22. Movimiento relativo y transformaciones de Galileo

22.1 Un mismo movimiento, dos descripciones

Una persona camina hacia la parte delantera de un tren. Quien viaja en el vagón mide una velocidad pequeña respecto del piso del tren; una persona junto a las vías observa, además, el avance del tren. Ninguna medición es “la verdadera” sin más información: cada una está expresada en una referencia distinta.

El movimiento relativo estudia cómo se relacionan las posiciones, desplazamientos y velocidades asignados por distintos observadores. No cambia el fenómeno; cambia el sistema de coordenadas utilizado para describirlo.

22.2 Referencias S y S′

Llamemos S a la referencia del suelo y S′ a una referencia que se mueve respecto de ella. Supondremos inicialmente que ambos ejes x tienen la misma orientación, que sus orígenes coinciden cuando t = 0 y que S′ avanza con velocidad constante V.

El apóstrofo no indica una magnitud diferente: identifica qué observador le asignó el valor. Es indispensable conservar esa etiqueta durante los cálculos.

22.3 Deducir la transformación de posición

En el instante t, el origen de S′ se encuentra en X(t) = Vt medido desde S. La posición x del móvil es la suma de la posición del origen móvil y la coordenada x′ medida desde ese origen:

Despejando obtenemos la transformación de Galileo para la posición:

El signo se puede comprobar con un caso sencillo: un objeto fijo en el origen de S′ tiene x′ = 0. Desde S se encuentra en x = Vt; al sustituir, x′ = Vt − Vt = 0.

22.4 Orígenes que no coinciden al inicio

Si el origen de S′ está en X₀ cuando t = 0, su posición será X(t) = X₀ + Vt. Entonces:

X₀ describe una separación inicial y Vt cuánto cambia esa separación. Omitir X₀ equivale a elegir deliberadamente el evento en que ambos orígenes coinciden como origen espacial y temporal.

22.5 Transformación de desplazamientos

Entre dos instantes separados por Δt, el origen móvil recorre VΔt. Al restar las posiciones iniciales y finales desaparece X₀:

Por ejemplo, si durante 4 s el tren avanza 40 m y una persona recorre 6 m hacia adelante dentro de él, el desplazamiento observado desde el suelo es 40 m + 6 m = 46 m.

22.6 Composición de velocidades

Dividimos la transformación de desplazamiento por el intervalo de tiempo. Para velocidades medias resulta v′media = vmedia − V. Al considerar intervalos cada vez menores obtenemos la misma relación para velocidades instantáneas:

En palabras: la velocidad del móvil respecto del suelo es la velocidad del tren respecto del suelo más la velocidad del móvil respecto del tren. Los signos ya contienen el sentido; no debemos sumar solamente módulos.

22.7 Signos y movimientos en sentido contrario

Elegimos derecha como sentido positivo. Si el tren viaja a V = +15 m/s y una persona camina hacia atrás a v′ = −2 m/s, desde el suelo su velocidad es:

La persona camina hacia atrás respecto del tren pero todavía avanza respecto del suelo. Solo si v′ = −15 m/s quedaría momentáneamente en reposo respecto del suelo. Decir “va hacia atrás” carece de significado completo si no se aclara respecto de qué.

22.8 Velocidad de un objeto respecto de otro

Si A y B tienen velocidades vA y vB medidas en la misma referencia, la velocidad de A respecto de B es:

Dos automóviles que avanzan a 25 m/s y 20 m/s en el mismo sentido se aproximan o separan a 5 m/s. Si viajan en sentidos opuestos, con vA = +25 m/s y vB = −20 m/s, resulta vA/B = 45 m/s. La resta vectorial cubre ambos casos sin reglas especiales.

También se cumple vB/A = −vA/B: cada conductor atribuye al otro la misma rapidez relativa, pero sentido opuesto.

22.9 Aceleración en referencias inerciales

Como V es constante, al comparar el cambio de las velocidades durante un mismo intervalo obtenemos:

Las referencias que se desplazan unas respecto de otras con velocidad constante se llaman inerciales. Dentro del modelo de Galileo, todas miden la misma aceleración del móvil aunque discrepen sobre su velocidad y posición.

Si S′ acelera, V deja de ser constante y aparece un término adicional. En una dimensión, si el origen móvil tiene aceleración A, entonces a′ = a − A. Esa situación requiere una referencia no inercial y queda fuera de la transformación simple.

