20. Composición de movimientos independientes

20.1 Una trayectoria, varias componentes

Cuando un móvil cambia simultáneamente sus coordenadas x e y, describe un único movimiento en el plano. Sin embargo, podemos proyectarlo sobre cada eje y analizar por separado cómo cambia cada coordenada.

La composición de movimientos reconstruye el estado completo a partir de esas componentes. En cada instante t, la posición es el vector formado por los valores que alcanzaron ambos movimientos parciales.

20.2 Independencia matemática de los ejes

En coordenadas cartesianas fijas, las ecuaciones vectoriales se separan componente a componente:

Una aceleración vertical modifica vᵧ, no vₓ. Una velocidad horizontal modifica x, no y. Esta independencia permite resolver las ecuaciones escalares y luego reunirlas.

No significa que los fenómenos físicos siempre carezcan de relación: una regla puede hacer que aₓ dependa de y o de vᵧ. Significa que cada componente se actualiza mediante su propia ecuación una vez conocidos esos valores.

20.3 El tiempo compartido

Las componentes no utilizan relojes independientes. Para construir un estado válido evaluamos todas en el mismo instante:

Combinar x(2 s) con y(3 s) crea un punto que quizá nunca perteneció a la trayectoria. El tiempo es el parámetro común que sincroniza los movimientos parciales.

20.4 Sumar desplazamientos vectoriales

Durante un intervalo, el desplazamiento total es:

Las componentes se suman vectorialmente. Si el móvil avanza 6 m hacia la derecha y 8 m hacia arriba, el módulo del desplazamiento es:

La distancia recorrida coincide con ese módulo solamente si el trayecto entre extremos es recto. En una curva, la longitud recorrida puede ser mayor.

20.5 Componer velocidades

El vector velocidad reúne las tasas de cambio de cada coordenada:

La rapidez no es vₓ+vᵧ. Es el módulo vectorial. La función atan2 conserva el cuadrante y resulta más segura que calcular solamente atan(vᵧ/vₓ).

20.6 Componer aceleraciones

La aceleración completa se construye de la misma manera:

Si aₓ=0, vₓ permanece constante. Esto no impide que el vector velocidad cambie: una variación de vᵧ puede alterar su módulo y dirección.

20.7 MRU en ambos ejes

Con velocidad constante en x e y:

Al eliminar t obtenemos, si vₓ≠0:

La trayectoria es una recta cuya pendiente es vᵧ/vₓ. El móvil recorre esa recta con rapidez constante √(vₓ²+vᵧ²).

20.8 Ejemplo: movimiento diagonal uniforme

Un móvil parte de (2,1) m con velocidad (3,4) m/s. A los 2 s:

El desplazamiento es (6,8) m y su módulo 10 m. Como la trayectoria es recta, también recorrió 10 m durante esos dos segundos.

20.9 MRU en un eje y MUA en el otro

Consideremos velocidad horizontal constante y aceleración vertical constante:

Al sustituir t=(x−x₀)/vₓ₀ en la segunda ecuación aparece un término cuadrático en x. Por eso la composición produce una parábola cuando vₓ₀≠0 y aᵧ≠0.

Este esquema será la base del movimiento de proyectiles del tema siguiente.

20.10 MUA en ambos ejes

Si ambas aceleraciones son constantes:

Podemos resolver cada eje de forma independiente, pero la forma final de la trayectoria se obtiene al combinar ambos. No toda composición de dos ecuaciones cuadráticas produce una parábola simple expresada como y(x); el tiempo paramétrico sigue siendo la descripción más general.

20.11 Trayectoria y gráficas temporales

Una trayectoria no indica por sí sola cuánto tarda el móvil ni con qué rapidez recorre cada tramo. Dos movimientos pueden compartir la misma curva y recorrerla con cronologías diferentes.

20.12 Actividad interactiva: combinar componentes

Configurá velocidades y aceleraciones constantes. El punto naranja representa el estado completo; las líneas punteadas y puntos auxiliares muestran sus proyecciones sobre cada eje.

20.13 Representar vectores en JavaScript

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function escalar(vector, factor) {
  return { x: vector.x * factor, y: vector.y * factor };
}

function magnitud(vector) {
  return Math.hypot(vector.x, vector.y);
}

const desplazamiento = sumar(
  { x: 6, y: 0 },
  { x: 0, y: 8 }
);
console.log(desplazamiento);
console.log(magnitud(desplazamiento));

Las funciones devuelven objetos nuevos y no modifican sus argumentos. Esa propiedad facilita combinar operaciones y conservar estados anteriores.

