4. Superposición de fuerzas eléctricas y distribuciones de carga

Cuando intervienen muchas cargas, cada interacción se calcula por separado y las fuerzas se suman como vectores. El mismo principio permite pasar de partículas individuales a líneas, superficies y volúmenes cargados.

4.1 De dos cargas a un sistema de muchas cargas

La ley de Coulomb permite calcular la fuerza entre dos cargas puntuales. En una situación real puede haber tres, diez o una enorme cantidad de cargas. Una partícula elegida recibe entonces varias fuerzas eléctricas simultáneas, cada una con su propia magnitud y dirección.

El efecto total no se obtiene aplicando la ley de Coulomb a la suma de todas las distancias ni sumando solamente módulos. Se calcula primero la fuerza producida por cada carga fuente y luego se realiza una suma vectorial.

Cada par de cargas interactúa según la ley de Coulomb. La fuerza neta sobre una carga es la suma vectorial de todas las fuerzas individuales que actúan sobre ella.

4.2 Principio de superposición

Consideremos una carga q0 sobre la que actúan N cargas fuente q1, q2, ..., qN. El principio de superposición establece:

F⃗neta sobre 0 = F⃗0←1 + F⃗0←2 + ... + F⃗0←N

Cada término se calcula como si las demás cargas fuente no existieran. Después se suman los resultados. Las cargas restantes no bloquean ni consumen parte de la interacción entre un par; sus contribuciones se agregan linealmente.

La superposición es una propiedad fundamental del modelo electromagnético clásico en medios lineales. Permite construir soluciones complejas a partir de contribuciones sencillas.

4.3 Elegir la carga que se analiza

Antes de comenzar hay que identificar con claridad sobre qué carga se solicita la fuerza. Esa será la carga objetivo. Las demás se consideran fuentes durante el cálculo.

Si se pide la fuerza sobre otra partícula, debe repetirse el análisis: cambian los vectores de posición y se excluye la interacción de una carga consigo misma. Aunque la fuerza entre cada par cumple acción y reacción, las fuerzas netas sobre dos partículas de un sistema con tres o más cargas no tienen por qué ser opuestas.

  • marcá la carga objetivo;
  • dibujá una flecha por cada carga fuente;
  • determiná atracción o repulsión antes de calcular componentes;
  • sumá solamente las fuerzas que actúan sobre el mismo cuerpo.

4.4 Sumar vectores mediante componentes

En dos dimensiones, cada fuerza se descompone en componentes cartesianas:

Fix = Fi cos θi

Fiy = Fi sin θi

Fnet,x = ΣFix    y    Fnet,y = ΣFiy

Una vez sumadas las componentes, la magnitud y la dirección de la resultante son:

Fneta = √(Fnet,x2 + Fnet,y2)

θ = atan2(Fnet,y, Fnet,x)

La función atan2 utiliza los signos de ambas componentes y determina correctamente el cuadrante. Una calculadora basada solo en arctan(Fy/Fx) puede perder esa información.

4.5 Procedimiento general

  1. Representar: dibujar posiciones, signos y ejes.
  2. Seleccionar: identificar la carga objetivo y todas las fuentes.
  3. Separar: calcular el vector desde cada fuente hasta el objetivo.
  4. Aplicar Coulomb: obtener cada fuerza con magnitud y sentido.
  5. Descomponer: hallar las componentes x, y y, si corresponde, z.
  6. Sumar: combinar por separado las componentes del mismo eje.
  7. Reconstruir: calcular magnitud y ángulo de la fuerza neta.
  8. Revisar: comprobar unidades, simetrías y orden de magnitud.

Un diagrama correcto suele prevenir más errores que una manipulación algebraica extensa. Las flechas deben dibujarse sobre la carga objetivo, no sobre la fuente que origina cada fuerza.

4.6 Cargas alineadas

Si todas las cargas se encuentran sobre una misma recta, la suma vectorial se reduce a una suma algebraica después de elegir un sentido positivo. Por ejemplo, en el eje x se asigna signo positivo a las fuerzas hacia la derecha y negativo a las que apuntan hacia la izquierda.

