18. Posición, velocidad y aceleración como vectores

18.1 Escalares y vectores

Una magnitud escalar queda determinada por un valor y su unidad: tiempo, masa, temperatura o distancia. Una magnitud vectorial necesita además dirección y sentido.

Dos vectores pueden tener el mismo módulo y apuntar en direcciones diferentes; representan estados distintos.

18.2 Representación mediante una flecha

Una flecha representa un vector: su longitud es proporcional al módulo, su línea define la dirección y la punta indica el sentido. El punto donde se dibuja puede aportar significado físico, como la posición del móvil donde actúa una velocidad.

La flecha es una representación gráfica. El vector matemático se conserva mediante números y unidades; cambiar la escala del dibujo no cambia la magnitud física.

18.3 Componentes cartesianas

En el plano usamos dos ejes perpendiculares. Un vector A se expresa como:

Aₓ indica cuánto aporta el vector sobre x y Aᵧ cuánto aporta sobre y. Las componentes llevan signo: una componente negativa apunta en el sentido negativo del eje correspondiente.

18.4 Vectores unitarios

Los símbolos i y j representan vectores de módulo uno orientados sobre x e y. Permiten escribir:

En tres dimensiones se agrega k sobre el eje z. La notación por componentes y la notación con vectores unitarios expresan la misma información.

18.5 Módulo de un vector

Las componentes forman los catetos de un triángulo rectángulo. Por Pitágoras:

Para A=(3,4), el módulo es 5. El módulo nunca es negativo. En JavaScript puede calcularse mediante Math.hypot(A.x,A.y), que expresa directamente la intención.

18.6 Dirección y ángulo

Si θ se mide desde x positivo en sentido antihorario:

atan2 utiliza ambas componentes, distingue cuadrantes y admite Aₓ=0. En JavaScript devuelve radianes; multiplicamos por 180/π para obtener grados.

El vector cero no posee una dirección definida, aunque atan2(0,0) produzca numéricamente cero.

18.7 Componentes a partir de módulo y ángulo

La conversión inversa utiliza trigonometría:

Debemos respetar la convención desde la cual se mide θ y convertir grados a radianes antes de usar Math.cos o Math.sin.

18.8 Signos y cuadrantes

atan2 suele devolver entre −180° y 180°. Un ángulo de −45° equivale a 315° si preferimos el intervalo de 0° a 360°.

18.9 Vector posición

El vector posición parte del origen del sistema de referencia y termina en el móvil:

No representa un recorrido realizado, sino una ubicación. Si cambiamos el origen, cambian las componentes y el módulo de r aunque el móvil permanezca en el mismo lugar físico.

18.10 Vector desplazamiento

El desplazamiento entre dos posiciones es:

Trasladar el origen cambia rᵢ y r𝒇 por igual, pero su diferencia permanece. El desplazamiento apunta directamente desde el inicio hacia el final y no contiene la forma del camino.

18.11 Distancia y módulo del desplazamiento

La distancia recorrida es un escalar que acumula la longitud de la trayectoria. El módulo del desplazamiento es la distancia recta entre extremos.

Coinciden si el móvil avanza en línea recta sin invertir el sentido. Si regresa al punto inicial, Δr=0 aunque la distancia sea positiva.

18.12 Velocidad como vector

La velocidad media divide el desplazamiento por el intervalo:

La velocidad instantánea es la tasa de cambio de r y resulta tangente a la trayectoria. Sus componentes indican cómo cambian x e y:

La rapidez es el módulo |v|. No contiene dirección y por eso es escalar.

18.13 Aceleración como vector

La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad:

No tiene que apuntar en la misma dirección que v. Si apunta en sentido similar, suele aumentar la rapidez; si apunta en sentido opuesto, suele disminuirla. Una componente perpendicular puede cambiar principalmente la dirección.

18.14 Suma y resta de vectores

Las operaciones se realizan componente a componente:

Geométricamente, para sumar colocamos el origen de B en la punta de A; la resultante va desde el origen inicial hasta la punta final. Restar B equivale a sumar −B.

18.15 Multiplicación por un escalar

Si k>1 aumenta el módulo; si 0<k<1 lo reduce; si k<0 también invierte el sentido. Dividir un desplazamiento por Δt es multiplicarlo por el escalar 1/Δt.

18.16 Actividad interactiva: posición, velocidad y aceleración

Modificá las componentes. Las tres flechas se dibujan con escalas gráficas diferentes y se identifican por color; los valores físicos permanecen en sus unidades correspondientes.

