6. Campo producido por cargas puntuales y principio de superposición

Cada carga puntual aporta un vector de campo en el punto de observación. El campo resultante se obtiene sumando todas las contribuciones componente por componente.

6.1 Construir un campo complejo a partir de campos simples

En el tema anterior definimos el campo eléctrico y calculamos el producido por una carga puntual. La mayoría de los sistemas contienen varias cargas. En un punto P, cada fuente produce su propio vector y todos esos vectores coexisten.

El principio de superposición permite estudiar el conjunto sin inventar una nueva ley para cada cantidad de cargas. Se calcula el campo de cada fuente como si las demás no estuvieran y después se suman los resultados vectorialmente.

El campo total en un punto es la suma vectorial de los campos que produciría por separado cada carga fuente.

6.2 Contribución de una carga puntual

Una carga qi ubicada en la posición r⃗i produce en el punto de observación r⃗ un campo:

E⃗i(r⃗) = k qi · (r⃗ − r⃗i) / |r⃗ − r⃗i|3

El vector r⃗ − r⃗i va desde la fuente hasta el punto P. Si qi es positiva, el campo conserva ese sentido; si es negativa, el signo invierte el vector y el campo apunta hacia la fuente.

La magnitud individual es Ei = k|qi|/riP2. Cada fuente posee su propia distancia al punto de observación.

6.3 La fórmula de superposición

Para N cargas puntuales:

E⃗(r⃗) = Σi=1N E⃗i(r⃗) = k Σi=1N qi (r⃗ − r⃗i) / |r⃗ − r⃗i|3

La suma contiene únicamente las cargas fuente. No se incluye una carga de prueba. Si después se coloca una partícula q en P, la fuerza será F⃗ = qE⃗.

La superposición es lineal: duplicar todas las fuentes duplica el campo total; invertir el signo de todas invierte el vector total.

6.4 Sumar componentes, no magnitudes

En dos dimensiones se calcula para cada fuente:

Eix = k qi Δxi / ri3

Eiy = k qi Δyi / ri3

Después:

Ex = ΣEix    y    Ey = ΣEiy

E = √(Ex2 + Ey2)

θ = atan2(Ey, Ex)

Sumar E1 + E2 + ... solo es válido si todos los vectores son colineales y apuntan en el mismo sentido.

6.5 Procedimiento para resolver problemas

  1. Dibujar: ubicar las fuentes y el punto P con un sistema de ejes.
  2. Separar: construir el vector desde cada fuente hasta P.
  3. Orientar: decidir si cada contribución sale de la fuente positiva o entra en la negativa.
  4. Calcular: obtener magnitud o componentes de cada E⃗i.
  5. Sumar: combinar por separado las componentes x, y y z.
  6. Reconstruir: informar magnitud, dirección y sentido del campo total.
  7. Comprobar: utilizar simetrías y casos límite para revisar el resultado.

Conviene mantener las componentes con signo durante todo el cálculo y redondear solamente al final.

6.6 Dos cargas iguales en el punto medio

Dos cargas positivas iguales están separadas por una distancia d. En el punto medio, cada una produce un campo de la misma magnitud. El campo de la carga izquierda apunta hacia la derecha y el de la derecha hacia la izquierda.

E⃗total, punto medio = E⃗1 + E⃗2 = 0⃗

El mismo resultado ocurre para dos cargas negativas iguales: los dos campos apuntan hacia sus respectivas fuentes y vuelven a cancelarse en el centro. El campo nulo se debe a la simetría, no a que las fuentes hayan dejado de producir campo individualmente.

6.7 Cargas opuestas: el dipolo eléctrico

Dos cargas de igual módulo y signos opuestos separadas una distancia forman un dipolo eléctrico. En el punto medio, el campo de la carga positiva apunta alejándose de ella, hacia la negativa. El campo de la carga negativa también apunta hacia la negativa. Las contribuciones se suman.

En el punto medio de un dipolo, el campo apunta desde la carga positiva hacia la negativa.

Este contraste muestra por qué no alcanza con comparar distancias: también deben analizarse los signos y sentidos de los vectores.

6.8 La mediatriz de dos cargas iguales

Consideremos dos cargas iguales ubicadas simétricamente a izquierda y derecha. En cualquier punto de la mediatriz, las distancias a ambas fuentes son iguales. Las componentes horizontales de los campos se cancelan y las componentes verticales se suman.

Si las cargas son positivas y P está por encima del punto medio, el campo total apunta hacia arriba. Si ambas son negativas, apunta hacia abajo, en dirección a las cargas.

La simetría permite determinar componentes nulas antes de reemplazar números.

6.9 Dónde puede anularse el campo

Un punto de campo nulo requiere que las contribuciones se cancelen vectorialmente. Para dos cargas del mismo signo y distinto módulo, existe un punto entre ellas más cercano a la carga de menor módulo. Allí los campos apuntan en sentidos opuestos y sus magnitudes pueden igualarse.

