27. Fuerza magnética sobre cargas en movimiento: ley de Lorentz

27.1 Una fuerza que depende del movimiento

Una carga eléctrica en reposo no experimenta fuerza magnética por el solo hecho de estar en un campo B. La interacción aparece cuando posee velocidad respecto del sistema donde se describen los campos.

27.2 Ley de Lorentz

La fuerza electromagnética total sobre una partícula de carga q es:

El término qE es eléctrico y el término qv × B es magnético. En este tema se estudiará principalmente el segundo.

27.3 Fuerza magnética

El símbolo × representa un producto vectorial. El resultado es perpendicular al plano definido por v y B. Cambiar el orden de los vectores invierte el sentido: B × v = −v × B.

27.4 Módulo de la fuerza

θ es el ángulo menor entre v y B. El valor absoluto de q se usa para el módulo; el signo de la carga determina el sentido final.

27.5 Casos angulares importantes

27.6 Regla de la mano derecha

Para una carga positiva, orientá los dedos de la mano derecha según v y curvalos hacia B por el ángulo menor; el pulgar indica v × B.

Otra variante usa tres direcciones mutuamente perpendiculares: índice para v, medio para B y pulgar para la fuerza positiva.

27.7 Cargas negativas

La regla de la mano derecha produce primero el sentido de v × B, correspondiente a q positiva. Si q es negativa, la fuerza apunta exactamente en sentido contrario.

27.8 Símbolos hacia dentro y fuera de la pantalla

Cuando un vector es perpendicular al plano del dibujo se usa una convención:

• ⊙ representa un vector que sale de la pantalla, como la punta de una flecha.
• ⊗ representa un vector que entra, como las plumas vistas desde atrás.

Esta notación permite representar las tres dimensiones en un esquema plano.

27.9 Solo importa la velocidad perpendicular

Descomponiendo v en una componente paralela y otra perpendicular a B:

La componente paralela no contribuye porque su producto vectorial con B es cero.

27.10 La fuerza magnética no realiza trabajo

La potencia instantánea entregada por una fuerza es P = F · v. Como la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad:

Un campo magnético estático puede cambiar la dirección de la velocidad, pero no su módulo ni la energía cinética de una partícula puntual.

27.11 Rapidez y velocidad no son lo mismo

La rapidez es el módulo de la velocidad; la velocidad incluye dirección. Bajo una fuerza puramente magnética, la rapidez permanece constante aunque el vector velocidad cambie continuamente.

Esto no significa que la aceleración sea cero: una aceleración perpendicular puede curvar el movimiento sin aumentar la energía cinética.

27.12 Segunda ley de Newton

Dos partículas con igual carga y velocidad sienten igual fuerza magnética, pero la de menor masa adquiere mayor aceleración. La relación q/m es decisiva en espectrómetros y aceleradores.

27.13 Cálculo por componentes

Si v = (v_x, v_y, v_z) y B = (B_x, B_y, B_z):

27.14 Forma de determinante

Al desarrollar el determinante, el término asociado a j lleva signo negativo. Es más seguro memorizar la estructura cíclica o implementar directamente las tres componentes.

27.15 Comprobaciones geométricas

Después de calcular, deben cumplirse:

Productos escalares distintos de cero indican un error algebraico, de signo o de componentes, salvo por redondeo numérico.

27.16 Ejemplo vectorial

Un protón se mueve con v = (3,0 × 10⁵, 0, 0) m/s en B = (0, 0,20, 0) T. Entonces:

La fuerza apunta según +z. Para un electrón con la misma velocidad, apuntaría según −z.

27.17 Análisis dimensional

De F = qvB:

Equivalente: T = N·s/(C·m). Verificar unidades ayuda a detectar el uso accidental de km/s, centímetros o microteslas sin conversión.

27.18 Fuerza eléctrica frente a fuerza magnética

27.19 Campos eléctricos y magnéticos simultáneos

Con ambos campos presentes, la fuerza total es la suma vectorial. Si son cruzados, puede elegirse una velocidad para que las fuerzas se cancelen:

En una geometría perpendicular apropiada, los módulos se compensan cuando v = E/B. Este principio permite seleccionar partículas por velocidad.

27.20 Independencia del signo en un selector

Como ambas fuerzas contienen el mismo factor q, al invertir la carga se invierten simultáneamente. La condición de cancelación v = E/B no depende del signo ni de la masa.

