25.1 Del estado estacionario al transitorio
Los temas anteriores analizaron principalmente circuitos de corriente continua una vez estabilizados. Al accionar un interruptor, sin embargo, el circuito atraviesa un intervalo en el que sus magnitudes cambian.
Un circuito RC contiene resistencias y capacitores. Su respuesta de primer orden posee una sola variable de estado independiente y queda descrita por una ecuación diferencial de primer orden.
25.2 Qué almacena un capacitor
Un capacitor almacena cargas opuestas en sus placas y energía en el campo eléctrico. Para un capacitor lineal:
UC = ½CvC²
La capacitancia C se mide en farads. Un microfarad es 10−6 F y un nanofarad es 10−9 F.
25.3 Relación entre corriente y voltaje
Al derivar q = CvC para una capacitancia constante se obtiene:
Se usa la convención pasiva: iC es positiva cuando entra por el terminal marcado positivo. Una variación rápida de voltaje requiere una corriente grande.
25.4 El voltaje del capacitor es continuo
Para producir un salto finito de voltaje en tiempo cero, dv/dt debería ser infinita y también lo sería la corriente de un capacitor ideal. Como un circuito físico no proporciona un impulso infinito:
La corriente sí puede cambiar bruscamente cuando cambia la conexión, porque depende además de la resistencia y las fuentes.
25.5 Circuito RC serie de carga
Consideremos una fuente ideal E, una resistencia R, un capacitor inicialmente descargado y un interruptor que se cierra en t = 0. La misma corriente atraviesa R y C.
Aplicando KVL en el sentido de la corriente:
Al sustituir i = C dvC/dt resulta la ecuación diferencial del proceso.
25.6 Ecuación diferencial de carga
El término RC multiplica la rapidez de cambio y vC representa el estado actual. La fuente impulsa el sistema hacia el valor final E.
Al inicio vC = 0 y toda la tensión cae en R; a medida que el capacitor se carga, aumenta vC, disminuye vR y también disminuye la corriente.
25.7 Voltaje durante la carga
Con vC(0) = 0 y una fuente constante E, la solución es:
El voltaje crece rápido al comienzo y luego se aproxima asintóticamente a E. Matemáticamente nunca alcanza exactamente el valor final en tiempo finito.
25.8 Carga y corriente durante la carga
i(t) = (E/R)e−t/RC
La carga parte de cero y tiende a CE. La corriente parte de I₀ = E/R y decae hasta cero. En todo instante se cumple E = vR + vC.
25.9 Constante de tiempo
La cantidad
se denomina constante de tiempo. Dimensionalmente, Ω·F = s. Si R o C aumenta, el proceso se vuelve más lento.
En t = τ, un capacitor que se carga desde cero alcanza 1 − e−1 ≈ 63,2 % del cambio total, mientras la corriente conserva e−1 ≈ 36,8 % de su valor inicial.
25.10 Regla práctica de las cinco constantes
| Tiempo | Carga completada | Parte restante |
|---|---|---|
| τ | 63,2 % | 36,8 % |
| 2τ | 86,5 % | 13,5 % |
| 3τ | 95,0 % | 5,0 % |
| 4τ | 98,2 % | 1,8 % |
| 5τ | 99,3 % | 0,7 % |
En ingeniería suele considerarse que el transitorio terminó después de 5τ, según la tolerancia requerida.
25.11 Circuito de descarga
Supongamos un capacitor con voltaje inicial V₀ que se conecta a una resistencia sin fuente. KVL conduce a:
La energía almacenada impulsa una corriente por la resistencia. El voltaje conserva inicialmente su polaridad y disminuye hacia cero.
25.12 Voltaje, carga y corriente de descarga
q(t) = CV₀e−t/RC
iC(t) = −(V₀/R)e−t/RC
El signo negativo aparece si la corriente de referencia entra por el terminal positivo del capacitor: durante la descarga, la corriente real sale de ese terminal.
25.13 Una ecuación para cualquier transición
Si el capacitor comienza en V₀ y el circuito lo conduce hacia un valor final Vf, la respuesta completa es:
Esta forma se lee como “valor final más diferencia inicial multiplicada por el transitorio”. En t = 0 entrega V₀; cuando t → ∞ entrega Vf.
