22.1 Dos principios de conservación
El análisis de circuitos se apoya en dos ideas físicas: la carga no desaparece en una unión y la energía por unidad de carga se conserva al completar un recorrido cerrado.
22.2 Ley de corrientes de Kirchhoff
La ley de corrientes de Kirchhoff, abreviada KCL por sus siglas en inglés, establece:
La suma es algebraica: cada corriente lleva signo según una referencia elegida.
22.3 Corrientes que entran y salen
Puede asignarse signo positivo a las corrientes que entran al nodo y negativo a las que salen:
También es válido el convenio contrario. Lo importante es no cambiarlo dentro de una ecuación.
22.4 Ejemplo elemental de KCL
Si al nodo entran 5 A y 2 A, mientras salen 4 A e I, entonces:
Un resultado negativo habría indicado que la corriente real circula en sentido opuesto a la flecha supuesta.
22.5 KCL con corrientes de rama
En un nodo de voltaje VA, las corrientes pueden escribirse mediante la ley de Ohm. Para ramas conectadas a potenciales V₁, V₂ y V₃:
La expresión considera positivas todas las corrientes que salen de A.
22.6 Fundamento de KCL
La corriente es flujo de carga. Si un nodo ideal no almacena carga, la rapidez con que entra carga debe igualar la rapidez con que sale.
En forma general, una acumulación de carga cumpliría ΣIentrante = dQ/dt; en el modelo de nodo ideal, dQ/dt = 0.
22.7 Ley de voltajes de Kirchhoff
La ley de voltajes de Kirchhoff, o KVL, afirma que la suma algebraica de todos los cambios de potencial en un lazo cerrado es cero:
Después de recorrer el lazo se regresa al punto inicial y, por tanto, al mismo potencial.
22.8 Elegir el sentido de recorrido
Un lazo puede recorrerse en sentido horario o antihorario. La elección es libre y no determina el sentido real de las corrientes.
Invertir el recorrido cambia todos los signos de la ecuación, pero produce la misma solución.
22.9 Signo de una fuente
Al atravesar una fuente ideal desde su terminal negativo hacia el positivo se registra una subida +ε. Desde el positivo hacia el negativo se registra una caída −ε.
22.10 Signo de un resistor
Con la convención pasiva, recorrer un resistor en el sentido de su corriente produce una caída −IR. Recorrerlo contra la corriente produce una subida +IR.
22.11 Ejemplo elemental de KVL
Una fuente de 12 V alimenta en serie resistores de 2 Ω y 4 Ω. Al recorrer el lazo en el sentido de la corriente:
Las caídas son 4 V y 8 V; su suma coincide con la subida de la fuente.
22.12 La referencia de voltaje
Un voltaje VAB significa VA − VB. Si se intercambian los subíndices, cambia el signo:
Etiquetar polaridades antes de escribir ecuaciones reduce errores.
22.13 Ecuaciones independientes
No todas las ecuaciones de nodos o lazos aportan información nueva. En una red conectada de N nodos pueden escribirse N−1 ecuaciones KCL independientes.
Si hay B ramas, existen B−N+1 lazos independientes. El resto de las ecuaciones puede obtenerse combinando estas.
22.14 Relación entre KCL y KVL
KCL restringe cómo se reparten las corrientes en las uniones; KVL restringe los cambios de potencial a lo largo de recorridos cerrados. La ley de Ohm relaciona ambas magnitudes en cada resistor.
22.15 KCL no requiere resistores
La ley de corrientes se aplica a cualquier nodo, aunque las ramas contengan fuentes, capacitores, diodos u otros componentes. Surge de la conservación de carga y no de la ley de Ohm.
La relación I = V/R solo se usa cuando la rama contiene un resistor óhmico.
22.16 KVL no requiere una malla
KVL puede aplicarse a cualquier trayectoria cerrada, no únicamente a una malla mínima. Sin embargo, elegir lazos independientes evita ecuaciones redundantes.
Una malla es una elección práctica para circuitos planos, no una condición física de la ley.
22.17 Procedimiento sistemático
- Identificar nodos, ramas y lazos.
- Elegir referencias para corrientes y polaridades.
- Escribir KCL en los nodos independientes.
- Escribir KVL en los lazos necesarios.
- Incorporar las relaciones V-I de cada elemento.
- Resolver y comprobar signos, unidades y potencia.
22.18 Varias fuentes en un lazo
Cada fuente aporta +ε o −ε según su polaridad y el sentido de recorrido. Dos fuentes pueden colaborar o actuar en oposición.
Por ejemplo, con fuentes opuestas de 12 V y 5 V y resistencia total de 7 Ω: 12 − 5 − 7I = 0, de donde I = 1 A.
22.19 Interpretar resultados negativos
Las flechas y polaridades iniciales son referencias, no predicciones. Una corriente I = −0,5 A significa que la corriente real vale 0,5 A en sentido contrario al supuesto.
No se debe reemplazar el resultado por su valor absoluto sin corregir también su dirección.
