19. Movimiento en dos dimensiones y ecuaciones por componentes

En el plano, la posición necesita dos coordenadas que evolucionan con un mismo reloj. Las ecuaciones paramétricas permiten calcular el estado y distinguir la trayectoria espacial de las gráficas temporales.

19.1 De una recta a un plano

En una dimensión bastaba una coordenada x para ubicar el móvil. En dos dimensiones necesitamos dos números, por ejemplo x e y, medidos respecto de un origen y ejes orientados.

El movimiento no se divide en dos objetos: existe un único móvil cuyo estado posee dos componentes espaciales. Cada instante t determina un punto del plano.

19.2 Elegir el sistema de coordenadas

Antes de escribir ecuaciones debemos declarar origen, orientación, escala, unidades y reloj. En un plano cartesiano habitual, x crece hacia la derecha e y hacia arriba.

La elección puede adaptarse al problema: ejes paralelos a una calle, origen en el punto de partida o y vertical. Cambiar la referencia modifica coordenadas y componentes, pero no el movimiento físico descrito.

19.3 Vector posición

La posición se expresa como función vectorial:

r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j

x(t) e y(t) son funciones escalares. Juntas indican dónde se encuentra el móvil. Por ejemplo, r(2 s)=(6,4) m significa que en ese instante sus coordenadas son x=6 m e y=4 m.

19.4 Ecuaciones paramétricas

Las expresiones x(t) e y(t) son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, con t como parámetro. Para obtener un punto elegimos el mismo t en ambas:

x=x(t)
y=y(t)

Una tabla de pares (t,x,y) conserva tanto la geometría como la cronología. Una lista de puntos sin tiempo solo muestra por dónde pasó el móvil.

19.5 Trayectoria frente a gráficas temporales

TrayectoriaRepresenta y frente a x; ambos ejes son espaciales.
x(t)Representa la coordenada horizontal frente al tiempo.
y(t)Representa la coordenada vertical frente al tiempo.
EstadoReúne t, posición, velocidad y aceleración.

Una parábola en y(t) no implica automáticamente una trayectoria parabólica. Debemos combinar x(t) e y(t) o eliminar t para conocer la forma espacial.

19.6 Desplazamiento en el plano

Entre dos instantes, el desplazamiento es la resta de posiciones:

Δr = rf − ri = (xf−xi, yf−yi)
|Δr|=√(Δx²+Δy²)

El vector apunta desde la posición inicial hacia la final. Su módulo no es necesariamente la distancia recorrida si la trayectoria fue curva.

19.7 Velocidad media

La velocidad media se obtiene dividiendo el desplazamiento por el intervalo:

vmedia = Δr/Δt = (Δx/Δt, Δy/Δt)

Cada componente es una velocidad media unidimensional. El vector resultante apunta en la dirección del desplazamiento entre extremos, no necesariamente en la dirección de la trayectoria en cada punto intermedio.

19.8 Velocidad instantánea

Al considerar intervalos cada vez menores obtenemos:

v(t)=dr/dt=(dx/dt,dy/dt)=(vₓ(t),vᵧ(t))

La velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y señala el sentido de movimiento. Su módulo es la rapidez:

|v|=√(vₓ²+vᵧ²)

19.9 Aceleración instantánea

La aceleración mide el cambio de la velocidad:

a(t)=dv/dt=(dvₓ/dt,dvᵧ/dt)=(aₓ(t),aᵧ(t))

Puede cambiar el módulo, la dirección o ambos. Un móvil puede tener rapidez constante y aceleración distinta de cero si cambia la dirección de su velocidad.

19.10 Movimiento con velocidad constante

Si el vector velocidad es constante:

x(t)=x₀+vₓ(t−t₀)
y(t)=y₀+vᵧ(t−t₀)

La trayectoria es una recta. Si vₓ=0 es vertical; si vᵧ=0 es horizontal. Cuando ambas componentes son distintas de cero, la dirección permanece fija y la rapidez vale Math.hypot(vₓ,vᵧ).

