8. Aceleración media e instantánea

8.1 Una magnitud para el cambio de velocidad

Conocer la velocidad en un instante no indica cómo será un segundo después. Un vehículo puede ganar rapidez, frenar, invertir el sentido o doblar manteniendo el mismo valor del velocímetro. En todos esos casos cambia su velocidad.

La aceleración mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo. En cinemática describimos ese cambio; las fuerzas que lo producen pertenecen al estudio de la dinámica.

8.2 Aceleración media

Entre dos instantes, la aceleración media es:

Si la velocidad cambia de 4 m/s a 10 m/s durante 3 s, la aceleración media es (10−4)/3=2 m/s². El valor resume el intervalo y no asegura que el cambio haya sido uniforme.

8.3 Unidad y dimensión

La dimensión de la aceleración es longitud dividida por tiempo al cuadrado:

Una aceleración constante de 3 m/s² significa que la velocidad cambia 3 m/s durante cada segundo. También pueden usarse cm/s² o px/s² si todo el modelo conserva unidades coherentes.

8.4 Aceleración instantánea

La aceleración media puede ocultar variaciones internas. Para describir el cambio alrededor de un instante reducimos el intervalo:

La notación expresa un límite, no una división directa por cero. Si la posición es derivable dos veces, la aceleración es su segunda derivada respecto del tiempo.

8.5 Interpretación en un gráfico velocidad-tiempo

En un gráfico v-t, la aceleración media es la pendiente de la secante entre dos puntos. La aceleración instantánea es la pendiente de la tangente.

• Una recta ascendente tiene aceleración positiva.
• Una recta descendente tiene aceleración negativa.
• Una línea horizontal tiene aceleración cero.
• Una curva tiene aceleración variable.

8.6 Aceleración positiva no siempre significa ganar rapidez

El signo de la aceleración indica en qué sentido cambia la velocidad, no si el móvil “acelera” en el lenguaje cotidiano.

En una dimensión, v y a con el mismo signo aumentan |v|; con signos opuestos lo reducen.

8.7 Aceleración cero y velocidad cero

Con aceleración cero, el móvil puede estar quieto o moverse a velocidad constante. En cambio, puede tener velocidad cero solo durante un instante y aceleración distinta de cero, como ocurre antes de invertir el sentido.

8.8 Ejemplo con aceleración constante

Un móvil comienza con v₀=8 m/s y mantiene a=−2 m/s². Su velocidad es:

A los 2 s vale 4 m/s: todavía avanza, pero pierde rapidez. A los 4 s vale cero. Si la aceleración continúa, después la velocidad será negativa y el móvil invertirá el sentido.

8.9 La aceleración es vectorial

En más de una dimensión, la aceleración puede cambiar el módulo de la velocidad, su dirección o ambos. Se calcula por componentes:

Un movimiento puede tener rapidez constante y aceleración no nula si cambia de dirección. Por eso observar solamente el velocímetro no alcanza para determinar la aceleración vectorial.

8.10 Diferencias finitas

Cuando solo disponemos de muestras, aproximamos la derivada con cocientes de diferencias:

La diferencia central suele ser más precisa para el mismo paso, pero necesita valores a ambos lados. Ninguna fórmula permite usar h=0.

8.11 ¿Un paso menor siempre mejora?

Al reducir h, la secante se aproxima a la tangente. Sin embargo, datos experimentales contienen ruido y los números de una computadora tienen precisión finita.

Restar velocidades casi iguales puede perder cifras significativas; dividir ruido por un intervalo diminuto puede amplificarlo. Una implementación responsable prueba varios pasos y busca una región donde el resultado sea estable.

8.12 Laboratorio de aceleración

La curva usa v(t)=2+t², cuya aceleración exacta es a(t)=2t. Compará la pendiente secante con la tangente al variar el instante, el paso y el método.

El control de h es logarítmico y permite explorar valores entre 1 s y 0,01 s. Para esta función cuadrática, la diferencia central coincide con la derivada exacta.

8.13 Calcular aceleración media en JavaScript

function aceleracionMedia(vInicialMps, vFinalMps, duracionS) {
  if (![vInicialMps, vFinalMps, duracionS].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Los datos deben ser números finitos");
  }
  if (duracionS <= 0) {
    throw new RangeError("La duración debe ser positiva");
  }
  return (vFinalMps - vInicialMps) / duracionS;
}

console.log(aceleracionMedia(4, 10, 3));

El resultado es 2 m/s². El nombre de las variables documenta las unidades esperadas y la validación impide una división inválida.