25.14 Respuesta natural y respuesta forzada
El término (V₀ − Vf)e−t/τ es la respuesta natural: contiene la memoria del estado inicial y desaparece con el tiempo. Vf es la respuesta forzada o estacionaria impuesta por las fuentes.
Separar ambas partes permite analizar circuitos con un capacitor inicialmente cargado sin volver a resolver toda la ecuación diferencial.
25.15 Cómo hallar los tres datos esenciales
- V₀: usar la continuidad, vC(0+) = vC(0−).
- Vf: analizar el circuito para t → ∞; en continua, el capacitor ideal se comporta como circuito abierto.
- τ: calcular ReqC, donde Req es la resistencia vista por el capacitor en la configuración posterior a la conmutación.
25.16 Resistencia vista por el capacitor
Para hallar Req, se mira la red desde los terminales del capacitor con las fuentes independientes anuladas: una fuente ideal de voltaje se reemplaza por un cortocircuito y una fuente ideal de corriente por un circuito abierto.
Las fuentes dependientes no se anulan; en ese caso puede aplicarse una fuente de prueba para calcular la resistencia vista.
25.17 Ejemplo con resistencia equivalente
Un capacitor de 100 µF ve dos resistencias de 3 kΩ y 6 kΩ conectadas en paralelo cuando el interruptor cambia de posición.
Req = 3 kΩ ∥ 6 kΩ = 2 kΩ
τ = (2 × 10³)(100 × 10−6) = 0,20 s
Tiempo práctico de estabilización ≈ 5τ = 1,0 s
25.18 Condiciones inicial y final como circuitos límite
Justo después de conmutar, el capacitor puede reemplazarse conceptualmente por una fuente de voltaje igual a V₀, porque debe conservar su tensión. Si estaba descargado, en ese instante se parece a un cortocircuito respecto del voltaje, aunque no es un cable para todo tiempo.
En estado estacionario de continua, i = C dv/dt = 0 y el capacitor ideal se comporta como circuito abierto. Estas equivalencias solo describen instantes límite.
25.19 Energía durante la carga
Al cargar desde cero un capacitor ideal con una fuente E a través de cualquier resistencia:
Energía almacenada = ½CE²
Energía disipada en R = ½CE²
La mitad de la energía suministrada se disipa en la resistencia en este modelo de carga desde una fuente de voltaje constante. El resultado no depende del valor de R; R modifica la rapidez y la potencia instantánea.
25.20 Potencia en el transitorio
Durante la carga desde cero:
pC(t) = (E²/R)(e−t/RC − e−2t/RC)
La potencia en R es máxima al cerrar el interruptor. En la descarga, toda la energía inicial ½CV₀² termina idealmente como calor en la resistencia.
25.21 Capacitores reales
Un componente real presenta tolerancia, corriente de fuga, resistencia serie equivalente (ESR), inductancia parásita y límites de tensión, temperatura y corriente de rizado.
- La fuga impide conservar indefinidamente la carga.
- La ESR produce caída de tensión y calentamiento.
- La tolerancia de C altera τ.
- Los capacitores polarizados deben conectarse con la polaridad correcta.
La descarga segura de capacitores grandes requiere procedimientos y resistencias adecuados; un capacitor puede conservar energía aun con el equipo desconectado.
25.22 Medir un transitorio RC
Un osciloscopio permite observar vC(t) y medir τ. Si la sonda posee resistencia de entrada Rin, esta queda en paralelo con parte del circuito y puede modificar Req. Su capacitancia también se suma al circuito.
Un multímetro actualiza la pantalla con demasiada lentitud para muchos transitorios. En procesos largos puede registrar muestras, pero su efecto de carga debe incluirse como se estudió en el tema anterior.
25.23 Linealización y obtención experimental de τ
En una descarga ideal, vC/V₀ = e−t/τ. Al aplicar logaritmo natural:
Una gráfica de ln(vC/V₀) frente a t debe ser una recta de pendiente −1/τ. Esta transformación permite estimar la constante de tiempo a partir de datos experimentales.
25.24 Simulación analítica y simulación numérica
Las ecuaciones exponenciales proporcionan la solución exacta del RC ideal. Para circuitos más complejos puede integrarse numéricamente:
Es el método de Euler explícito. Un paso Δt demasiado grande genera error e incluso inestabilidad; como regla inicial conviene usar Δt mucho menor que τ y comprobar convergencia reduciéndolo.