Para dos cargas de signos opuestos, los campos entre ellas apuntan en el mismo sentido y no pueden cancelarse en esa región. Si los módulos son diferentes, el punto nulo puede aparecer fuera del segmento, del lado de la carga de menor módulo.

Encontrar un punto nulo exige dos condiciones: direcciones opuestas y magnitudes iguales.

6.10 Campo nulo no significa ausencia de fuentes

En un punto donde E⃗ = 0⃗ pueden existir campos individuales muy intensos que se cancelan. Si el punto se desplaza ligeramente, las magnitudes y direcciones cambian y la cancelación puede desaparecer.

Tampoco significa necesariamente que una carga colocada allí permanezca estable frente a cualquier perturbación. El análisis de estabilidad requiere estudiar cómo cambia el campo alrededor del punto, no solamente su valor exacto en una posición.

6.11 Configuraciones triangulares

Cuando las fuentes forman un triángulo, cada campo suele apuntar en una dirección diferente. Es útil obtener primero el vector unitario desde cada fuente hasta P, multiplicarlo por kqi/ri2 y sumar componentes.

En configuraciones altamente simétricas, como cargas iguales en los vértices de un triángulo equilátero y P en el centro, los tres vectores tienen igual magnitud y están separados 120°. Su suma es cero.

Si se cambia el signo o módulo de una sola carga, la simetría se rompe y aparece un campo resultante.

6.12 Ejemplo con dos cargas sobre el eje x

Sean q1 = +3,0 µC en x = −0,20 m y q2 = −5,0 µC en x = +0,30 m. Queremos el campo en el origen.

El campo de q1 positiva apunta hacia la derecha:

E1x = +(8,99 × 109)(3,0 × 10−6)/(0,20)2 ≈ +6,74 × 105 N/C

El campo de q2 negativa también apunta hacia la derecha, porque el origen se encuentra a su izquierda y el campo apunta hacia la carga:

E2x = +(8,99 × 109)(5,0 × 10−6)/(0,30)2 ≈ +4,99 × 105 N/C

Por lo tanto:

E⃗total ≈ +1,17 × 106 î N/C

6.13 Comportamiento a grandes distancias

Cuando el punto de observación está mucho más lejos que el tamaño de la configuración, las diferencias entre las distancias a cada fuente se vuelven pequeñas. Si la carga neta Qtotal no es cero, el sistema se parece en primera aproximación a una sola carga puntual Qtotal.

Si la carga neta es cero, como en un dipolo, el término de carga total se cancela y el campo disminuye más rápidamente con la distancia. Aun así, no es cero en todos los puntos: la separación espacial entre cargas continúa siendo relevante.

Desde muy lejos importa primero la carga neta; al acercarnos, se vuelve importante cómo están distribuidas las cargas.

6.14 Singularidades y campo propio

La expresión de una carga puntual no está definida en la posición exacta de esa fuente. Al calcular el campo externo que actúa sobre una de las partículas de un conjunto, se suman las contribuciones de las otras cargas y se excluye el término de la propia partícula.

Esto no significa que las cargas reales carezcan de estructura ni resuelve el problema completo de la auto-interacción. Es una regla del modelo clásico de partículas puntuales que permite calcular fuerzas entre fuentes distintas.

6.15 De cargas discretas a distribuciones continuas

Si una región contiene muchas cargas, la suma puede aproximarse mediante elementos pequeños o reemplazarse por una integral. El principio no cambia:

E⃗(r⃗) = k ∫ (r⃗ − r⃗′) / |r⃗ − r⃗′|3 dq

La variable r⃗′ recorre las posiciones de la distribución fuente. Según el problema, dq se expresa como λdℓ, σdA o ρdV. El paso de suma a integral conserva la naturaleza vectorial de cada contribución.

6.16 Implementación con arreglos en JavaScript

Una función puede recorrer un arreglo de fuentes, calcular cada contribución y acumular las componentes. Devolver también las contribuciones individuales facilita depurar y visualizar el resultado.

const K = 8.9875517923e9;

function campoTotal(fuentes, punto) {
  const contribuciones = fuentes.map(fuente => {
    const dx = punto.x - fuente.x;
    const dy = punto.y - fuente.y;
    const r = Math.hypot(dx, dy);
    if (r === 0) throw new Error("P coincide con una fuente");

    const factor = K * fuente.q / r ** 3;
    return { x: factor * dx, y: factor * dy };
  });

  const total = contribuciones.reduce((suma, campo) => ({
    x: suma.x + campo.x,
    y: suma.y + campo.y
  }), { x: 0, y: 0 });

  return { contribuciones, total };
}

const fuentes = [
  { q: 5e-6, x: -0.70, y: 0 },
  { q: 5e-6, x: 0.70, y: 0 }
];

console.log(campoTotal(fuentes, { x: 0, y: 0.60 }));

6.17 Laboratorio interactivo: superponer tres campos

Las fuentes ocupan posiciones fijas: q1 en (−0,70 m; 0), q2 en (+0,70 m; 0) y q3 en (0; +0,90 m). Podés cambiar sus valores y mover el punto P. Las flechas de colores muestran las contribuciones y la amarilla, el campo total.

