3. Posición, coordenadas y representación del estado

3.1 Ubicar antes de describir el movimiento

En el tema anterior construimos el escenario: elegimos un móvil, un observador, un origen, ejes y un reloj. Ahora podemos asignar una posición al móvil.

Decir “la pelota está cerca” puede ser útil en una conversación, pero no permite efectuar cálculos. En cambio, “la pelota está en x = 4 m cuando t = 2 s” proporciona una ubicación cuantitativa dentro de una referencia.

La posición no cuenta cómo llegó el móvil hasta allí ni cuánto camino recorrió. Es una descripción de su ubicación en un instante determinado.

3.2 ¿Qué es la posición?

La posición indica la ubicación de un objeto respecto del origen de un sistema de referencia. Se expresa mediante una o más coordenadas acompañadas por unidades de longitud.

En muchos ejercicios el sistema y el instante se conocen por contexto, pero al almacenar datos en un programa conviene mantener esa información de manera explícita. El número 5 por sí solo no indica si representa metros desde una puerta, kilómetros desde una ciudad o píxeles desde un borde de la pantalla.

3.3 Posición en una dimensión

Cuando el movimiento queda restringido a una línea, basta una coordenada, normalmente llamada x. El origen ocupa x = 0 y la orientación elegida determina los signos.

• x = +6 m: el móvil está 6 m desde el origen en el sentido positivo.
• x = −2 m: está 2 m desde el origen en el sentido opuesto.
• x = 0 m: coincide con el origen.

Una coordenada negativa no significa una distancia negativa. El signo comunica de qué lado del origen se encuentra el móvil.

3.4 Posición en dos y tres dimensiones

Sobre un plano hacen falta dos coordenadas. En un sistema cartesiano se escribe un par ordenado (x, y). En el espacio se agrega una tercera coordenada: (x, y, z).

El orden importa. En el plano, (3 m, 2 m) y (2 m, 3 m) representan puntos distintos. Cada componente se mide sobre su eje correspondiente.

3.5 Punto y vector de posición

Podemos interpretar P(3 m, 2 m) como el punto que ocupa el móvil. También podemos trazar desde el origen una flecha hasta ese punto. Esa flecha es el vector de posición, que suele escribirse r.

El punto identifica un lugar; el vector de posición conecta el origen con ese lugar. Sus componentes coinciden en coordenadas cartesianas, pero los conceptos no son idénticos.

Si trasladamos el origen, el mismo punto físico recibe otras coordenadas y otro vector de posición. Esto confirma que la posición depende de la referencia elegida.

3.6 Posición y distancia al origen

En dos dimensiones, la distancia recta desde el origen hasta el punto es el módulo del vector de posición. Para ejes perpendiculares con la misma escala se aplica el teorema de Pitágoras:

Para (x, y) = (3 m, 4 m), el módulo es 5 m. Ese valor no reemplaza las coordenadas: muchos puntos diferentes están a 5 m del origen. Necesitamos dirección, sentido o componentes para distinguirlos.

Tampoco debemos confundir esta distancia al origen con la distancia recorrida por el móvil. Esta última depende de todo el camino y se estudiará en el próximo tema.

3.7 La posición como función del tiempo

Un único valor de posición produce una fotografía. Para describir movimiento necesitamos conocer cómo cambia con el tiempo. Escribimos x(t) en una dimensión o r(t) en varias dimensiones.

Por ejemplo, x(0 s) = 2 m y x(3 s) = 8 m indican dos ubicaciones del mismo móvil. Todavía no calculamos formalmente su cambio; primero estamos aprendiendo a representar correctamente cada estado.

3.8 Coordenadas físicas y coordenadas de pantalla

En matemática solemos ubicar el origen en el centro o abajo a la izquierda, con x positivo hacia la derecha e y positivo hacia arriba. En Canvas, el origen predeterminado está arriba a la izquierda, x aumenta hacia la derecha e y hacia abajo.

Si el origen físico se dibuja en (origenXPx, origenYPx) y usamos una escala en píxeles por metro:

El signo menos de la segunda ecuación invierte la orientación vertical.