19.11 Movimiento con aceleración constante

Si a=(aₓ,aᵧ) es constante:

x(t)=x₀+vₓ₀Δt+½aₓΔt²
y(t)=y₀+vᵧ₀Δt+½aᵧΔt²
vₓ(t)=vₓ₀+aₓΔt
vᵧ(t)=vᵧ₀+aᵧΔt

Aquí Δt=t−t₀. La misma duración debe utilizarse en las cuatro ecuaciones.

19.12 Ejemplo completo

Un móvil parte en t₀=0 desde r₀=(1,2) m, con v₀=(3,4) m/s y a=(2,−2) m/s². A los 2 s:

x=1+3·2+½·2·2²=11 m
y=2+4·2+½(−2)·2²=6 m
vₓ=3+2·2=7 m/s
vᵧ=4−2·2=0 m/s

La rapidez en ese instante es 7 m/s. Que vᵧ sea cero significa que y deja momentáneamente de aumentar; el móvil todavía avanza en x.

19.13 Eliminar el parámetro tiempo

A veces podemos despejar t de una componente y sustituirlo en la otra. Si x(t)=2t e y(t)=3t−t², entonces t=x/2 y:

y = 3x/2 − x²/4

Esta ecuación muestra una parábola en el plano. El procedimiento puede fallar si no es posible despejar una función única o si diferentes tiempos producen el mismo valor de x. La forma paramétrica continúa siendo válida en esos casos.

19.14 Actividad interactiva: tres vistas sincronizadas

La parte superior muestra la trayectoria y la inferior las coordenadas frente al tiempo. Mové el instante y comprobá que los tres marcadores corresponden al mismo estado.

Laboratorio de movimiento bidimensional

Se usan aceleraciones constantes y posición inicial (0,0) para concentrarnos en las componentes.

Los resultados se muestran debajo.
Trayectoriax(t)y(t)
Posición(13,1; 8,8) m
Velocidad(6,5; 1,0) m/s
Rapidez6,6 m/s
Dirección de v8,7°

19.15 Implementar el estado bidimensional

function estadoMua2D(inicial, tiempoS) {
  const dt = tiempoS - inicial.tiempoS;
  const { posicionM: r, velocidadMps: v, aceleracionMps2: a } = inicial;
  return {
    tiempoS,
    posicionM: {
      x: r.x + v.x * dt + 0.5 * a.x * dt ** 2,
      y: r.y + v.y * dt + 0.5 * a.y * dt ** 2
    },
    velocidadMps: {
      x: v.x + a.x * dt,
      y: v.y + a.y * dt
    },
    aceleracionMps2: { ...a },
    referencia: inicial.referencia
  };
}

console.log(estadoMua2D({
  tiempoS: 0,
  posicionM: { x: 1, y: 2 },
  velocidadMps: { x: 3, y: 4 },
  aceleracionMps2: { x: 2, y: -2 },
  referencia: "suelo"
}, 2));

19.16 Calcular módulo y dirección

function polar(vector) {
  return {
    modulo: Math.hypot(vector.x, vector.y),
    anguloGrados: Math.atan2(vector.y, vector.x) * 180 / Math.PI
  };
}

console.log(polar({ x: 3, y: 4 }));
console.log(polar({ x: -3, y: 4 }));

atan2(y,x) acepta componentes nulas y distingue cuadrantes. El ángulo se mide desde x positivo y puede expresarse entre −180° y 180°.

19.17 Muestrear ecuaciones paramétricas

function muestrear(estadoEn, inicioS, finS, cantidad) {
  if (cantidad < 2 || !Number.isInteger(cantidad)) {
    throw new RangeError("cantidad debe ser un entero mayor o igual a 2");
  }
  return Array.from({ length: cantidad }, (_, i) => {
    const t = inicioS + (finS - inicioS) * i / (cantidad - 1);
    return estadoEn(t);
  });
}

console.log(muestrear(
  t => ({ tiempoS: t, posicionM: { x: 2 * t, y: t ** 2 } }),
  0, 2, 5
));

Las muestras permiten dibujar y analizar, pero los segmentos que las unen son una representación aproximada de la curva continua.