Supongamos que sobre una carga actúan una fuerza de 5 N hacia la derecha y otra de 3 N hacia la izquierda:

Fnet,x = +5 N − 3 N = +2 N

La resultante vale 2 N hacia la derecha. Sumar los módulos y responder 8 N ignoraría que las fuerzas poseen sentidos opuestos.

4.7 Cancelación y equilibrio

Una carga está en equilibrio traslacional cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es cero. Esto no significa que cada fuerza sea cero: pueden existir contribuciones no nulas que se cancelan.

F⃗neta = 0⃗    ⇔    ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣFz = 0

Dos cargas fuente idénticas colocadas simétricamente a ambos lados de una carga objetivo producen fuerzas de igual magnitud y sentidos opuestos. Si se cambia una carga o una distancia, la cancelación desaparece. El equilibrio depende del conjunto completo y de la geometría.

4.8 Ejemplo con fuerzas perpendiculares

Sobre una partícula actúan una fuerza eléctrica de 3,0 N hacia la derecha y otra de 4,0 N hacia arriba. Como son perpendiculares, la magnitud de la resultante es:

Fneta = √[(3,0 N)2 + (4,0 N)2] = 5,0 N

θ = atan2(4,0; 3,0) ≈ 53,1°

La fuerza neta vale 5,0 N y apunta 53,1° por encima del eje x positivo. Los módulos 3 y 4 no se suman directamente porque las fuerzas no tienen la misma dirección.

4.9 Forma vectorial para muchas cargas puntuales

Si la carga objetivo q0 está en la posición r⃗0 y cada fuente qi en r⃗i, la fuerza neta puede escribirse en una sola expresión:

F⃗0 = k q0 Σi=1N qi (r⃗0 − r⃗i) / |r⃗0 − r⃗i|3

El numerador aporta la dirección desde la fuente hacia el objetivo. El signo del producto q0qi determina si el vector conserva ese sentido —repulsión— o lo invierte —atracción—. El término correspondiente a la propia carga objetivo no se incluye.

4.10 Distribuciones discretas y continuas

Un conjunto finito de cargas identificables se modela como una distribución discreta. Cuando hay tantas partículas que interesa su comportamiento colectivo, puede resultar más útil describir la carga como distribuida continuamente sobre una línea, una superficie o un volumen.

Modelos habituales para representar una distribución de carga.
DistribuciónDensidadUnidad SIElemento de carga
Linealλ = dQ/dℓC/mdq = λ dℓ
Superficialσ = dQ/dAC/m2dq = σ dA
Volumétricaρ = dQ/dVC/m3dq = ρ dV

Las letras λ, σ y ρ indican cuánta carga existe por unidad de longitud, área o volumen alrededor de cada punto. Pueden ser constantes o variar con la posición.

4.11 Recuperar la carga total

La carga total se obtiene sumando todos los elementos diferenciales mediante una integral:

Q = ∫ λ dℓ    para una línea

Q = ∫ σ dA    para una superficie

Q = ∫ ρ dV    para un volumen

Si la densidad es uniforme, puede salir de la integral. Así, una varilla de longitud L y carga Q tiene λ = Q/L; una lámina de área A tiene σ = Q/A; y un cuerpo de volumen V tiene ρ = Q/V.

Si la densidad cambia con la posición, no alcanza con multiplicar por la longitud, el área o el volumen total: debe integrarse la función correspondiente.

4.12 De la suma a la integral de fuerza

Dividimos una distribución continua en elementos muy pequeños de carga dq. Cada elemento produce sobre una carga puntual q0 una fuerza diferencial:

dF⃗ = k q0 dq · (r⃗0 − r⃗′) / |r⃗0 − r⃗′|3

El vector r⃗′ identifica la posición del elemento fuente y r⃗0 la posición de la carga objetivo. La fuerza total es la suma continua:

F⃗ = ∫ dF⃗

Para resolverla se expresa dq mediante λ, σ o ρ, se describe la geometría con una variable de integración y se integran las componentes que no se cancelan.

4.13 La simetría antes que la cuenta

La simetría puede mostrar que algunas componentes se anulan sin efectuar toda la integral. Una carga de prueba ubicada en el centro de un anillo uniformemente cargado recibe contribuciones de pares de elementos diametralmente opuestos. Cada par produce fuerzas de igual magnitud y sentidos contrarios, por lo que la fuerza neta es cero.

