23. Análisis de circuitos de corriente continua por nodos y mallas

23.1 Del circuito al sistema de ecuaciones

Cuando una red no puede simplificarse únicamente con asociaciones serie y paralelo, las leyes de Kirchhoff permiten formular un conjunto de ecuaciones simultáneas.

23.2 Dos métodos complementarios

El análisis nodal aplica KCL y busca voltajes respecto de una referencia. El análisis de mallas aplica KVL y busca corrientes que recorren las mallas de un circuito plano.

Una vez resueltas las incógnitas principales, la ley de Ohm permite recuperar cualquier corriente o voltaje de rama.

23.3 Cuándo conviene usar nodos

El método nodal suele ser eficiente cuando el circuito posee pocos nodos esenciales, muchas ramas en paralelo o fuentes de corriente.

En una red conectada con N nodos se necesitan, como máximo, N−1 voltajes nodales desconocidos.

23.4 Elegir el nodo de referencia

Se selecciona un nodo como tierra y se le asigna 0 V. Los restantes potenciales se expresan respecto de esa referencia.

Conviene elegir un nodo con muchas conexiones o el retorno común de las fuentes, porque simplifica las expresiones.

23.5 Definir los voltajes nodales

Cada nodo no de referencia recibe una variable V₁, V₂, etc. El voltaje de una rama entre A y B es V_A−V_B según la polaridad elegida.

23.6 Escribir KCL en forma nodal

En cada nodo independiente se suman las corrientes salientes —o las entrantes— y se igualan a cero. Por ejemplo:

Cada término representa una rama conectada al nodo A.

23.7 Forma de conductancias

Usando G = 1/R, una ecuación nodal puede escribirse como:

El coeficiente diagonal suma conductancias y los coeficientes entre nodos son conductancias negativas.

23.8 Fuentes de corriente en análisis nodal

Una fuente de corriente conectada a un nodo aparece directamente en KCL con el signo correspondiente. Si inyecta corriente al nodo, puede colocarse en el segundo miembro como cantidad positiva.

Esta incorporación directa es una de las principales ventajas del método nodal.

23.9 Fuente de voltaje conectada a tierra

Si una fuente ideal de voltaje conecta un nodo con la referencia, el voltaje de ese nodo es conocido inmediatamente. Solo debe respetarse la polaridad.

23.10 Supernodo

Una fuente ideal de voltaje entre dos nodos desconocidos impide expresar la corriente de esa rama mediante V/R. Se rodean ambos nodos y la fuente para formar un supernodo.

Se escribe KCL para su contorno y se agrega la restricción de la fuente, por ejemplo V_A−V_B = ε.

23.11 Procedimiento del método nodal

1. Elegir tierra y nombrar los otros voltajes.
2. Identificar voltajes conocidos y supernodos.
3. Expresar cada corriente de rama mediante voltajes.
4. Aplicar KCL a N−1 nodos o supernodos independientes.
5. Resolver el sistema y calcular las magnitudes solicitadas.

23.12 Cuándo conviene usar mallas

El método de mallas es práctico en circuitos planos con pocos lazos independientes y fuentes de voltaje. No se aplica directamente a redes no planas.

Para B ramas y N nodos de una red conectada existen B−N+1 corrientes de malla independientes.

23.13 Definir corrientes de malla

Se asigna una corriente ficticia a cada malla, habitualmente todas en sentido horario. En una rama exterior, la corriente de rama coincide con la corriente de su única malla.

Una solución negativa indica que la circulación real es opuesta a la referencia elegida.

23.14 Resistor compartido por dos mallas

Si I₁ e I₂ atraviesan un resistor compartido en sentidos opuestos, su corriente de rama es la diferencia:

En la ecuación de la malla 2 aparece R(I₂−I₁).

23.15 Ecuaciones de malla

Para dos mallas con R₃ compartida, la forma típica es:

El término diagonal suma las resistencias de la malla y el término mutuo es la resistencia compartida con signo negativo.

23.16 Fuentes de corriente en análisis de mallas

Si una fuente de corriente pertenece a una sola malla, determina directamente esa corriente. Si se encuentra en una rama común a dos mallas, no puede escribirse KVL a través de ella de forma directa.

En ese caso se utiliza una supermalla.