18.17 Operaciones vectoriales en JavaScript

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function restar(a, b) {
  return { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y };
}

function escalar(vector, factor) {
  return { x: vector.x * factor, y: vector.y * factor };
}

function magnitud(vector) {
  return Math.hypot(vector.x, vector.y);
}

const a = { x: 3, y: 4 };
const b = { x: -1, y: 2 };
console.log(sumar(a, b));
console.log(restar(a, b));
console.log(escalar(a, 2));
console.log(magnitud(a));

18.18 Conversión polar y cartesiana

function desdePolar(modulo, anguloGrados) {
  const rad = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return { x: modulo * Math.cos(rad), y: modulo * Math.sin(rad) };
}

function aPolar(vector) {
  return {
    modulo: Math.hypot(vector.x, vector.y),
    anguloGrados: Math.atan2(vector.y, vector.x) * 180 / Math.PI
  };
}

const vector = desdePolar(10, 30);
console.log(vector);
console.log(aPolar(vector));

Al volver pueden aparecer pequeñas diferencias por coma flotante. Debemos comparar con tolerancia, no mediante igualdad exacta.

18.19 Normalizar un vector

Normalizar produce un vector de módulo uno con la misma dirección:

function normalizar(vector) {
  const modulo = Math.hypot(vector.x, vector.y);
  if (modulo === 0) {
    throw new RangeError("El vector cero no tiene dirección");
  }
  return { x: vector.x / modulo, y: vector.y / modulo };
}

console.log(normalizar({ x: 3, y: 4 }));

Los vectores unitarios sirven para separar dirección y módulo. El caso cero necesita una política explícita porque no existe una dirección que conservar.

18.20 Igualdad y tolerancia

Dos vectores son iguales si lo son sus componentes en la misma referencia y unidad. En cálculos numéricos utilizamos tolerancia:

function vectoresCasiIguales(a, b, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(a.x - b.x) <= tolerancia
    && Math.abs(a.y - b.y) <= tolerancia;
}

console.log(vectoresCasiIguales(
  { x: 0.1 + 0.2, y: 1 },
  { x: 0.3, y: 1 }
));

Tener el mismo módulo no alcanza: (3,4) y (−3,4) poseen módulo 5, pero direcciones diferentes.

18.21 Unidades, referencias y dibujo

Las componentes de un vector comparten tipo de magnitud, unidad y referencia. No podemos sumar directamente una posición en metros a una velocidad en m/s, ni una velocidad respecto del suelo a otra expresada desde un tren.

Al dibujar usamos factores de escala distintos para r, v y a porque poseen unidades diferentes. La longitud de las flechas en pantalla solo permite comparar vectores de la misma clase y bajo la misma escala declarada.

18.22 Verificaciones útiles

• El módulo de (3,4) debe ser 5.
• A+0=A y A−A=0.
• A+B=B+A.
• magnitud(escalar(A,k))=|k|·magnitud(A).
• Normalizar un vector no nulo debe producir módulo uno.
• Convertir de polar a cartesiano y volver debe recuperar módulo y dirección dentro de tolerancia.
• Restar dos posiciones iguales debe producir desplazamiento cero.

18.23 Errores frecuentes

• Confundir vector con módulo: v y |v| no contienen la misma información.
• Sumar módulos: las sumas se realizan por componentes.
• Ignorar signos: indican el sentido sobre cada eje.
• Usar atan(y/x): se pierde el cuadrante y puede dividirse por cero.
• Normalizar el vector cero: no posee dirección definida.
• Confundir posición con desplazamiento: una parte del origen; el otro une dos posiciones.
• Confundir distancia con |Δr|: solo coinciden bajo condiciones específicas.
• Mezclar unidades o referencias: convertir antes de operar.

18.24 Ejercicios propuestos

1. Calculá módulo y dirección de A=(3,4).
2. Calculá A+B y A−B para A=(2,−1) y B=(−3,5).
3. Un móvil pasa de rᵢ=(1,2) m a r𝒇=(7,10) m. Hallá desplazamiento y módulo.
4. El cambio anterior ocurre en 2 s. Calculá la velocidad media.
5. Obtené las componentes de un vector de módulo 12 y ángulo 60°.
6. Normalizá el vector (−5,0).
7. Explicá cómo una aceleración puede cambiar la dirección sin aumentar la rapidez.
8. Proponé cuatro pruebas para las funciones vectoriales de JavaScript.

18.25 Ideas para recordar

• Un vector posee módulo, dirección y sentido.
• Las componentes dependen de los ejes elegidos.
• El módulo se calcula mediante Pitágoras y nunca es negativo.
• atan2 determina correctamente el cuadrante.
• Posición, desplazamiento, velocidad y aceleración son magnitudes vectoriales.
• Rapidez y distancia son escalares.
• Las operaciones se realizan componente a componente.
• Unidades, referencia y escala gráfica deben declararse.

En el próximo tema utilizaremos estos vectores para describir el movimiento en dos dimensiones mediante ecuaciones por componentes.