17. Movimiento vertical con aceleración constante

17.1 Un movimiento en una dimensión

Un movimiento vertical puede estudiarse sobre un solo eje y. La posición indica altura respecto del origen; la velocidad expresa si y aumenta o disminuye y la aceleración describe cómo cambia esa velocidad.

El modelo de este tema supone aceleración constante. No estudia sus causas ni incorpora resistencia, rebotes o tamaño del móvil.

17.2 Elegir el sentido positivo

Usaremos arriba como sentido positivo. Entonces subir corresponde a velocidad positiva, bajar a velocidad negativa y una aceleración constante dirigida hacia abajo tiene componente negativa.

También sería válido elegir abajo positivo, pero cambiarían todos los signos. Lo importante es declarar la convención y mantenerla.

17.3 Interpretar posición y altura

La coordenada y se mide desde un origen elegido. y=0 no significa siempre “suelo”: solo coincide con él si así definimos la referencia. Una posición negativa puede representar un punto debajo del origen sin ser físicamente imposible.

La altura sobre el suelo y la coordenada vertical coinciden únicamente cuando el suelo está en y=0.

17.4 Ecuaciones del movimiento

Para un instante inicial t₀ usamos Δt=t−t₀:

La tercera ecuación elimina el tiempo. Los símbolos v₀ y a son componentes firmadas, no módulos necesariamente positivos.

17.5 Leer los signos

Velocidad y aceleración con signos opuestos implican que la rapidez disminuye; con el mismo signo, aumenta. Esto evita memorizar reglas separadas para subida y bajada.

17.6 Caída desde el reposo

Si v₀=0 y a es negativa:

La posición disminuye cuadráticamente y la velocidad se vuelve cada vez más negativa. La rapidez |v| aumenta.

17.7 Lanzamiento hacia arriba

Con v₀ positiva y a negativa, el móvil sube mientras v>0. La aceleración no cambia de sentido en el punto máximo: continúa siendo negativa durante toda la trayectoria ideal.

Al principio la rapidez disminuye; después del máximo, v se vuelve negativa y la rapidez aumenta durante el descenso.

17.8 Tiempo hasta la altura máxima

En el máximo interior la velocidad se anula:

El resultado debe ser no negativo y pertenecer al intervalo estudiado. Si v₀≤0 con a<0, el móvil no alcanza después una altura superior a y₀.

17.9 Altura máxima

Sustituimos t_máx en y(t), o usamos la ecuación sin tiempo:

Como a es negativa, el término restado es negativo y la altura máxima queda por encima de y₀. Esta lectura de signos sirve como comprobación.

17.10 Regreso a la altura inicial

Si el modelo continúa sin obstáculos, el móvil vuelve a y₀ cuando:

El tiempo de regreso es el doble del tiempo al máximo. La velocidad vale −v₀: mismo módulo y sentido contrario. Esta simetría requiere aceleración constante y mismo nivel inicial y final.

17.11 Llegar a un nivel cualquiera

Para hallar cuándo se alcanza y_objetivo resolvemos:

Puede haber dos raíces, una o ninguna. Debemos filtrar tiempos negativos y distinguir el cruce de subida del de bajada mediante el signo de v en cada raíz.

17.12 Ejemplo completo

Un móvil parte de y₀=2 m con v₀=12 m/s y a=−6 m/s². El máximo ocurre a 2 s y vale:

Para llegar a y=0 resolvemos 2+12t−3t²=0. La raíz positiva es aproximadamente 4,16 s y en ese instante v≈−12,96 m/s.

17.13 Actividad interactiva: subida y caída

Modificá las condiciones y recorré el tiempo hasta la llegada a y=0. La flecha junto al móvil representa la velocidad con su sentido.

17.14 Implementar el estado vertical

function estadoVertical(inicial, aceleracionMps2, tiempoS) {
  const dt = tiempoS - inicial.tiempoS;
  return {
    tiempoS,
    posicionM: inicial.posicionM + inicial.velocidadMps * dt
      + 0.5 * aceleracionMps2 * dt ** 2,
    velocidadMps: inicial.velocidadMps + aceleracionMps2 * dt,
    aceleracionMps2
  };
}

console.log(estadoVertical(
  { tiempoS: 0, posicionM: 2, velocidadMps: 12 },
  -6,
  2
));