En un punto sobre el eje perpendicular de un anillo, las componentes laterales también se cancelan por pares, mientras que las componentes sobre el eje se suman. Reconocer esta estructura reduce un problema vectorial a una sola componente.

La simetría no reemplaza al principio de superposición: permite organizar la suma e identificar cancelaciones antes de calcular.

4.14 Aproximación numérica de una distribución

Cuando la integral es difícil o la geometría es irregular, una computadora puede dividir la distribución en muchos elementos pequeños. A cada elemento se le asigna una carga Δq y se suman las fuerzas de Coulomb:

F⃗ ≈ Σ k q0 Δqi (r⃗0 − r⃗i) / |r⃗0 − r⃗i|3

Al aumentar el número de elementos y reducir su tamaño, la suma debería acercarse a un valor estable. Comparar resultados con distintas discretizaciones es una manera práctica de estudiar la convergencia y estimar el error numérico.

4.15 Superposición con JavaScript

El siguiente programa calcula la fuerza neta sobre una carga objetivo en dos dimensiones. Cada fuente aporta un vector, que se acumula componente por componente.

const K = 8.9875517923e9;

function fuerzaDeFuente(objetivo, fuente) {
  const dx = objetivo.x - fuente.x;
  const dy = objetivo.y - fuente.y;
  const r = Math.hypot(dx, dy);
  if (r === 0) throw new Error("Dos cargas no pueden ocupar el mismo punto");

  const factor = K * objetivo.q * fuente.q / r ** 3;
  return { x: factor * dx, y: factor * dy };
}

function fuerzaNeta(objetivo, fuentes) {
  return fuentes.reduce((suma, fuente) => {
    const fuerza = fuerzaDeFuente(objetivo, fuente);
    return { x: suma.x + fuerza.x, y: suma.y + fuerza.y };
  }, { x: 0, y: 0 });
}

const objetivo = { q: 2e-6, x: 0, y: 0 };
const fuentes = [
  { q: 3e-6, x: -0.40, y: 0 },
  { q: -4e-6, x: 0, y: 0.30 }
];

console.log(fuerzaNeta(objetivo, fuentes));

La función no suma módulos: acumula componentes con signo. Esta estructura admite cualquier cantidad de fuentes y prepara el camino para aproximar distribuciones continuas mediante arreglos de elementos pequeños.

4.16 Laboratorio interactivo: construir una fuerza resultante

La carga objetivo q0 está en el origen. La fuente q1 se encuentra a su izquierda y q2, encima. Modificá las cargas y las distancias para observar las dos contribuciones perpendiculares y su resultante.

Los resultados numéricos se muestran también debajo de los controles.
Componente horizontal Fx+0,337 N
Componente vertical Fy+0,799 N
Magnitud resultante0,867 N
Dirección desde +x67,1°

F⃗neta = Fx î + Fy ĵ

La fuente izquierda repele a q₀ hacia la derecha y la fuente superior la atrae hacia arriba.

  • Fuerza de q1
  • Fuerza de q2
  • Fuerza resultante
  • Invertí una fuente y observá cómo cambia solo la componente que produce.
  • Hacé cero q0: todas las fuerzas sobre ella deben desaparecer.
  • Aumentá una distancia y comprobá la reducción cuadrática de esa contribución.
  • Compará la magnitud resultante con las magnitudes de sus componentes.

4.17 Cómo funciona el laboratorio

La geometría se eligió para que las dos fuerzas sean perpendiculares. La fuente q1 solo produce componente horizontal y q2 solo componente vertical:

Fx = k q0q1 / r12

Fy = −k q0q2 / r22

El signo menos de la segunda expresión aparece porque la fuente q2 está sobre el eje y positivo: el vector desde esa fuente hasta el origen apunta hacia abajo. Los signos de los productos deciden si cada dirección se conserva o se invierte.

Las flechas usan una escala gráfica común para conservar la proporción entre componentes. Esa escala cambia automáticamente para mantener el dibujo dentro del canvas, pero los valores numéricos siempre se expresan en newtons.

