;
• que la posición y las unidades respondan a la pregunta.

Resolver la ecuación es un paso; interpretar la raíz completa la solución física.

16.9 Lectura gráfica

En una gráfica posición-tiempo, cada móvil es una curva. Un encuentro corresponde a una intersección: ambas tienen la misma ordenada x para la misma abscisa t.

Rectas paralelas distintas representan MRU con igual velocidad y ningún encuentro. Curvas pueden cortarse varias veces si los móviles cambian velocidad o sentido.

16.10 Salidas en instantes diferentes

Si B permanece en xB₀ hasta t=tB y después avanza con velocidad vB:

El término t−tB es el tiempo que B lleva moviéndose, no el tiempo global.

16.11 Resolver por tramos

Primero buscamos encuentros mientras B espera y aceptamos únicamente raíces en 0≤t<tB. Después usamos la segunda función y aceptamos raíces con t≥tB.

Una raíz obtenida con la ecuación posterior pero menor que tB debe descartarse: utiliza una regla antes de que comience a ser válida.

16.12 Movimiento definido por tramos

Un móvil puede acelerar, detenerse o invertir el sentido. Cada intervalo posee su propia ecuación y el estado final de un tramo proporciona normalmente las condiciones iniciales del siguiente.

Conviene declarar si los extremos son abiertos o cerrados para no omitir ni duplicar eventos.

16.13 Continuidad entre tramos

Si no existe un salto instantáneo de posición, debe cumplirse:

La velocidad puede cambiar de regla y hasta presentar un salto idealizado. Aun así, cada tramo necesita una condición inicial coherente. Verificar los límites en las fronteras detecta errores de desplazamiento y de origen temporal.

16.14 Encuentros con aceleración

Si alguno posee aceleración constante, igualar posiciones produce una ecuación cuadrática:

Puede haber cero, uno o dos encuentros. Cada raíz debe filtrarse por tiempo, tramos y condiciones del modelo.

16.15 Actividad interactiva: encuentro con salida retrasada

A comienza en t=0. B espera hasta el retraso configurado y luego se mueve. La escena superior muestra el instante elegido; la gráfica inferior muestra la intersección.

16.16 Resolver dos MRU en JavaScript

function encuentroMru(a, b, inicioS = 0) {
  const diferenciaV = a.velocidadMps - b.velocidadMps;
  const diferenciaX = b.posicionInicialM - a.posicionInicialM;
  if (Math.abs(diferenciaV) < 1e-12) {
    return Math.abs(diferenciaX) < 1e-12 ? { tipo: "coinciden" } : null;
  }
  const tiempoS = diferenciaX / diferenciaV;
  if (tiempoS < inicioS) return null;
  return {
    tipo: "encuentro",
    tiempoS,
    posicionM: a.posicionInicialM + a.velocidadMps * tiempoS
  };
}

console.log(encuentroMru(
  { posicionInicialM: 0, velocidadMps: 15 },
  { posicionInicialM: 100, velocidadMps: 10 }
));

16.17 Representar una salida retrasada

function posicionConRetraso(t, posicionInicial, velocidad, salidaS) {
  if (t < salidaS) return posicionInicial;
  return posicionInicial + velocidad * (t - salidaS);
}

console.log(posicionConRetraso(2, 80, 6, 3));
console.log(posicionConRetraso(10, 80, 6, 3));

La función es continua en t=salidaS: justo antes y al comenzar devuelve la posición inicial.

16.18 Buscar el primer encuentro por tramos

function primerEncuentroConRetraso(a, b) {
  const candidatos = [];
  if (Math.abs(a.velocidad) > 1e-12) {
    const tEspera = (b.posicion - a.posicion) / a.velocidad;
    if (tEspera >= 0 && tEspera <= b.salidaS) candidatos.push(tEspera);
  }
  const denominador = a.velocidad - b.velocidad;
  if (Math.abs(denominador) > 1e-12) {
    const tMovimiento = (b.posicion - b.velocidad * b.salidaS - a.posicion)
      / denominador;
    if (tMovimiento >= b.salidaS) candidatos.push(tMovimiento);
  }
  return candidatos.length ? Math.min(...candidatos) : null;
}

console.log(primerEncuentroConRetraso(
  { posicion: 0, velocidad: 12 },
  { posicion: 80, velocidad: 6, salidaS: 3 }
));

16.19 Aproximar eventos en datos muestreados

Si no tenemos fórmulas cerradas, podemos observar la separación d(t). Un cambio de signo entre muestras indica un cruce. La interpolación lineal estima el instante:

La estimación es exacta si la separación cambia linealmente y aproximada en movimientos acelerados.

16.20 Verificaciones útiles

• Sustituir t de encuentro en ambas funciones.
• Comprobar el dominio de cada tramo.
• Verificar continuidad de posición en las fronteras.
• Con velocidades iguales y posiciones distintas, no debe existir encuentro.
• Intercambiar A y B no cambia tiempo ni posición del encuentro.
• Todos los datos deben usar la misma referencia y unidad.

16.21 Errores frecuentes

• Igualar distancias: deben igualarse posiciones.
• Eliminar signos de velocidad: contienen el sentido.
• Aceptar tiempos negativos: pueden describir el pasado.
• Usar una regla fuera de su tramo: filtrar cada raíz.
• Olvidar el retraso: usar t−tB durante el movimiento de B.
• Suponer un único encuentro: ecuaciones cuadráticas o por tramos pueden producir varios.
• Comparar referencias distintas: transformar primero.

16.22 Ejercicios propuestos

1. A parte de 0 m a 12 m/s y B de 60 m a 7 m/s. Hallá encuentro.
2. Dos móviles parten separados 100 m con velocidades +8 y −2 m/s. Calculá tiempo y posición si A parte de x=0.
3. ¿Qué ocurre si ambos avanzan a 5 m/s desde posiciones distintas?
4. A sale de x=0 a 10 m/s. B espera en x=50 hasta t=2 s y luego avanza a 5 m/s. Hallá el primer encuentro.
5. Explicá por qué una raíz anterior al inicio de un tramo debe descartarse.
6. Diseñá pruebas para posiciones iguales, velocidades iguales y salida retrasada.

16.23 Ideas para recordar

• Un encuentro exige igual posición e instante.
• La velocidad relativa describe cómo cambia la separación.
• Los signos resuelven movimientos en sentidos iguales u opuestos.
• Toda raíz debe verificarse en su dominio.
• Los movimientos por tramos requieren una ecuación para cada intervalo.
• Las fronteras deben conservar un estado coherente.
• Una gráfica x(t) muestra encuentros como intersecciones.

En el próximo tema aplicaremos estas ideas al movimiento vertical con aceleración constante.