30.1 Corrientes como fuentes de campo
Una corriente estacionaria produce un campo magnético alrededor de los conductores que la transportan. La geometría de la corriente determina la dirección y la variación espacial de B.
30.2 Experiencia de Ørsted
Una brújula próxima a un cable se desvía cuando circula corriente. La observación mostró que electricidad y magnetismo no son fenómenos independientes y que el campo de un conductor recto rodea al cable.
30.3 Permeabilidad del vacío
En las fórmulas magnetostáticas aparece μ₀, la permeabilidad del vacío. Para los cálculos introductorios se usa:
En medios materiales la relación entre corrientes y campos puede requerir magnetización y una descripción adicional.
30.4 Ley de Biot–Savart
dℓ apunta según la corriente, r une el elemento con el punto de observación y r̂ es su vector unitario.
30.5 Módulo de la contribución
α es el ángulo entre dℓ y r̂. Un elemento no contribuye en la dirección de su propia prolongación y aporta el máximo cuando ambos vectores son perpendiculares.
30.6 Integración sobre el conductor
El campo total resulta de sumar vectorialmente todas las contribuciones:
Los límites, la parametrización y la dirección vectorial son parte esencial del cálculo.
30.7 Regla de la mano derecha
Para un conductor recto, el pulgar apunta en el sentido de la corriente convencional y los dedos curvados indican el sentido de las líneas de B. Invertir la corriente invierte el campo.
30.8 Conductor recto infinito
Integrar Biot–Savart para un hilo ideal infinito produce:
El campo es tangente a circunferencias centradas en el cable y decrece como 1/r.
30.9 Conductor recto finito
A distancia perpendicular a de un segmento recto:
Los ángulos se miden desde la perpendicular hacia las líneas que unen el punto con los extremos. Al tender ambos a 90° se recupera el hilo infinito.
30.10 Campo en el centro de una espira
Para una espira circular de radio R:
Con N vueltas muy próximas, B = μ₀NI/(2R). La mano derecha con dedos según la corriente da el sentido axial del campo.
30.11 Campo sobre el eje de una espira
En x = 0 coincide con la expresión del centro. Muy lejos, decrece como 1/x³, comportamiento propio de un dipolo magnético.
30.12 Arco de circunferencia
Un arco de radio R y ángulo φ en radianes produce en su centro:
Los tramos radiales conectados al arco no aportan en el centro porque dℓ es paralelo a r̂.
30.13 Principio de superposición
Se calcula el campo de cada corriente con su sentido y luego se suman componentes. Corrientes iguales no garantizan campos que se sumen: la geometría puede hacer que se opongan.
30.14 Circulación de un campo
La circulación a lo largo de una curva cerrada C es:
Solo contribuye la componente tangencial. No es flujo a través de una superficie: es una integral sobre su borde.
30.15 Ley de Ampère magnetostática
La corriente enlazada atraviesa cualquier superficie cuyo borde sea la trayectoria amperiana. Su signo se fija con la orientación elegida mediante la mano derecha.
30.16 Elegir una trayectoria amperiana
La trayectoria no tiene que coincidir con un conductor. Se elige para aprovechar simetría, buscando que B sea tangencial y constante en parte del recorrido, o perpendicular donde su producto escalar sea cero.
30.17 Ampère aplicado al hilo infinito
En una circunferencia de radio r, B es tangencial y constante:
La ley no crea la simetría; la simetría del sistema permite extraer B de la integral.
30.18 Corriente enlazada y corriente exterior
Solo la corriente neta que atraviesa la superficie cuenta en el miembro derecho. Una corriente exterior puede contribuir localmente a B, aunque su contribución total a la circulación cerrada sea cero.
30.19 Varias corrientes
sk vale +1 o −1 según el sentido respecto de la normal elegida. Si la suma algebraica es cero, la circulación es cero, pero B no tiene por qué anularse punto a punto.
30.20 Biot–Savart o Ampère
| Criterio | Biot–Savart | Ampère |
|---|---|---|
| Uso | Geometrías generales | Alta simetría |
| Operación | Integra fuentes | Relaciona circulación y corriente |
| Resultado | Campo punto a punto | Campo extraíble solo con simetría |
| Ejemplos | Segmento, arco, espira | Hilo infinito, solenoide ideal, toroide |
30.21 Limitación magnetostática
La forma ∮B·dℓ = μ₀I es suficiente para corrientes estacionarias. Para campos variables, Maxwell agregó el término de corriente de desplazamiento:
30.22 Densidad de corriente
Si la corriente se distribuye sobre un área:
En un conductor cilíndrico con J uniforme, la corriente encerrada crece proporcionalmente al área dentro de la trayectoria.
