7. Velocidad instantánea y aproximación mediante intervalos pequeños

7.1 Del promedio al instante

Una velocidad media no revela si el móvil mantuvo siempre el mismo ritmo, se detuvo o cambió de sentido. La velocidad instantánea describe cómo cambia la posición alrededor de un instante concreto.

No podemos dividir desplazamiento por un intervalo nulo: obtendríamos 0/0. La idea correcta es calcular promedios en intervalos cada vez menores y observar a qué valor se aproximan.

7.2 Una sucesión de aproximaciones

Para x(t)=t², alrededor de t=2 s:

Los valores convergen a 4 m/s. Ninguna fila usa h=0.

7.3 Definición mediante un límite

La derivada representa una tasa de cambio instantánea. Su unidad es longitud dividida por tiempo: m/s en el SI.

7.4 Secante y tangente

En x-t, la velocidad media es la pendiente de la secante que une dos puntos. Al acercarlos, la secante tiende a la tangente; su pendiente es la velocidad instantánea.

Tangente ascendente: v positiva; descendente: v negativa; horizontal: v=0.

7.5 Derivar x(t)=t²

Desde t hasta t+h:

Cuando h tiende a cero queda v(t)=2t. En t=2 s, v=4 m/s. Este resultado exacto permitirá evaluar aproximaciones.

7.6 Velocidad y rapidez instantáneas

La velocidad es vectorial; la rapidez es su módulo:

Una velocidad −6 m/s indica sentido negativo y rapidez 6 m/s. Si v=0, el móvil puede detenerse momentáneamente, continuar o invertir el sentido.

7.7 Dirección del vector velocidad

En varias dimensiones, la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y apunta en el sentido del movimiento:

La trayectoria muestra la forma del camino; el orden temporal de las posiciones determina el sentido y el valor de la velocidad.

7.8 Diferencia hacia adelante

Usa la posición actual y una posterior. Es útil en actualizaciones en vivo, pero su estimación queda sesgada hacia el futuro del intervalo.

7.9 Diferencia hacia atrás y central

7.10 Error de aproximación

El error absoluto es |v aproximada−v exacta|. Si conocemos un valor exacto no nulo, el error relativo porcentual permite comparar escalas:

7.11 ¿Un h menor siempre es mejor?

Reducir h disminuye normalmente el error de truncamiento, pero puede amplificar ruido y redondeo. Restar posiciones casi iguales pierde cifras significativas. En datos reales conviene probar varios pasos y buscar estabilidad.

7.12 Laboratorio de velocidad instantánea

Variá t, h y el método para x(t)=t². La curva azul es la posición y la recta naranja, la secante.

El control de h usa escala logarítmica, desde 1 s hasta 0,01 s.

7.13 Aproximar en JavaScript

function velocidadAdelante(posicion, tiempoS, pasoS) {
  if (typeof posicion !== "function" || !Number.isFinite(tiempoS) ||
      !Number.isFinite(pasoS) || pasoS <= 0) {
    throw new TypeError("Función, tiempo y paso válidos requeridos");
  }
  return (posicion(tiempoS + pasoS) - posicion(tiempoS)) / pasoS;
}

const posicion = t => t ** 2;
console.log(velocidadAdelante(posicion, 2, 0.1));

7.14 Diferencia central en JavaScript

function velocidadCentral(posicion, tiempoS, pasoS) {
  if (pasoS <= 0) throw new RangeError("El paso debe ser positivo");
  return (posicion(tiempoS + pasoS) -
    posicion(tiempoS - pasoS)) / (2 * pasoS);
}

const posicion = t => t ** 2;
console.log(velocidadCentral(posicion, 2, 0.5));

Para una función cuadrática, la diferencia central obtiene aquí el valor exacto: 4 m/s.

7.15 Velocidad desde muestras

function velocidadesEntreMuestras(muestras) {
  return muestras.slice(1).map((actual, i) => {
    const anterior = muestras[i];
    const dt = actual.tiempoS - anterior.tiempoS;
    if (!Number.isFinite(dt) || dt <= 0) {
      throw new RangeError("Los tiempos deben ser crecientes");
    }
    return {
      tiempoMedioS: (anterior.tiempoS + actual.tiempoS) / 2,
      velocidadMps: (actual.posicionM - anterior.posicionM) / dt
    };
  });
}

console.log(velocidadesEntreMuestras([
  { tiempoS: 0, posicionM: 0 },
  { tiempoS: 1, posicionM: 1 },
  { tiempoS: 2, posicionM: 4 }
]));

Cada resultado es una media del intervalo y se asigna a su punto medio, no a un extremo.

7.16 Verificaciones útiles

• Una posición constante debe producir v=0.
• Una función lineal debe devolver su pendiente para cualquier t.
• Las unidades deben ser longitud/tiempo.
• Los tiempos repetidos deben rechazarse.
• Al reducir h, la estimación debería estabilizarse antes de que domine el redondeo.

7.17 Errores frecuentes

• Confundir media e instantánea: describen intervalo e instante.
• Usar h=0: el límite no se calcula dividiendo por cero.
• Ignorar el signo: rapidez y velocidad no son equivalentes.
• Creer que la velocidad apunta desde el origen: es tangente a la trayectoria.
• Reducir h sin comprobar: ruido y redondeo pueden dominar.
• Mezclar segundos y milisegundos: altera la escala mil veces.

7.18 Ejercicios propuestos

1. Para x(t)=3t+2, calculá la velocidad media entre 1 s y 4 s.
2. Para x=t², aproximá v(3) hacia adelante con h=1 y h=0,1.
3. ¿Qué significa una tangente horizontal en x-t?
4. Usá diferencia central para x=t² en t=3 con h=0,5.
5. Un móvil tiene v=−8 m/s. Indicá sentido y rapidez.

7.19 Ideas para recordar

• La velocidad instantánea es el límite de velocidades medias.
• En x-t es la pendiente de la tangente.
• La rapidez es el módulo de la velocidad.
• La velocidad vectorial es tangente a la trayectoria.
• Las diferencias finitas aproximan derivadas con muestras.
• La diferencia central suele ser más precisa.
• Un paso diminuto puede amplificar ruido y redondeo.

En el próximo tema estudiaremos la aceleración media e instantánea.