23.17 Supermalla

Una supermalla rodea las dos mallas adyacentes y excluye la rama que contiene la fuente de corriente compartida. Se escribe KVL sobre el contorno exterior.

Luego se agrega la ecuación de restricción de la fuente, como I₁−I₂ = I_s, según las referencias.

23.18 Procedimiento del método de mallas

1. Comprobar que el circuito sea plano e identificar sus mallas.
2. Asignar una corriente de referencia a cada una.
3. Detectar fuentes de corriente y posibles supermallas.
4. Aplicar KVL, usando diferencias en resistores compartidos.
5. Resolver el sistema y convertir corrientes de malla en corrientes de rama.

23.19 Resolver un sistema de dos ecuaciones

Para aI₁+bI₂=e y cI₁+dI₂=f, el determinante es Δ = ad−bc. Si Δ ≠ 0:

También pueden emplearse eliminación, sustitución o una biblioteca numérica.

23.20 Forma matricial

Los sistemas grandes se organizan como A·x = b. En análisis nodal, x contiene voltajes; en análisis de mallas, contiene corrientes.

Esta estructura permite automatizar el análisis mediante programas.

23.21 Elegir entre nodos y mallas

23.22 Comprobaciones de la solución

• Sustituir los resultados en las ecuaciones originales.
• Verificar KCL en nodos no utilizados.
• Verificar KVL en lazos adicionales.
• Comprobar que la potencia entregada sea igual a la absorbida.
• Interpretar cualquier signo negativo según la referencia inicial.

23.23 Resolver dos mallas con JavaScript

La regla de Cramer permite resolver el sistema de dos incógnitas:

function resolverDosPorDos(a, b, c, d, e, f) {
  const determinante = a * d - b * c;
  if (Math.abs(determinante) < 1e-12) {
    throw new Error("El sistema no tiene solución única");
  }
  return {
    x: (e * d - b * f) / determinante,
    y: (a * f - e * c) / determinante
  };
}

// 8I₁ − 4I₂ = 20; −4I₁ + 12I₂ = −4
console.log(resolverDosPorDos(8, -4, -4, 12, 20, -4));
// { x: 2.8, y: 0.6 }

23.24 Laboratorio: nodos y mallas

La misma red puede resolverse de las dos formas. Alterná la vista y modificá las fuentes o resistencias: las corrientes físicas permanecen iguales.

23.25 Cómo interpretar el laboratorio

En la vista nodal, las tres ramas se conectan entre A y tierra. Las fuentes fijan los potenciales E₁ y E₂ en los extremos inferiores de R₁ y R₂. Una sola ecuación KCL determina V_A.

En la vista de mallas, ambas referencias son horarias: I₁ sube por la rama izquierda e I₂ baja por la derecha. En la rama central circulan en sentidos opuestos, de modo que la corriente descendente es I₁−I₂. Los residuos cercanos a cero confirman que ambos planteos son equivalentes.

23.26 Ejercicio propuesto

Una red tiene tres ramas entre el nodo A y tierra. La rama izquierda contiene R₁ = 4 Ω conectada a un nodo de 20 V; la central contiene R₃ = 4 Ω; la derecha contiene R₂ = 8 Ω conectada a un nodo de 4 V.

1. Planteá la ecuación nodal para V_A.
2. Calculá V_A y las tres corrientes de rama.
3. Definí I₁ hacia arriba en la rama izquierda e I₂ hacia abajo en la derecha y planteá las ecuaciones de malla.
4. Resolvé el sistema de mallas y compará sus resultados con el método nodal.
5. Calculá la potencia de resistores y fuentes y verificá su conservación.

23.27 Ideas clave

• El método nodal usa voltajes respecto de tierra y ecuaciones KCL.
• El método de mallas usa corrientes de lazo y ecuaciones KVL.
• Los supernodos resuelven fuentes de voltaje entre nodos desconocidos.
• Las supermallas resuelven fuentes de corriente compartidas.
• En un resistor compartido, la corriente de rama es la diferencia de corrientes de malla.
• La elección más eficiente minimiza el número de incógnitas.
• Sustitución, leyes de Kirchhoff y balance de potencia permiten verificar la solución.

En el próximo tema se estudiará cómo los instrumentos reales modifican el circuito que intentan medir.