12. Superficies equipotenciales y relación entre campo y potencial

12.1 Representar el potencial en el espacio

En el tema anterior asignamos un potencial V a cada punto. Para visualizar esa función escalar se agrupan los puntos que poseen el mismo valor, del mismo modo que un mapa topográfico une lugares de igual altura.

En tres dimensiones esos conjuntos son superficies; en un dibujo plano aparecen como líneas. Ambas representaciones reciben el nombre de equipotenciales.

12.2 Definición de superficie equipotencial

Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos para los cuales el potencial tiene un valor constante:

Si A y B pertenecen a la misma superficie, V_A = V_B y, por lo tanto, ΔV_A→B = 0.

12.3 Trabajo sobre una equipotencial

El trabajo realizado por el campo electrostático al mover una carga q entre dos puntos es W = −qΔV. Sobre una equipotencial:

Esto no significa que el campo sea necesariamente cero. Puede existir fuerza eléctrica, pero es perpendicular al desplazamiento tangente a la superficie y no realiza trabajo.

12.4 Perpendicularidad entre campo y equipotenciales

Si E⃗ tuviera una componente tangencial a una equipotencial, realizaría trabajo al desplazar una carga sobre ella y el potencial cambiaría. Como esto contradice su definición, se concluye:

La dirección de E⃗ va desde las equipotenciales de mayor potencial hacia las de menor potencial.

12.5 Equipotenciales de una carga puntual

Para una carga puntual Q, V = kQ/r. Todos los puntos situados a la misma distancia r tienen igual potencial. En tres dimensiones forman esferas concéntricas; en un corte plano se dibujan como circunferencias.

Las líneas de campo son radiales y cruzan cada circunferencia en ángulo recto. Para Q positiva apuntan hacia afuera; para Q negativa, hacia la carga.

12.6 Equipotenciales producidas por varias cargas

Con varias cargas se calcula primero el potencial escalar por superposición:

Las curvas V = constante suelen dejar de ser círculos. En un dipolo, por ejemplo, el plano medio tiene V = 0; sus puntos no tienen necesariamente campo nulo porque los campos de ambas cargas pueden sumarse.

12.7 Superficie de un conductor en equilibrio

En equilibrio electrostático, el campo tangencial sobre un conductor debe ser cero; de lo contrario, las cargas libres continuarían moviéndose. Por eso toda su superficie está al mismo potencial.

Además, E⃗ = 0 en su interior y el campo exterior inmediato es perpendicular a la superficie. Estas propiedades se profundizarán en el tema siguiente.

12.8 El gradiente del potencial

El gradiente ∇V es un vector que apunta hacia el aumento más rápido del potencial. El campo eléctrico tiene sentido opuesto:

En coordenadas cartesianas:

12.9 Relación en una dimensión

Si el potencial solo cambia con x:

Una pendiente negativa de V(x) produce E_x positivo; una pendiente positiva produce E_x negativo. Si el gráfico es horizontal, E_x = 0 en esa región.

12.10 Componentes a partir de derivadas parciales

Cuando V depende de varias coordenadas, cada componente del campo se obtiene manteniendo fijas las restantes:

Por ejemplo, si V(x,y) = 3x² − 4y, entonces E⃗ = −6x î + 4 ĵ, expresado en V/m.

12.11 Aproximación numérica del campo

Si solo conocemos valores discretos de potencial, podemos aproximar las derivadas mediante diferencias centrales:

Un h demasiado grande pierde detalle; uno excesivamente pequeño puede amplificar errores de redondeo o ruido experimental.

12.12 Separación de líneas e intensidad del campo

Si dos equipotenciales consecutivas representan el mismo salto ΔV, el campo medio normal entre ellas puede estimarse como:

Δn es la separación medida perpendicularmente. Líneas muy juntas indican una variación rápida de V y, por lo tanto, un campo intenso; líneas separadas indican un campo más débil.

12.13 Equivalencia de unidades

La relación entre campo y potencial muestra que:

Por eso es válido expresar un campo eléctrico en newtons por coulomb o en volts por metro. La primera unidad destaca la fuerza; la segunda, la variación espacial del potencial.

12.14 Cómo obtener E⃗ de un mapa equipotencial

1. Ubicá el punto donde querés conocer el campo.
2. Trazá la dirección perpendicular a la equipotencial local.
3. Elegí el sentido que va de mayor V hacia menor V.
4. Estimá el módulo dividiendo el salto de potencial por la separación normal.

Para mejorar la estimación conviene usar equipotenciales cercanas a ambos lados del punto, equivalente a una diferencia central.

12.15 Las equipotenciales no se cruzan

Por un punto puede pasar una sola superficie asociada a un valor dado de V. Si dos equipotenciales de valores diferentes se cruzaran, el potencial tendría dos valores simultáneos, lo cual es imposible.

Las curvas pueden acercarse, deformarse o unirse si representan el mismo nivel, pero niveles distintos nunca se intersectan.