30.23 Campo dentro de un conductor macizo
Para un cilindro largo de radio R con corriente uniforme, a r < R:
El campo crece linealmente desde cero hasta la superficie. Fuera del conductor vuelve a decrecer como 1/r.
30.24 Energía y dirección
Las fórmulas escalares dan módulos bajo condiciones específicas. La dirección siempre debe obtenerse por simetría y producto vectorial o regla de la mano derecha. Un resultado sin dirección está incompleto.
30.25 Ejemplo: hilo recto
Un cable conduce 8,0 A. A 5,0 cm:
El sentido es tangencial según la mano derecha.
30.26 Ejemplo: espira
Una bobina de 20 vueltas, radio 4,0 cm y corriente 1,5 A produce en su centro:
30.27 Integración numérica con JavaScript
function campoEspiraEnEje(corriente, radio, x, vueltas = 1) {
const mu0 = 4 * Math.PI * 1e-7;
return mu0 * vueltas * corriente * radio ** 2 /
(2 * (radio ** 2 + x ** 2) ** 1.5);
}
function campoHiloInfinito(corriente, distancia) {
const mu0 = 4 * Math.PI * 1e-7;
return mu0 * corriente / (2 * Math.PI * distancia);
}
console.log(campoEspiraEnEje(1.5, 0.04, 0, 20));
console.log(campoHiloInfinito(8, 0.05));30.28 Laboratorio: hilo y espira
Alterná la geometría y modificá corriente, distancia, radio y vueltas. El mapa muestra la simetría y el valor en el punto de observación.
—
Modificá la fuente y el punto de observación.
30.29 Interpretación del laboratorio
En el hilo, duplicar r reduce B a la mitad. En la espira, la variación axial no es una potencia simple para toda distancia: cerca del centro cambia lentamente y lejos se aproxima a 1/x³.
La circulación μ₀I corresponde directamente a una trayectoria que enlaza el hilo. Para la espira se muestra como referencia de corriente enlazada, pero una trayectoria amperiana simple no permite extraer de ella el campo axial.
30.30 Ejercicio propuesto
Dos cables infinitos paralelos separados 12 cm conducen 6,0 A en el mismo sentido. Considerá el punto medio y un punto exterior situado 6,0 cm a la izquierda del cable izquierdo.
- Calculá el campo de cada cable en el punto medio y el campo total.
- Calculá los campos en el punto exterior y sumalos vectorialmente.
- Indicá cómo cambian si se invierte solo la corriente derecha.
Ver solución
En el punto medio, r = 0,060 m para ambos: cada campo vale 20 µT, pero tienen sentidos opuestos. Btotal = 0.
En el punto exterior, las distancias son 0,060 m y 0,180 m. Los campos valen 20 µT y 6,67 µT y tienen el mismo sentido, por lo que Btotal = 26,7 µT.
Al invertir la corriente derecha, en el punto medio los campos se suman: 40 µT. En el exterior se oponen: 13,3 µT.
30.31 Errores frecuentes
- Usar Ampère sin simetría suficiente para extraer B.
- Confundir corriente enlazada con toda corriente cercana.
- Sumar módulos en lugar de vectores.
- Omitir el producto vectorial de Biot–Savart.
- Usar centímetros sin convertir a metros.
- Confundir circulación con flujo.
- Aplicar el hilo infinito a distancias comparables con su longitud.
30.32 Ideas clave
- Biot–Savart suma contribuciones de elementos de corriente.
- El hilo infinito produce B = μ₀I/(2πr).
- La espira produce en su centro B = μ₀NI/(2R).
- Ampère relaciona circulación con corriente enlazada.
- La simetría determina cuándo Ampère permite hallar B directamente.
- Los campos obedecen superposición vectorial.
- Dirección y sentido se obtienen con la mano derecha.
En el próximo tema se aplicarán estas leyes a conductores rectos, espiras, solenoides y electroimanes.