3. Ley de Coulomb y fuerza entre cargas puntuales

3.1 De observar una interacción a medir una fuerza

Dos cuerpos cargados pueden atraerse o repelerse sin estar en contacto. En los temas anteriores identificamos el signo de las cargas, su conservación y la forma en que se redistribuyen en distintos materiales. Ahora queremos responder preguntas cuantitativas: ¿cuánto vale la fuerza?, ¿cómo cambia al duplicar una carga?, ¿qué sucede si aumenta la distancia?

Charles-Augustin de Coulomb estudió estas relaciones mediante una balanza de torsión. Los resultados permiten construir una ley para cuerpos cuyo tamaño sea despreciable frente a la separación entre ellos, o para distribuciones esféricas que puedan modelarse como si su carga estuviera concentrada en el centro.

3.2 El modelo de carga puntual

Una carga puntual es una idealización: toda su carga se representa en una posición sin dimensiones. Una partícula elemental puede tratarse de este modo cuando no interesa su estructura interna. Un objeto cargado también puede aproximarse por una carga puntual si su tamaño es mucho menor que las distancias relevantes.

El modelo no afirma que un objeto macroscópico haya perdido su forma. Significa que, para el problema considerado, reemplazar su distribución por una carga en un punto produce una aproximación adecuada. Si los cuerpos están muy próximos, tienen formas irregulares o se polarizan de manera apreciable, habrá que describir la distribución de carga con mayor detalle.

3.3 La ley de Coulomb en magnitud

Para dos cargas puntuales q₁ y q₂ separadas por una distancia r, la magnitud de la fuerza eléctrica que cada una ejerce sobre la otra es:

El valor absoluto garantiza que F represente una magnitud no negativa. Los signos de las cargas se utilizan por separado para determinar si la interacción es atractiva o repulsiva. En unidades del Sistema Internacional:

• las cargas se expresan en coulombs (C);
• la distancia se expresa en metros (m);
• la fuerza obtenida se expresa en newtons (N).

3.4 La constante de Coulomb

En el vacío, la constante de proporcionalidad es:

La constante también puede escribirse mediante la permitividad eléctrica del vacío, ε₀:

El factor numérico grande explica por qué cantidades de carga del orden de microcoulombs pueden producir fuerzas perceptibles. Al resolver ejercicios conviene conservar varias cifras durante los cálculos y redondear solamente el resultado final.

3.5 Dirección y sentido de la fuerza

La fuerza eléctrica es una magnitud vectorial. Su dirección coincide con la recta que une las dos cargas. El sentido depende de sus signos:

• si q₁q₂ > 0, las cargas tienen el mismo signo y se repelen;
• si q₁q₂ < 0, poseen signos opuestos y se atraen;
• si alguna carga es cero, la fuerza electrostática entre esas dos cargas es cero.

El signo del producto no debe confundirse con el signo de una componente cartesiana. Primero se identifica si hay atracción o repulsión; después, con el dibujo y el sistema de ejes, se determina el signo de cada componente.

3.6 Forma vectorial

Sean r⃗₁ y r⃗₂ las posiciones de las cargas. El vector que va desde q₂ hasta q₁ es r⃗₁₂ = r⃗₁ − r⃗₂. La fuerza sobre q₁ debida a q₂ puede escribirse:

La división por el cubo de la distancia combina dos elementos: un factor 1/r² para la magnitud y un vector unitario para la dirección. Una forma equivalente es:

Si el producto de las cargas es negativo, el signo invierte el vector unitario y la fuerza apunta hacia la otra carga.

3.7 Las fuerzas forman un par de acción y reacción

La carga q₁ ejerce una fuerza sobre q₂ y q₂ ejerce otra sobre q₁. Ambas poseen la misma magnitud y direcciones opuestas:

Este resultado es compatible con la tercera ley de Newton. Las fuerzas no se anulan entre sí cuando analizamos una sola partícula, porque actúan sobre cuerpos diferentes. Solo se cancelan al calcular la fuerza interna total sobre el sistema formado por las dos cargas.

3.8 Una ley del inverso del cuadrado

La dependencia 1/r² hace que la fuerza disminuya rápidamente con la separación. Si las cargas no cambian:

Una forma segura de comparar dos situaciones es usar el cociente F′/F = (r/r′)². Esto evita recalcular toda la expresión y ayuda a detectar respuestas incompatibles con la tendencia física.