22.10 Forma vectorial en dos y tres dimensiones

Las transformaciones no se limitan a una recta. Si el origen de S′ está inicialmente en el vector R₀ y se traslada con velocidad constante V, sin girar sus ejes:

Cada igualdad se aplica componente a componente. En dos dimensiones:

Esto permite modelar, por ejemplo, un barco que cruza un río: la velocidad respecto de la orilla es la suma vectorial de la velocidad del barco respecto del agua y la del agua respecto de la orilla.

22.11 Ejemplo bidimensional: cruzar un río

Un bote apunta perpendicularmente a la orilla con velocidad (0, 4) m/s respecto del agua. La corriente lleva el agua a (3, 0) m/s respecto de la costa. Por composición:

Si el río tiene 40 m de ancho, el cruce tarda 40 m / 4 m/s = 10 s porque la componente perpendicular determina ese tiempo. Durante esos 10 s la corriente desplaza al bote 3 m/s · 10 s = 30 m aguas abajo.

22.12 Actividad interactiva: caminar dentro del tren

Modificá las velocidades, el instante y el observador. La escena representa el mismo evento con coordenadas de S o de S′. Una velocidad negativa de la persona indica que camina hacia la parte trasera del tren.

22.13 Representar referencias en JavaScript

Conviene conservar explícitamente la referencia de cada estado y usar objetos vectoriales aun cuando el primer caso sea unidimensional.

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function escalar(vector, factor) {
  return { x: vector.x * factor, y: vector.y * factor };
}

function observarDesdeSuelo(estadoEnVehiculo, vehiculo, tiempoS) {
  const origenVehiculo = sumar(
    vehiculo.origenInicialM,
    escalar(vehiculo.velocidadMps, tiempoS)
  );

  return {
    referencia: "suelo",
    tiempoS,
    posicionM: sumar(origenVehiculo, estadoEnVehiculo.posicionM),
    velocidadMps: sumar(
      vehiculo.velocidadMps,
      estadoEnVehiculo.velocidadMps
    )
  };
}

const resultado = observarDesdeSuelo(
  { posicionM: { x: 8, y: 0 }, velocidadMps: { x: 2, y: 0 } },
  { origenInicialM: { x: 0, y: 0 }, velocidadMps: { x: 12, y: 0 } },
  4
);

console.log(resultado);

Los nombres incluyen unidades para impedir que píxeles, metros y velocidades terminen combinados accidentalmente. La función no modifica los objetos de entrada: produce un nuevo estado en la referencia solicitada.

22.14 La transformación inversa

Una conversión útil debe poder deshacerse. Para pasar desde el suelo al vehículo restamos, en lugar de sumar, la posición y velocidad de la referencia móvil:

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function escalar(vector, factor) {
  return { x: vector.x * factor, y: vector.y * factor };
}

function restar(a, b) {
  return { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y };
}

function observarDesdeVehiculo(estadoEnSuelo, vehiculo) {
  const origenVehiculo = sumar(
    vehiculo.origenInicialM,
    escalar(vehiculo.velocidadMps, estadoEnSuelo.tiempoS)
  );

  return {
    referencia: "vehiculo",
    tiempoS: estadoEnSuelo.tiempoS,
    posicionM: restar(estadoEnSuelo.posicionM, origenVehiculo),
    velocidadMps: restar(
      estadoEnSuelo.velocidadMps,
      vehiculo.velocidadMps
    )
  };
}

const estadoEnSuelo = {
  tiempoS: 4,
  posicionM: { x: 56, y: 0 },
  velocidadMps: { x: 14, y: 0 }
};

console.log(observarDesdeVehiculo(estadoEnSuelo, {
  origenInicialM: { x: 0, y: 0 },
  velocidadMps: { x: 12, y: 0 }
}));

22.15 Verificar una implementación

Las transformaciones tienen propiedades que sirven como pruebas automáticas:

• Identidad: una referencia con origen y velocidad nulos no cambia el estado.
• Ida y vuelta: transformar de S′ a S y luego de S a S′ recupera los datos originales, salvo el pequeño error de redondeo numérico.
• Objeto unido al vehículo: si v′ = 0, desde el suelo debe tener v = V.
• Reposo en el suelo: si v = 0, desde el vehículo debe observarse v′ = −V.
• Aceleración: al sumar una velocidad V constante a todos los estados, las diferencias de velocidad no cambian.