19.18 Transformar coordenadas para Canvas

Canvas utiliza píxeles y su eje vertical crece hacia abajo. Una transformación de vista mantiene separado el modelo físico:

function mundoACanvas(punto, vista) {
  return {
    x: vista.origenPx.x + punto.x * vista.pixelesPorMetro,
    y: vista.origenPx.y - punto.y * vista.pixelesPorMetro
  };
}

console.log(mundoACanvas(
  { x: 3, y: 2 },
  { origenPx: { x: 100, y: 300 }, pixelesPorMetro: 20 }
));

El resultado (160,260) px representa el punto físico (3,2) m, pero no lo reemplaza.

19.19 Verificaciones y casos especiales

  • En t=t₀, el estado debe recuperar r₀ y v₀.
  • Con a=(0,0), ambas componentes de velocidad permanecen constantes.
  • Con vᵧ=aᵧ=0, la trayectoria es horizontal.
  • Con vₓ=aₓ=0, la trayectoria es vertical.
  • El módulo de un vector nunca es negativo.
  • Todos los campos de un estado pertenecen al mismo instante y referencia.
  • Cambiar la escala de Canvas no debe cambiar los valores físicos.

19.20 Errores frecuentes

  • Evaluar componentes en tiempos distintos: usar un único t para formar el estado.
  • Confundir y(t) con la trayectoria: una usa tiempo y la otra usa x.
  • Sumar componentes para hallar el módulo: aplicar Pitágoras.
  • Suponer que aceleración cero implica reposo: implica velocidad constante.
  • Creer que rapidez constante implica a=0: la dirección puede cambiar.
  • Usar atan(vᵧ/vₓ): se pierde el cuadrante y falla si vₓ=0.
  • Mezclar coordenadas físicas y gráficas: conservar metros separados de píxeles.
  • Eliminar t sin revisar el dominio: la ecuación resultante puede incluir puntos o ramas no recorridos.

19.21 Ejercicios propuestos

  1. Un móvil está en (2,−1) m y termina en (8,7) m. Calculá desplazamiento y módulo.
  2. El cambio anterior ocurre en 2 s. Calculá la velocidad media.
  3. Con r₀=(0,0) m y v=(3,4) m/s constante, hallá posición y rapidez a 5 s.
  4. Aplicá las ecuaciones de aceleración constante a los datos del ejemplo 19.12 para t=1 s.
  5. Eliminá t entre x=3t e y=2t+1.
  6. Para v=(−3,3) m/s, calculá rapidez y dirección.
  7. Explicá cómo puede existir aceleración con rapidez constante.
  8. Diseñá tres pruebas para estadoMua2D.
Ver soluciones y explicaciones
  1. Δr=(6,8) m y |Δr|=10 m.
  2. vmedia=(3,4) m/s; su módulo es 5 m/s.
  3. r(5)=(15,20) m y rapidez 5 m/s.
  4. r(1)=(5,5) m, v(1)=(5,2) m/s.
  5. t=x/3; entonces y=2x/3+1.
  6. Rapidez √18≈4,24 m/s y dirección 135° desde x positivo.
  7. Si cambia la dirección del vector velocidad pero no su módulo, existe aceleración asociada a ese cambio direccional.
  8. Comprobar el estado en t₀; comprobar MRU cuando a=0; comprobar que modificar aᵧ no altera directamente la ecuación de x.

19.22 Ideas para recordar

  • La posición bidimensional es r(t)=(x(t),y(t)).
  • Las ecuaciones paramétricas comparten el mismo tiempo.
  • Trayectoria, x(t) e y(t) representan relaciones diferentes.
  • Velocidad y aceleración se calculan componente a componente.
  • La rapidez es el módulo de la velocidad, no la suma de componentes.
  • La velocidad es tangente a la trayectoria.
  • Eliminar t puede revelar la forma espacial, pero exige revisar el dominio.
  • Las coordenadas físicas deben mantenerse separadas de los píxeles.

En el próximo tema estudiaremos la composición de movimientos independientes.