3.9 Cómo influyen las cargas

La magnitud es directamente proporcional al módulo de cada carga. Si q₁ se duplica y todo lo demás permanece constante, la fuerza se duplica. Si se triplican ambas cargas, el producto se multiplica por nueve y la fuerza también.

Cambiar únicamente el signo de una carga no modifica la magnitud, pero convierte una interacción atractiva en repulsiva o viceversa. Magnitud y sentido contienen información diferente y deben informarse por separado.

3.10 Conversión de unidades

La constante k está expresada con coulombs y metros. Por eso todos los datos deben convertirse antes de sustituirlos. Los prefijos más frecuentes son:

Un error común es introducir microcoulombs como si fueran coulombs. Como la fórmula contiene el producto de dos cargas, omitir dos factores de 10⁻⁶ produce un resultado incorrecto por un factor de 10¹².

3.11 Método de resolución

Un procedimiento ordenado reduce errores de signos y unidades:

1. Dibujar: ubicar las cargas y elegir un sistema de ejes.
2. Convertir: expresar cargas en coulombs y distancias en metros.
3. Clasificar: decidir por los signos si la interacción atrae o repele.
4. Calcular la magnitud: usar valores absolutos en la fórmula escalar.
5. Asignar dirección y sentido: determinar hacia dónde apunta la fuerza sobre la carga solicitada.
6. Verificar: revisar unidades, orden de magnitud y dependencia con la distancia.

Separar el cálculo de la magnitud del análisis geométrico suele ser más claro que intentar introducir todos los signos en una fórmula escalar.

3.12 Ejemplo: fuerza atractiva en una dimensión

Una carga q₁ = +2,0 µC se encuentra a la izquierda de q₂ = −3,0 µC. La separación es de 0,40 m. ¿Qué fuerza experimenta cada una?

Como las cargas tienen signos opuestos, se atraen. La fuerza sobre q₁ apunta hacia la derecha, en dirección a q₂. La fuerza sobre q₂ tiene igual magnitud y apunta hacia la izquierda, en dirección a q₁.

3.13 Cuándo puede aplicarse esta forma de la ley

La expresión presentada supone cargas puntuales en reposo y, con el valor indicado de k, vacío o aire como buena aproximación. Puede aplicarse exactamente fuera de distribuciones esféricas con simetría adecuada y aproximadamente cuando el tamaño de los cuerpos es pequeño frente a su separación.

Dentro de un medio material, la polarización modifica la interacción y se utiliza la permitividad del medio. Cerca de conductores u otras cargas, la distribución puede cambiar. Para cargas en movimiento rápido o fenómenos variables en el tiempo se necesita una descripción electromagnética más completa.

3.14 Implementar la ley de Coulomb con JavaScript

Una función puede recibir las cargas en coulombs y la distancia en metros. Conviene validar la distancia porque r = 0 no pertenece al dominio del modelo de cargas puntuales distintas.

const K_COULOMB = 8.9875517923e9;

function fuerzaCoulomb(q1_C, q2_C, distancia_m) {
  if (!Number.isFinite(distancia_m) || distancia_m <= 0) {
    throw new Error("La distancia debe ser positiva");
  }

  const magnitud_N =
    K_COULOMB * Math.abs(q1_C * q2_C) / distancia_m ** 2;

  let interaccion = "nula";
  if (q1_C * q2_C > 0) interaccion = "repulsiva";
  if (q1_C * q2_C < 0) interaccion = "atractiva";

  return { magnitud_N, interaccion };
}

const resultado = fuerzaCoulomb(2e-6, -3e-6, 0.40);
console.log("Fuerza:", resultado.magnitud_N, "N");
console.log("Interacción:", resultado.interaccion);

La función devuelve magnitud y tipo de interacción por separado. De esta manera no se interpreta un valor escalar negativo como una “magnitud negativa” y la dirección puede añadirse a partir de las posiciones.

3.15 Laboratorio interactivo: fuerza entre dos cargas

Modificá las cargas y la separación. Las flechas representan las fuerzas sobre cada partícula; su longitud se escala para que puedan compararse visualmente sin salir del área de dibujo. Los valores numéricos se calculan con la ley de Coulomb en el vacío.

Rojo representa carga positiva, azul representa carga negativa y amarillo representa los vectores fuerza. La línea punteada indica la separación entre los centros.