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function restar(a, b) {
  return { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y };
}

function escalar(vector, factor) {
  return { x: vector.x * factor, y: vector.y * factor };
}

function observarDesdeSuelo(estado, vehiculo, tiempoS) {
  const origen = sumar(
    vehiculo.origenInicialM,
    escalar(vehiculo.velocidadMps, tiempoS)
  );
  return {
    tiempoS,
    posicionM: sumar(origen, estado.posicionM),
    velocidadMps: sumar(vehiculo.velocidadMps, estado.velocidadMps)
  };
}

function observarDesdeVehiculo(estado, vehiculo) {
  const origen = sumar(
    vehiculo.origenInicialM,
    escalar(vehiculo.velocidadMps, estado.tiempoS)
  );
  return {
    tiempoS: estado.tiempoS,
    posicionM: restar(estado.posicionM, origen),
    velocidadMps: restar(estado.velocidadMps, vehiculo.velocidadMps)
  };
}

function casiIguales(a, b, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(a - b) < tolerancia;
}

const original = {
  posicionM: { x: 8, y: 0 },
  velocidadMps: { x: 2, y: 0 }
};
const vehiculo = {
  origenInicialM: { x: 0, y: 0 },
  velocidadMps: { x: 12, y: 0 }
};
const enSuelo = observarDesdeSuelo(original, vehiculo, 4);
const recuperado = observarDesdeVehiculo(enSuelo, vehiculo);

console.log(casiIguales(recuperado.posicionM.x, original.posicionM.x));
console.log(casiIguales(recuperado.velocidadMps.x, original.velocidadMps.x));

22.16 Supuestos y límites de las transformaciones de Galileo

Este modelo supone referencias con ejes paralelos, sin rotación relativa y movimiento uniforme entre ellas. También considera un tiempo universal: eventos simultáneos para S son simultáneos para S′.

Es una aproximación excelente para vehículos, juegos y simulaciones cotidianas cuyas velocidades son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Para velocidades extremadamente altas se requieren transformaciones relativistas. Para referencias que aceleran o giran aparecen efectos adicionales y no alcanza con restar una V constante.

En programación, además, una cámara puede trasladar, rotar y escalar la escena. Esas transformaciones gráficas se parecen a un cambio de coordenadas, pero convertir metros a píxeles no constituye por sí mismo una transformación física de Galileo.

22.17 Errores frecuentes

• Sumar rapideces sin signos: deben sumarse velocidades, que incluyen dirección y sentido.
• No indicar la referencia: escribir solamente “v = 10 m/s” deja incompleta una comparación relativa.
• Intercambiar el orden: vA/B = vA − vB, mientras que vB/A tiene signo opuesto.
• Olvidar el origen inicial: si los orígenes no coinciden en t=0 debe incluirse X₀.
• Transformar posición pero no velocidad: todo el estado debe pertenecer a una referencia coherente.
• Aplicar el modelo a una referencia acelerada: la igualdad a′ = a exige V constante.
• Confundir trayectoria con coordenadas: dos observadores pueden asignar trayectorias diferentes al mismo móvil.

22.18 Ejercicios propuestos

1. Un tren avanza a 18 m/s. Una pasajera camina a 1,5 m/s hacia adelante respecto del tren. Calculá su velocidad respecto del suelo.
2. La pasajera del ejercicio anterior camina hacia atrás a 2 m/s. ¿Qué velocidad observa alguien junto a las vías?
3. Dos ciclistas avanzan en la misma dirección a 9 m/s y 6 m/s. Calculá la velocidad del primero respecto del segundo y la del segundo respecto del primero.
4. El origen de S′ está inicialmente en x=5 m y se mueve a 3 m/s. Un móvil está en x′=4 m cuando t=2 s. Hallá x.
5. Un nadador avanza hacia el norte a 2 m/s respecto del agua y la corriente fluye hacia el este a 1,5 m/s. Hallá las componentes y la rapidez respecto de la costa.
6. Explicá por qué dos observadores inerciales pueden medir velocidades distintas pero la misma aceleración.
7. Proponé dos casos de prueba para una función que transforma estados desde un vehículo hacia el suelo.

22.19 Ideas para recordar

• Posición y velocidad siempre se expresan respecto de una referencia.
• Si S′ se mueve uniformemente, x′ = x − X₀ − Vt.
• Las velocidades se relacionan mediante v′ = v − V.
• La velocidad de A respecto de B es vA/B = vA − vB.
• En referencias inerciales relacionadas por Galileo, a′ = a.
• En más dimensiones, las mismas reglas se aplican como sumas y restas vectoriales.
• Los signos, unidades, orígenes y referencias deben quedar explícitos en el código.

En el próximo tema modelaremos el estado cinemático con objetos en JavaScript.