8.14 Aproximar la aceleración instantánea

function aceleracionCentral(velocidad, tiempoS, pasoS) {
  if (typeof velocidad !== "function" ||
      !Number.isFinite(tiempoS) ||
      !Number.isFinite(pasoS) || pasoS <= 0) {
    throw new TypeError("Función, tiempo y paso válidos requeridos");
  }
  return (velocidad(tiempoS + pasoS) -
    velocidad(tiempoS - pasoS)) / (2 * pasoS);
}

const velocidad = t => 2 + t ** 2;
console.log(aceleracionCentral(velocidad, 2, 0.5));

La aproximación central da exactamente 4 m/s² en este caso particular. Para otras funciones tendrá un error que normalmente disminuye al reducir el paso dentro de límites razonables.

8.15 Aceleración a partir de una tabla

function aceleracionesEntreMuestras(muestras) {
  if (!Array.isArray(muestras) || muestras.length < 2) {
    throw new RangeError("Faltan muestras");
  }
  return muestras.slice(1).map((actual, i) => {
    const anterior = muestras[i];
    const dtS = actual.tiempoS - anterior.tiempoS;
    if (!Number.isFinite(dtS) || dtS <= 0) {
      throw new RangeError("Los tiempos deben ser crecientes");
    }
    return {
      tiempoMedioS: (anterior.tiempoS + actual.tiempoS) / 2,
      aceleracionMps2: (actual.velocidadMps - anterior.velocidadMps) / dtS
    };
  });
}

console.log(aceleracionesEntreMuestras([
  { tiempoS: 0, velocidadMps: 2 },
  { tiempoS: 0.5, velocidadMps: 3 },
  { tiempoS: 1.2, velocidadMps: 4.4 }
]));

Cada resultado corresponde a un intervalo y se ubica en su tiempo medio. La función calcula el Δt real de cada par, incluso con muestreo no uniforme.

8.16 Verificaciones dimensionales y físicas

• Las unidades de Δv/Δt deben reducirse a velocidad por tiempo.
• Una velocidad constante debe producir aceleración cero.
• Si intercambiamos los extremos sin cambiar el signo de Δt, el resultado será incorrecto.
• Para aceleración constante, cualquier subintervalo debe devolver el mismo valor.
• Reducir moderadamente el paso debería estabilizar una aproximación numérica.

8.17 Errores frecuentes

• Confundir aceleración con velocidad: una mide el cambio de la otra.
• Creer que aceleración negativa siempre frena: depende también del signo de v.
• Suponer que a=0 implica reposo: puede existir velocidad constante.
• Suponer que v=0 implica a=0: puede ser una detención instantánea.
• Usar v final en vez de Δv: deben restarse las velocidades.
• Olvidar que es vectorial: cambiar de dirección también es acelerar.
• Reducir h sin evaluar ruido: la aproximación puede empeorar.

8.18 Ejercicios propuestos

1. La velocidad cambia de 4 m/s a 16 m/s en 3 s. Calculá la aceleración media.
2. La velocidad pasa de 10 m/s a 4 m/s en 2 s. Hallá a y describí qué sucede con la rapidez.
3. Con v=−5 m/s y a=−2 m/s², ¿aumenta o disminuye la rapidez?
4. Para v(t)=2+t², calculá la aceleración exacta en t=3 s.
5. Un móvil mantiene v=7 m/s durante 5 s. ¿Cuál es su aceleración?
6. La velocidad cambia de (2, −1) m/s a (8, 5) m/s en 3 s. Calculá la aceleración media vectorial.

8.19 Ideas para recordar

• La aceleración mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
• La aceleración media describe un intervalo y la instantánea, un instante.
• En v-t, la aceleración es una pendiente.
• Su signo no determina por sí solo si la rapidez aumenta.
• Puede cambiar el módulo o la dirección de la velocidad.
• Las diferencias finitas aproximan la aceleración a partir de muestras.
• La unidad del SI es m/s².

En el próximo tema profundizaremos en los signos, la dirección y los cambios de sentido en una dimensión.