17.15 Resolver tiempos de nivel en JavaScript

function tiemposDeNivel(y0, v0, a, nivel) {
  const A = 0.5 * a, B = v0, C = y0 - nivel;
  if (Math.abs(A) < 1e-12) {
    if (Math.abs(B) < 1e-12) return [];
    const t = -C / B;
    return t >= 0 ? [t] : [];
  }
  const discriminante = B ** 2 - 4 * A * C;
  if (discriminante < 0) return [];
  const raiz = Math.sqrt(Math.max(0, discriminante));
  return [(-B - raiz) / (2 * A), (-B + raiz) / (2 * A)]
    .filter(t => t >= 0)
    .sort((x, y) => x - y)
    .filter((t, i, lista) => i === 0 || Math.abs(t - lista[i - 1]) > 1e-10);
}

console.log(tiemposDeNivel(2, 12, -6, 0));

17.16 Clasificar la etapa

function etapaVertical(velocidadMps, tolerancia = 1e-9) {
  if (velocidadMps > tolerancia) return "ascenso";
  if (velocidadMps < -tolerancia) return "descenso";
  return "punto máximo o reposo";
}

console.log(etapaVertical(4));
console.log(etapaVertical(0));
console.log(etapaVertical(-4));

La tolerancia evita clasificar como subida o bajada un residuo diminuto de coma flotante.

17.17 Gráficas y relaciones

En y(t), la aceleración constante produce una parábola. En v(t), produce una recta cuya pendiente es a. En a(t), aparece una línea horizontal.

El máximo de y(t) coincide con el cruce de v(t) por cero. Observar ambas gráficas ayuda a relacionar posición, velocidad y aceleración.

17.18 Evento del suelo

Las ecuaciones continuarían hacia y negativa, pero si y=0 representa el suelo, el modelo de vuelo termina allí. Una simulación discreta debe detectar el cambio de signo entre estados y calcular o aproximar el instante de cruce.

Después del contacto se necesita otra regla: detener, rebotar o iniciar un nuevo tramo. No debemos continuar automáticamente como si el suelo no existiera.

17.19 Verificaciones útiles

• En t=0 se recuperan y₀ y v₀.
• v(t) debe ser lineal y su pendiente igual a a.
• En el máximo interior, v=0.
• Si vuelve a y₀, la velocidad ideal es −v₀.
• En cada raíz aceptada, y(t) coincide con el nivel dentro de tolerancia.
• Con a<0, la función y(t) es cóncava hacia abajo.
• Todos los datos usan la misma referencia y unidades.

17.20 Límites del modelo

La aceleración constante es una aproximación. El modelo omite resistencia, cambios espaciales, tamaño y rotación. Sus resultados solo deben interpretarse dentro del intervalo y condiciones para los que esas hipótesis son razonables.

17.21 Errores frecuentes

• Usar g positiva como componente: con arriba positivo, a=−g.
• Cambiar el signo al comenzar el descenso: la aceleración continúa hacia abajo.
• Creer que v=0 implica a=0: en el máximo la aceleración sigue siendo negativa.
• Confundir posición con distancia recorrida: y es una coordenada.
• Elegir cualquier raíz: filtrar tiempos y distinguir la etapa.
• Usar simetría con niveles distintos: resolver la ecuación general.
• Continuar debajo del suelo: definir el evento final.

17.22 Ejercicios propuestos

1. Desde y₀=10 m se suelta un móvil con a=−5 m/s². Hallá el tiempo hasta y=0 y la velocidad final.
2. Un móvil parte de y₀=0 con v₀=20 m/s y a=−10 m/s². Calculá tiempo y altura máxima.
3. ¿Cuándo vuelve al origen y con qué velocidad?
4. Para y₀=3 m, v₀=−2 m/s y a=−4 m/s², calculá el estado a 1 s.
5. Explicá por qué la aceleración no cambia de signo en el máximo.
6. Diseñá tres pruebas para tiemposDeNivel.

17.23 Ideas para recordar

• Declarar el sentido positivo determina los signos.
• Con arriba positivo, una aceleración hacia abajo es negativa.
• Las mismas ecuaciones describen ascenso, máximo y descenso.
• En el máximo se anula la velocidad, no la aceleración.
• Una altura puede alcanzarse en dos instantes.
• Las raíces deben filtrarse según el dominio físico.
• El suelo es un evento que limita o cambia el modelo.

En el próximo tema expresaremos posición, velocidad y aceleración como vectores.