Los resultados numéricos se muestran también debajo de los controles.
|E⃗1|5,287 × 104 N/C
|E⃗2|5,287 × 104 N/C
|E⃗3|0 N/C
Componente total Ex0 N/C
Componente total Ey+6,881 × 104 N/C
Magnitud y dirección6,881 × 104 N/C; 90,0°

E⃗total = E⃗1 + E⃗2 + E⃗3

Las fuentes iguales producen componentes horizontales opuestas y componentes verticales que se suman.

  • E⃗1
  • E⃗2
  • E⃗3
  • E⃗total
  • Colocá P en el centro y compará cargas iguales con un dipolo.
  • Cambiá solo q1 y observá cómo se rompe la simetría.
  • Activá q3 y distinguí su contribución de la resultante.
  • Mové P cerca de una fuente y observá el crecimiento de su campo.
  • Hacé coincidir P con una fuente para reconocer la singularidad del modelo puntual.

6.18 Cómo se calcula y representa el resultado

Para cada fuente, el laboratorio construye Δx, Δy y r; calcula Ex y Ey; y guarda su magnitud. Luego suma las tres componentes horizontales y las tres verticales.

Las flechas individuales y la resultante utilizan una escala gráfica común en cada estado, por lo que sus longitudes relativas pueden compararse. Si P coincide con una fuente no nula, el cálculo se detiene y se informa que el modelo no está definido allí.

Una fuente con carga cero no produce campo y no genera singularidad física en la simulación, aunque su marcador conserve la posición de referencia.

6.19 Ejemplo resuelto sobre una mediatriz

Dos cargas q1 = q2 = +5,0 µC están en (−0,70 m; 0) y (+0,70 m; 0). Calculemos el campo en P = (0; 0,60 m).

La distancia desde cada fuente es:

r = √[(0,70 m)2 + (0,60 m)2] = 0,922 m

Cada campo tiene magnitud:

E1 = E2 = kq/r2 ≈ 5,29 × 104 N/C

Las componentes x son iguales y opuestas. Las componentes y son iguales y positivas:

E1y = E2y = E(0,60/0,922) ≈ 3,44 × 104 N/C

E⃗total ≈ +6,88 × 104 ĵ N/C

6.20 Ejercicio propuesto

Dos cargas están sobre el eje x: q1 = +4,0 µC en x = −0,30 m y q2 = +1,0 µC en x = +0,30 m.

  1. ¿En qué sentido apunta cada campo en un punto situado entre las cargas?
  2. ¿Puede existir un punto de campo nulo entre ellas?
  3. ¿A qué distancia de q1 se encuentra ese punto?
  4. ¿Por qué el punto queda más cerca de la carga menor?
  5. ¿Qué cambiaría cualitativamente si q2 fuera negativa?
Ver solución y explicación

Entre dos cargas positivas, el campo de q1 apunta hacia la derecha y el de q2 hacia la izquierda. Pueden cancelarse si sus magnitudes son iguales.

Sea x la distancia desde q1 hasta el punto. La separación total es 0,60 m:

k(4,0 µC)/x2 = k(1,0 µC)/(0,60 − x)2

2/x = 1/(0,60 − x)

x = 0,40 m desde q1

El punto queda a 0,20 m de q2, la carga menor, porque necesita estar más cerca de ella para que su campo iguale al de la carga mayor. Si q2 fuera negativa, los campos entre las cargas apuntarían ambos hacia la derecha y no se cancelarían allí.

6.21 Errores frecuentes

  • Sumar magnitudes de campo. Deben sumarse componentes vectoriales.
  • Usar la misma distancia para todas las fuentes. Cada carga posee su propio vector hasta P.
  • Introducir una carga de prueba en la suma. El campo depende de las fuentes, no de la sonda.
  • Decidir el sentido solo por el signo de una coordenada. Primero debe construirse el vector fuente–punto.
  • Suponer que dos fuentes iguales siempre se cancelan. La cancelación requiere además una posición simétrica.
  • Buscar un punto nulo donde los campos apuntan en el mismo sentido. La oposición vectorial es una condición necesaria.
  • Incluir el campo propio de una carga puntual. Para el campo externo se suman las otras fuentes.
  • Evaluar en la posición de una fuente. La expresión puntual es singular allí.

6.22 Ideas para recordar

  • Cada carga puntual produce un vector de campo independiente en P.
  • El campo total es la suma vectorial de todas las contribuciones.
  • Las componentes se suman antes de calcular la magnitud resultante.
  • La simetría permite anticipar cancelaciones y direcciones.
  • Dos cargas iguales producen campo nulo en su punto medio.
  • En el centro de un dipolo, los campos se refuerzan desde la carga positiva hacia la negativa.
  • Un punto nulo requiere campos opuestos de igual magnitud.
  • A grandes distancias, un sistema con carga neta no nula se aproxima a una carga puntual equivalente.
  • El campo externo sobre una partícula excluye su propia contribución puntual.
  • El principio de superposición también conduce a integrales para distribuciones continuas.