20.14 Calcular el estado por componentes

function estadoConAceleracionConstante(inicial, tiempoS) {
  const dt = tiempoS - inicial.tiempoS;
  const { posicionM: r0, velocidadMps: v0, aceleracionMps2: a } = inicial;
  return {
    tiempoS,
    posicionM: {
      x: r0.x + v0.x * dt + 0.5 * a.x * dt ** 2,
      y: r0.y + v0.y * dt + 0.5 * a.y * dt ** 2
    },
    velocidadMps: {
      x: v0.x + a.x * dt,
      y: v0.y + a.y * dt
    },
    aceleracionMps2: { ...a }
  };
}

console.log(estadoConAceleracionConstante({
  tiempoS: 0,
  posicionM: { x: 0, y: 0 },
  velocidadMps: { x: 5, y: 7 },
  aceleracionMps2: { x: 0, y: -3 }
}, 2));

20.15 Componer funciones independientes

También podemos recibir una función por eje y construir una función vectorial:

function componerMovimiento(movimientoX, movimientoY) {
  return tiempoS => ({
    tiempoS,
    posicionM: {
      x: movimientoX(tiempoS),
      y: movimientoY(tiempoS)
    }
  });
}

const movimiento = componerMovimiento(
  t => 2 + 3 * t,
  t => 1 + 4 * t - 2 * t ** 2
);

console.log(movimiento(0));
console.log(movimiento(2));

El parámetro común garantiza que las dos coordenadas pertenezcan al mismo instante.

20.16 Generar puntos de la trayectoria

function muestrear(estadoEn, inicioS, finS, cantidad) {
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 2 || finS < inicioS) {
    throw new RangeError("Intervalo o cantidad inválidos");
  }
  return Array.from({ length: cantidad }, (_, indice) => {
    const fraccion = indice / (cantidad - 1);
    const tiempoS = inicioS + (finS - inicioS) * fraccion;
    return estadoEn(tiempoS);
  });
}

const puntos = muestrear(
  t => ({ t, x: 3 * t, y: 4 * t - t ** 2 }),
  0, 3, 4
);
console.log(puntos);

Incluir ambos extremos permite comparar el estado inicial y final. La cantidad de muestras afecta la representación, no la función continua original.

20.17 Unidades, escalas y referencias

Todas las componentes de un vector deben pertenecer a la misma referencia y usar unidades compatibles. No podemos formar directamente (x en metros, y en píxeles) ni combinar una velocidad respecto del suelo con otra respecto de un vehículo.

La conversión a Canvas se realiza después del cálculo físico. Si las escalas horizontal y vertical son diferentes, una curva puede verse deformada aunque los datos sean correctos; la gráfica debe documentarlo.

20.18 Independencia y superposición

La composición por componentes se relaciona con la superposición matemática: sumamos contribuciones vectoriales para obtener una resultante. Pero no debemos asumir que cualquier sistema físico es lineal.

Si una aceleración depende de la rapidez total, √(vₓ²+vᵧ²), las ecuaciones quedan acopladas: cambiar vᵧ altera también aₓ. Todavía actualizamos componentes, pero ya no podemos resolver cada eje ignorando por completo al otro.

20.19 Verificaciones útiles

• En t=0, la posición y velocidad deben recuperar las condiciones iniciales.
• Si aₓ=0, vₓ debe permanecer constante.
• Si vᵧ=aᵧ=0, y debe permanecer constante.
• El módulo calculado debe ser no negativo y coincidir con Math.hypot.
• Cambiar solamente aᵧ no debe alterar directamente x(t) en el modelo desacoplado.
• Las componentes del estado deben compartir tiempo, referencia y sistema de unidades.
• Una función de consulta no debe modificar el estado inicial.

20.20 Errores frecuentes

• Sumar módulos en lugar de vectores: combinar primero las componentes.
• Usar tiempos distintos: evaluar x(t) e y(t) con el mismo t.
• Confundir trayectoria con y(t): la trayectoria representa y frente a x.
• Suponer que independencia significa ausencia de reglas acopladas: revisar de qué variables depende cada aceleración.
• Mezclar distancia con desplazamiento: la longitud de una curva no es necesariamente el módulo entre extremos.
• Calcular el ángulo con atan solamente: usar atan2 para conservar el cuadrante.
• Combinar referencias o unidades: transformar antes de formar el vector.
• Copiar coordenadas físicas directamente a Canvas: invertir y y aplicar escalas.

20.21 Ejercicios propuestos

1. Un móvil tiene velocidad constante (6,8) m/s. Calculá rapidez y desplazamiento durante 3 s.
2. Parte de (1,−2) m con velocidad (3,4) m/s. Hallá la posición a 2 s.
3. Con v₀=(5,7) m/s, a=(0,−3) m/s² y r₀=(0,0), calculá posición y velocidad a 2 s.
4. Eliminá t entre x=2t e y=3t y describí la trayectoria.
5. Eliminá t entre x=4t e y=5t−t². ¿Qué tipo de trayectoria resulta?
6. Explicá por qué una aceleración vertical puede cambiar la rapidez total sin cambiar vₓ.
7. Proponé un caso donde las ecuaciones de los ejes estén acopladas.
8. Diseñá tres pruebas para estadoConAceleracionConstante.

20.22 Ideas para recordar

• Un movimiento bidimensional puede resolverse mediante sus componentes.
• Las componentes forman un único estado cuando comparten el mismo tiempo.
• Desplazamiento, velocidad y aceleración se combinan vectorialmente.
• MRU en ambos ejes produce una trayectoria recta.
• MRU horizontal y MUA vertical producen una trayectoria parabólica.
• Trayectoria, x(t) e y(t) son representaciones diferentes.
• Independencia de componentes no impide que una regla física las acople.
• Unidades, referencias y escalas deben mantenerse explícitas.

En el próximo tema aplicaremos estas ideas al movimiento de proyectiles.