4.18 Ejemplo resuelto: tres cargas en un triángulo

Una carga objetivo q0 = +2,0 µC está en el origen. Una fuente q1 = +3,0 µC está en (−0,40 m; 0) y q2 = −4,0 µC en (0; +0,30 m). Calculemos la fuerza neta sobre q0.

La fuente positiva q1 repele a q0 hacia +x:

F1x = k(2,0 × 10−6)(3,0 × 10−6)/(0,40)2 ≈ +0,337 N

La fuente negativa q2 atrae a q0 hacia +y:

F2y = k|(2,0 × 10−6)(−4,0 × 10−6)|/(0,30)2 ≈ +0,799 N

Las componentes se combinan:

F⃗neta ≈ (0,337 î + 0,799 ĵ) N

Fneta = √(0,3372 + 0,7992) ≈ 0,867 N

θ = atan2(0,799; 0,337) ≈ 67,1° desde +x

4.19 Ejercicio propuesto

Una carga q0 = +1,0 µC está en el origen. Dos cargas idénticas q1 = q2 = +5,0 µC se encuentran en (−0,50 m; 0) y (+0,50 m; 0). Después se agrega q3 = −3,0 µC en (0; +0,40 m).

  1. ¿Qué fuerza neta producen q1 y q2 sobre q0 antes de agregar q3?
  2. ¿Por qué se cancelan esas fuerzas?
  3. ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza producida por q3?
  4. ¿Cuál es la fuerza neta final sobre q0?
  5. ¿Seguiría habiendo cancelación horizontal si q2 se desplazara a x = +0,60 m?
Ver solución y explicación

Las cargas q1 y q2 son iguales y están a la misma distancia en posiciones simétricas. Ambas repelen a q0: q1 hacia la derecha y q2 hacia la izquierda. Sus fuerzas poseen el mismo módulo y se cancelan, de modo que inicialmente F⃗neta = 0⃗.

La carga q3 es negativa y atrae a q0 hacia arriba:

F3 = (8,99 × 109)(1,0 × 10−6)(3,0 × 10−6)/(0,40)2

F3 ≈ 0,169 N hacia +y

Como las contribuciones horizontales continúan canceladas, la fuerza neta final es 0,169 N hacia arriba. Si q2 se alejara a 0,60 m, su fuerza disminuiría y q1 dominaría: aparecería una componente neta hacia la derecha.

4.20 Errores frecuentes

  • Sumar módulos en lugar de vectores. Solo pueden sumarse directamente fuerzas colineales con el mismo sentido.
  • Dibujar la fuerza sobre la carga fuente. Todas las flechas del cálculo deben actuar sobre la carga objetivo.
  • Incluir la fuerza de una carga sobre sí misma. La suma contiene únicamente fuentes distintas del objetivo.
  • Usar una única distancia para todas las fuentes. Cada par posee su propio vector separación.
  • Perder el cuadrante del ángulo. Es preferible usar atan2(Fy, Fx).
  • Confundir densidad con carga total. λ, σ y ρ deben integrarse sobre la geometría correspondiente.
  • Ignorar la simetría. Detectar cancelaciones puede simplificar de manera decisiva el cálculo.
  • Aceptar una discretización sin revisar convergencia. El resultado debe estabilizarse al refinar los elementos.

4.21 Ideas para recordar

  • La fuerza neta sobre una carga es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella.
  • Cada interacción por pares se calcula independientemente mediante la ley de Coulomb.
  • Las componentes cartesianas se suman por separado.
  • Una resultante nula puede provenir de fuerzas no nulas que se cancelan.
  • La simetría permite reconocer componentes iguales y opuestas.
  • Una distribución discreta se representa mediante una suma de cargas puntuales.
  • Las densidades λ, σ y ρ describen carga por longitud, área y volumen.
  • La carga total de una distribución continua se obtiene integrando su densidad.
  • La fuerza de una distribución continua es la integral de las contribuciones dF⃗.
  • Una distribución puede aproximarse numéricamente mediante muchos elementos pequeños.
  • Refinar la discretización permite comprobar la convergencia del modelo.