12.16 Puntos con campo nulo

En un punto donde E⃗ = 0, el gradiente de V es cero: el potencial tiene allí un punto estacionario. Puede tratarse de un máximo, un mínimo o un punto silla según la geometría.

La condición inversa no debe confundirse con V = 0. El valor cero depende de la referencia; el campo nulo depende de que las variaciones espaciales del potencial se anulen.

12.17 Equipotenciales en un campo uniforme

Si E⃗ = E î es constante, una elección posible del potencial es:

Las equipotenciales son planos x = constante, paralelos y uniformemente espaciados para saltos iguales de V. Las líneas de campo son rectas perpendiculares a esos planos.

12.18 Independencia del camino

Entre dos equipotenciales V_A y V_B, el trabajo electrostático es el mismo para cualquier trayectoria:

Un camino más largo no implica mayor trabajo eléctrico. Solo importan los potenciales inicial y final, aunque otras fuerzas, como el rozamiento, sí pueden depender del recorrido.

12.19 Leer colores y curvas con cuidado

En una visualización, el color suele codificar intervalos de potencial y las curvas señalan valores concretos. La escala debe consultarse siempre: un mismo color no tiene significado universal.

Cerca de una carga puntual ideal, V y |E⃗| divergen. Los gráficos limitan los colores y omiten una pequeña región alrededor de la carga para mantener una representación legible.

12.20 Calcular el campo desde V con JavaScript

Esta función aproxima el gradiente mediante diferencias centrales y devuelve E⃗ = −∇V:

function campoDesdePotencial(potencial, x, y, h = 1e-4) {
  const dVdx = (potencial(x + h, y) - potencial(x - h, y)) / (2 * h);
  const dVdy = (potencial(x, y + h) - potencial(x, y - h)) / (2 * h);
  return { x: -dVdx, y: -dVdy };
}

const potencial = (x, y) => 3 * x ** 2 - 4 * y;
const E = campoDesdePotencial(potencial, 2, 1);

console.log(`E = (${E.x.toFixed(2)}, ${E.y.toFixed(2)}) V/m`);
// E = (-12.00, 4.00) V/m

La aproximación reproduce el resultado analítico E⃗ = −6x î + 4 ĵ.

12.21 Laboratorio de mapas equipotenciales

Seleccioná una configuración y mové la sonda mediante los controles o directamente sobre el mapa. El fondo representa V, las curvas claras son equipotenciales y las flechas muestran la dirección local de E⃗.

12.22 Cómo interpretar el laboratorio

Los tonos cálidos representan potencial positivo y los fríos, potencial negativo. La escala de color se normaliza para mostrar la forma del mapa; los resultados de la sonda conservan unidades físicas.

Las flechas pequeñas solo indican dirección y no están dibujadas a escala. La flecha amarilla en la sonda muestra E⃗ local: debe cortar perpendicularmente la curva equipotencial que pasa por su posición.

12.23 Ejemplo resuelto: carga puntual

Una carga Q = +4 µC produce equipotenciales de 60 kV y 30 kV. Sus radios son:

12.24 Ejemplo resuelto: placas paralelas

Dos placas presentan una diferencia de potencial de 240 V y están separadas 8,0 mm. Despreciando efectos de borde, el campo es uniforme:

El campo apunta desde la placa de mayor potencial hacia la de menor potencial.

12.25 Errores frecuentes

• Dibujar líneas de campo tangentes a las equipotenciales en vez de perpendiculares.
• Suponer que V = 0 implica E⃗ = 0.
• Interpretar líneas próximas como campo débil; indican justamente lo contrario.
• Olvidar el signo negativo en E⃗ = −∇V.
• Comparar separaciones sin comprobar que las curvas representan saltos iguales de potencial.
• Creer que una trayectoria más larga aumenta el trabajo electrostático entre los mismos extremos.

12.26 Ejercicio propuesto

En una región del espacio, el potencial está dado por V(x,y) = 120 − 40x + 30y, donde V se mide en volts y las coordenadas en metros. Considerá los puntos A = (0,0) y B = (2,1), y una carga q = +3,0 µC que se mueve de A hacia B.

1. Determiná las componentes y el módulo del campo eléctrico.
2. ¿Qué dirección forma E⃗ con el eje +x?
3. Calculá V_A, V_B y ΔV.
4. ¿Qué trabajo realiza el campo sobre la carga?
5. ¿Qué separación perpendicular existe entre dos equipotenciales cuyos valores difieren en 20 V?

12.27 Ideas clave

• Una equipotencial contiene puntos con V constante; moverse sobre ella no requiere trabajo electrostático.
• E⃗ es perpendicular a las equipotenciales y apunta hacia potencial decreciente.
• La relación cuantitativa es E⃗ = −∇V.
• Para saltos iguales de V, una menor separación entre curvas indica mayor |E⃗|.
• Las equipotenciales de distintos valores nunca se cruzan.
• Un conductor en equilibrio electrostático es equipotencial.

Estas ideas permiten comprender por qué las cargas se redistribuyen en conductores y cómo se produce el blindaje eléctrico, contenidos del próximo tema.