3.9 Actividad interactiva: coordenadas y pantalla

Mové el punto con los controles o hacé clic sobre el plano. Compará sus coordenadas físicas con los píxeles usados para dibujarlo.

Al cambiar la escala, la posición física permanece igual pero el punto ocupa otro píxel. Esto separa el modelo, medido en metros, de su representación visual, medida en píxeles.

3.10 Representar el estado en JavaScript

Podemos agrupar el instante y la posición en un objeto. Las unidades incluidas en los nombres ayudan a conservar el significado:

const estado = {
  tiempoS: 2,
  posicionM: { x: 3, y: 2 },
  referencia: "origen en el centro de la cancha"
};

console.log(
  `t=${estado.tiempoS} s`,
  `posición=(${estado.posicionM.x}, ${estado.posicionM.y}) m`
);

Para transformar la posición a Canvas conviene utilizar una función pura: recibe datos y devuelve un nuevo resultado sin modificar el estado físico.

function convertirACanvas(posicionM, vista) {
  return {
    x: vista.origenXPx + posicionM.x * vista.pixelesPorMetro,
    y: vista.origenYPx - posicionM.y * vista.pixelesPorMetro
  };
}

const vista = { origenXPx: 450, origenYPx: 195, pixelesPorMetro: 35 };
console.log(convertirACanvas({ x: 3, y: 2 }, vista));

Separar estado y vista evita contaminar el modelo con detalles gráficos. Podemos cambiar el zoom o mover la cámara sin alterar la posición física.

3.11 Estado, vista y representación

En una simulación conviene distinguir tres capas:

1. Estado: datos del sistema físico, por ejemplo posición en metros y tiempo en segundos.
2. Vista: origen de pantalla, escala, tamaño del Canvas y orientación visual.
3. Representación: figuras, colores y textos que se dibujan.

Un círculo de 12 píxeles puede representar una pelota, un planeta o una ciudad según el modelo. Su radio visual no debe confundirse automáticamente con el tamaño físico del objeto.

Esta separación facilitará más adelante actualizar el movimiento, verificar resultados y crear distintas visualizaciones de los mismos datos.

3.12 Errores frecuentes

• Guardar coordenadas sin referencia: (3, 2) no determina una ubicación física por sí solo.
• Omitir unidades: metros y píxeles no son intercambiables.
• Interpretar una coordenada negativa como distancia negativa: el signo indica el lado respecto del origen.
• Confundir posición con distancia al origen: los puntos (3, 4) y (−3, 4) tienen el mismo módulo, pero posiciones distintas.
• Ignorar la orientación vertical de Canvas: sumar una coordenada física positiva a y desplaza el dibujo hacia abajo.
• Modificar el estado para aplicar zoom: el zoom debe cambiar la vista, no las coordenadas físicas.

3.13 Ejercicios propuestos

1. Interpretá las posiciones x = −4 m, x = 0 m y x = 7 m en un eje positivo hacia la derecha.
2. Indicá en qué cuadrante están los puntos A(2, 3), B(−2, 3), C(−2, −3) y D(2, −3).
3. Calculá el módulo del vector de posición r = (6 m, 8 m).
4. Un Canvas usa el origen (300 px, 200 px) y 20 px/m. ¿Dónde se dibuja la posición física (4 m, 3 m)?
5. Creá un objeto JavaScript para el estado de un móvil situado en (−2 m, 5 m) cuando t = 4 s.

const estado = {
  tiempoS: 4,
  posicionM: { x: -2, y: 5 },
  referencia: "sistema cartesiano del problema"
};

console.log(estado);

3.14 Ideas para recordar

• La posición ubica al móvil respecto del origen en un instante.
• Una coordenada necesita unidad, referencia y orientación de ejes.
• En una, dos o tres dimensiones se requieren una, dos o tres coordenadas.
• El vector de posición va desde el origen hasta el punto ocupado por el móvil.
• La posición como función del tiempo se escribe x(t) o r(t).
• El modelo físico y las coordenadas de pantalla deben mantenerse separados.
• Un estado cinemático reúne datos coherentes correspondientes a un mismo instante.

En el próximo tema estudiaremos la trayectoria, la distancia recorrida y el desplazamiento.