25.25 Calcular una respuesta RC con JavaScript
function estadoRC({ tiempo, resistencia, capacitancia, inicial, final }) {
const tau = resistencia * capacitancia;
const factor = Math.exp(-tiempo / tau);
const voltaje = final + (inicial - final) * factor;
const corriente = (final - inicial) / resistencia * factor;
return {
tau,
voltaje,
corriente,
carga: capacitancia * voltaje,
energia: 0.5 * capacitancia * voltaje ** 2
};
}
// Carga de 0 V hacia 12 V: R = 10 kΩ, C = 100 µF, t = 1 s
console.log(estadoRC({
tiempo: 1,
resistencia: 10e3,
capacitancia: 100e-6,
inicial: 0,
final: 12
}));25.26 Laboratorio interactivo: respuesta RC
Elegí carga o descarga y modificá E, R, C y el tiempo. La gráfica utiliza t/τ en el eje horizontal para mostrar qué cambia con los valores físicos y qué permanece universal.
—
—
Modificá los parámetros o iniciá la animación.
25.27 Cómo interpretar el laboratorio
El control de tiempo representa múltiplos de τ: por eso el punto conserva la misma posición relativa al cambiar R o C, aunque el tiempo expresado en segundos cambie. Las curvas normalizadas de todos los circuitos RC ideales tienen la misma forma.
En carga, VC crece y la corriente positiva decrece. En descarga, ambos decrecen en magnitud y la corriente aparece negativa porque se mantiene la referencia entrante al terminal positivo del capacitor.
25.28 Ejercicio propuesto
Un capacitor de 220 µF, inicialmente descargado, se conecta mediante una resistencia de 4,7 kΩ a una fuente de 9,0 V.
- Calculá τ y el valor inicial de la corriente.
- Hallá vC, i y q en t = 0,50 s.
- Determiná cuándo alcanza 8,0 V.
- Calculá la energía final almacenada y la energía total disipada durante la carga.
- Si luego se desconecta la fuente y se descarga por la misma R, ¿cuánto tarda en bajar desde 9,0 V hasta 1,0 V?
Ver solución y explicación
τ = RC = (4700)(220 × 10−6) = 1,034 s.
i(0) = E/R = 9/4700 = 1,915 mA.
En t = 0,50 s, e−t/τ = e−0,50/1,034 = 0,6165.
vC = 9(1−0,6165) = 3,451 V; i = 1,915·0,6165 = 1,181 mA; q = Cv = 759 µC.
8 = 9(1−e−t/τ) ⇒ t = −τ ln(1−8/9) = τ ln 9 = 2,272 s.
Ufinal = ½CE² = ½(220 × 10−6)(9²) = 8,91 mJ. Durante la carga se disipan también 8,91 mJ.
En descarga, 1 = 9e−t/τ ⇒ t = τ ln 9 = 2,272 s.
Los dos últimos tiempos coinciden porque en ambos casos la parte restante del cambio es 1/9.
25.29 Errores frecuentes
- Suponer que el capacitor cambia instantáneamente de voltaje.
- Usar R sin calcular la resistencia equivalente vista por el capacitor.
- Confundir el 63,2 % alcanzado con el 36,8 % restante.
- Olvidar el signo de la corriente durante la descarga.
- Tratar al capacitor como corto o abierto durante todo el transitorio.
- Mezclar kΩ, µF y segundos sin convertir unidades.
- Creer que a 5τ la respuesta es exactamente igual al valor final.
- Ignorar el estado inicial, la polaridad o la energía residual.
25.30 Ideas clave
- La corriente del capacitor es i = C dv/dt.
- El voltaje de un capacitor ideal es continuo durante una conmutación finita.
- La constante τ = ReqC fija la escala temporal.
- En una carga desde cero, vC = E(1−e−t/τ).
- En una descarga, vC = V₀e−t/τ.
- La forma general es valor final más diferencia inicial por e−t/τ.
- Después de 5τ queda aproximadamente 0,7 % del cambio pendiente.
- En continua estacionaria, el capacitor ideal se comporta como circuito abierto.
En el próximo tema se introducirá el campo magnético y su representación mediante líneas de campo.