22.20 Supernodos y supermallas
Una fuente ideal de voltaje entre dos nodos no permite expresar directamente su corriente mediante la ley de Ohm; ambos nodos pueden tratarse como un supernodo. De forma dual, una fuente de corriente compartida por dos mallas conduce al uso de una supermalla.
Estas técnicas se desarrollarán al estudiar los métodos sistemáticos de nodos y mallas.
22.21 Límites del modelo concentrado
KVL en su forma habitual supone que no existe un flujo magnético variable apreciable enlazado con el lazo. Si lo hay, la ley de Faraday agrega una fem inducida.
En circuitos ordinarios de baja frecuencia y dimensiones pequeñas, el modelo concentrado resulta una excelente aproximación.
22.22 Comprobación mediante potencia
Una solución consistente conserva también la energía:
Con la convención pasiva, los componentes que absorben potencia tienen p > 0 y los que la entregan p < 0. La potencia total entregada debe igualar la absorbida.
22.23 Verificar las leyes con JavaScript
Una tolerancia evita exigir igualdad exacta a números de punto flotante:
function cumpleKCL(corrientes, tolerancia = 1e-9) {
const suma = corrientes.reduce((total, corriente) => total + corriente, 0);
return Math.abs(suma) < tolerancia;
}
function cumpleKVL(cambiosDeVoltaje, tolerancia = 1e-9) {
const suma = cambiosDeVoltaje.reduce((total, voltaje) => total + voltaje, 0);
return Math.abs(suma) < tolerancia;
}
console.log(cumpleKCL([1.5, -1.25, -0.25])); // true
console.log(cumpleKVL([16, -6, -10])); // true22.24 Laboratorio de Kirchhoff
El nodo A se conecta mediante tres resistores a dos nodos de potencial conocido y a tierra. Modificá los valores: el laboratorio calcula VA, las corrientes y dos recorridos cerrados.
—
—
Modificá fuentes y resistencias para explorar los balances.
22.25 Cómo interpretar el laboratorio
Las referencias mostradas son I₁ desde V₁ hacia A, I₂ desde A hacia tierra e I₃ desde A hacia V₃. Por ello KCL se escribe I₁ − I₂ − I₃ = 0. Un valor negativo indica que la corriente real apunta en sentido contrario a su referencia.
Los residuos numéricos de KCL y KVL deben ser cero, salvo un error diminuto de redondeo. Igualar las fuentes no obliga a que I₁ e I₃ sean cero: el resistor conectado a tierra también influye sobre VA.
22.26 Ejercicio propuesto
El nodo A se conecta por R₁ = 4 Ω a un nodo mantenido en 16 V, por R₂ = 8 Ω a tierra (0 V) y por R₃ = 8 Ω a un nodo mantenido en 8 V. Tomá I₁ desde el nodo de 16 V hacia A, I₂ desde A hacia tierra e I₃ desde A hacia el nodo de 8 V.
- Escribí la ecuación KCL del nodo A en función de VA.
- Calculá el voltaje VA.
- Calculá I₁, I₂ e I₃ e indicá sus sentidos reales.
- Comprobá KCL y KVL en el lazo izquierdo.
- Calculá las potencias de los tres resistores y verificá el balance con las fuentes.
Ver solución y explicación
KCL con corrientes salientes de A: (VA−16)/4 + VA/8 + (VA−8)/8 = 0.
Multiplicando por 8: 2VA − 32 + VA + VA − 8 = 0; por lo tanto, VA = 10 V.
I₁ = (16−10)/4 = 1,50 A hacia A.
I₂ = 10/8 = 1,25 A hacia tierra.
I₃ = (10−8)/8 = 0,25 A desde A hacia el nodo de 8 V.
KCL: 1,50 − 1,25 − 0,25 = 0 A. KVL izquierdo: +16 − (1,50)(4) − (1,25)(8) = 16 − 6 − 10 = 0 V.
P₁ = I₁²R₁ = 9 W; P₂ = I₂²R₂ = 12,5 W; P₃ = I₃²R₃ = 0,5 W. Los resistores absorben 22 W.
La fuente de 16 V entrega 24 W. La corriente entra al terminal positivo de la fuente de 8 V, que absorbe 2 W. Potencia neta entregada: 24 − 2 = 22 W.
El balance de potencia confirma las ecuaciones de corriente y voltaje.
22.27 Ideas clave
- KCL expresa conservación de carga: la suma algebraica de corrientes en un nodo es cero.
- KVL expresa conservación de energía: la suma algebraica de voltajes en un lazo es cero.
- Las direcciones y polaridades de referencia pueden elegirse libremente, pero deben conservarse.
- Un resultado negativo corrige la referencia; no invalida el cálculo.
- Las ecuaciones independientes evitan información redundante.
- El balance de potencia es una comprobación global muy eficaz.
En el próximo tema, estas leyes se organizarán en los métodos de análisis por nodos y por mallas.