• Cambiá solamente el signo de una carga: la magnitud se conserva y el sentido se invierte.
• Duplicá una carga y verificá que la fuerza se duplica.
• Duplicá la distancia y comprobá que la fuerza se reduce a la cuarta parte.
• Asigná valor cero a una carga y observá que desaparece la interacción.

3.16 Del cálculo al dibujo

El laboratorio sigue una secuencia que también sirve para resolver problemas:

1. convierte microcoulombs a coulombs;
2. calcula el producto de las cargas para clasificar la interacción;
3. usa los módulos para obtener la magnitud en newtons;
4. ubica q₁ a la izquierda y q₂ a la derecha;
5. asigna sentidos opuestos a las flechas según haya atracción o repulsión;
6. presenta las dos fuerzas como vectores de igual módulo.

La separación visual no está en una escala geométrica única: se adapta al ancho de la pantalla. El valor numérico indicado por el control es el que se utiliza en la fórmula. Esta diferencia entre escala gráfica y dato físico debe declararse en cualquier visualización científica.

3.17 Ejemplo resuelto en dos dimensiones

Una carga q_A = +4,0 µC está en el origen y una carga q_B = +2,0 µC se encuentra en (0,30 m; 0,40 m). Calculemos la fuerza sobre A debida a B.

La distancia entre las cargas se obtiene con Pitágoras:

Las cargas se repelen. El vector unitario desde B hacia A es (−0,30; −0,40)/0,50 = (−0,60; −0,80). Por lo tanto:

const k = 8.9875517923e9;
const qA = 4e-6;
const qB = 2e-6;
const posicionA = { x: 0, y: 0 };
const posicionB = { x: 0.30, y: 0.40 };

const dx = posicionA.x - posicionB.x;
const dy = posicionA.y - posicionB.y;
const r = Math.hypot(dx, dy);
const factor = k * qA * qB / r ** 3;
const fuerzaSobreA = { x: factor * dx, y: factor * dy };

console.log("Distancia:", r, "m");
console.log("Fuerza sobre A:", fuerzaSobreA, "N");

3.18 Ejercicio propuesto

Dos cargas puntuales están sobre el eje x. La carga q₁ = −5,0 µC se encuentra a la izquierda y q₂ = −8,0 µC a la derecha, separadas 0,30 m.

1. ¿La interacción es atractiva o repulsiva?
2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza sobre cada carga?
3. ¿Hacia dónde apunta la fuerza sobre q₁ y hacia dónde la fuerza sobre q₂?
4. ¿Qué magnitud tendría la fuerza si la distancia aumentara a 0,60 m?
5. ¿Cambiaría el resultado si ambas cargas fueran positivas y conservaran sus módulos?

3.19 Errores frecuentes

• Usar microcoulombs sin convertir. La fórmula con el valor usual de k requiere coulombs.
• Olvidar elevar la distancia al cuadrado. La interacción no disminuye como 1/r sino como 1/r².
• Informar una magnitud negativa. La magnitud es positiva; el sentido pertenece al vector.
• Sumar las dos fuerzas del par sobre una misma carga. Cada fuerza actúa sobre una partícula diferente.
• Confundir distancia con diferencia de una sola coordenada. En dos o tres dimensiones debe calcularse la distancia espacial.
• Aplicar el modelo puntual sin revisar tamaños y geometría. La proximidad puede volver importante la distribución de carga.
• Redondear demasiado pronto. Conviene conservar cifras intermedias y ajustar al final.

3.20 Ideas para recordar

• Una carga puntual representa un cuerpo cuyo tamaño puede despreciarse para el problema.
• La magnitud de la fuerza es F = k|q₁q₂|/r².
• En el vacío, k ≈ 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
• Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signos opuestos se atraen.
• La fuerza actúa sobre la recta que une las cargas.
• Las fuerzas sobre las dos cargas tienen igual magnitud y sentidos opuestos.
• Duplicar una carga duplica la fuerza; duplicar ambas la multiplica por cuatro.
• Duplicar la distancia reduce la fuerza a la cuarta parte.
• Las unidades deben convertirse a coulombs y metros antes del cálculo.
• En problemas vectoriales, primero se calcula la magnitud y luego se incorpora la geometría.
• La validez del resultado depende de que el modelo de cargas puntuales sea apropiado.