Sin embargo, una partícula con otra dirección de movimiento puede recibir fuerzas que no se cancelan.

27.21 Distribuciones de cargas

La fuerza sobre una sola carga es el punto de partida. En un conductor, muchas cargas móviles reciben fuerzas; su efecto colectivo puede transferirse a la estructura del material.

En temas posteriores se obtendrá la fuerza sobre un elemento de corriente y sobre conductores completos a partir de la ley microscópica.

27.22 Medición mediante efecto Hall

En un material con corriente, la fuerza magnética desvía portadores hacia un lado. La separación crea un campo eléctrico transversal hasta que qE y qv × B se equilibran.

El voltaje Hall permite detectar el campo y, con información adicional, el signo y la densidad de los portadores.

27.23 Validez del modelo clásico

La expresión de Lorentz es extraordinariamente amplia, pero F = ma con masa constante es una aproximación no relativista. A velocidades cercanas a la de la luz se usa el momento relativista.

A escalas microscópicas, la descripción completa puede requerir mecánica cuántica; aun así, la ley de Lorentz conserva un papel fundamental en la dinámica electromagnética.

27.24 Algoritmo para el producto vectorial

Un programa debe conservar componentes y signo, no solo el módulo:

function fuerzaMagnetica(q, v, b) {
  return {
    x: q * (v.y * b.z - v.z * b.y),
    y: q * (v.z * b.x - v.x * b.z),
    z: q * (v.x * b.y - v.y * b.x)
  };
}

const proton = 1.602e-19;
const v = { x: 3e5, y: 0, z: 0 };
const b = { x: 0, y: 0.20, z: 0 };
console.log(fuerzaMagnetica(proton, v, b));
// { x: 0, y: 0, z: 9.612e-15 }

27.25 Evitar errores numéricos

• Convertir µC, mT y km/s a unidades del SI antes de operar.
• Usar el signo de q en las componentes, pero |q| para informar el módulo.
• No redondear resultados intermedios.
• Comprobar perpendicularidad mediante productos escalares.
• Tratar como cero valores pequeños respecto de la escala del problema, no mediante igualdad exacta.

27.26 Laboratorio interactivo: orientación de Lorentz

Los vectores velocidad y campo están en el plano de la pantalla. Su producto vectorial es perpendicular: ⊙ si sale y ⊗ si entra. Cambiá la partícula, los módulos y el ángulo.

27.27 Cómo interpretar el laboratorio

Las flechas celeste y amarilla representan v y B. El círculo central muestra la partícula y el símbolo grande indica F. Para q positiva, un giro antihorario menor de v hacia B produce fuerza saliente; para q negativa se invierte.

Intercambiar los vectores conserva |F| pero cambia el sentido porque el producto vectorial es anticonmutativo. La aceleración depende además de la masa elegida.

27.28 Ejercicio propuesto

Un electrón se mueve con v = (4,0 × 10⁶, 3,0 × 10⁶, 0) m/s en un campo B = (0, 0, 0,25) T. Usá e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C y m_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg.

1. Calculá v × B.
2. Obtené las componentes y el módulo de la fuerza.
3. Verificá que la fuerza sea perpendicular a la velocidad.
4. Calculá el módulo de la aceleración instantánea.
5. Indicá si cambia la energía cinética.

27.29 Errores frecuentes

• Aplicar la fuerza magnética a una carga en reposo.
• Usar cos θ en lugar de sen θ.
• Olvidar invertir el sentido para una carga negativa.
• Calcular B × v en vez de v × B.
• Suponer que la fuerza aumenta la rapidez.
• Confundir fuerza nula por θ = 0 con ausencia de campo.
• Perder el signo negativo de la componente y del determinante.
• Mezclar unidades prefijadas sin convertirlas.

27.30 Ideas clave

• La ley de Lorentz es F = q(E + v × B).
• La fuerza magnética tiene módulo |q|vB sen θ.
• Su dirección es perpendicular a v y B.
• La regla de la mano derecha corresponde primero a una carga positiva.
• Una carga negativa invierte el sentido de la fuerza.
• La componente de velocidad paralela a B no produce fuerza.
• Un campo magnético estático no realiza trabajo sobre una carga puntual.
• Los productos escalares F·v y F·B permiten verificar el resultado.

En el próximo tema se analizará el movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes.