7. Líneas de campo, flujo eléctrico y ley de Gauss

7.1 Tres herramientas relacionadas, pero diferentes

El campo eléctrico es un vector definido en cada punto. Cuando queremos comprender su estructura espacial, dibujamos líneas de campo. Cuando queremos medir su paso a través de una superficie, calculamos el flujo eléctrico. Cuando la superficie es cerrada, la ley de Gauss conecta el flujo neto con la carga encerrada.

Estas ideas están relacionadas, pero no son intercambiables. Las líneas son una representación gráfica; el flujo es una magnitud escalar con signo; y la ley de Gauss es una ley física exacta para cualquier superficie cerrada.

7.2 Qué representa una línea de campo

Una línea de campo eléctrico es una curva imaginaria cuya tangente en cada punto coincide con la dirección del vector E⃗. Una pequeña flecha sobre la línea indica el sentido del campo.

Si colocáramos una carga de prueba positiva en un punto y consideráramos únicamente la dirección instantánea de la fuerza, esa dirección sería tangente a la línea. Esto no implica que la línea sea necesariamente la trayectoria real de una partícula: su movimiento también depende de la velocidad inicial y de la inercia.

7.3 Reglas para dibujar líneas de campo

• salen de cargas positivas y terminan en cargas negativas o en el infinito;
• entran en cargas negativas y pueden provenir de cargas positivas o del infinito;
• la tangente a una línea indica la dirección de E⃗;
• no se cruzan, porque el campo no puede tener dos direcciones distintas en un mismo punto;
• su densidad gráfica se dibuja mayor donde el campo es más intenso;
• en electrostática no forman lazos cerrados.

El número total de líneas es una convención del dibujo. Si se decide que una cierta cantidad representa una carga dada, debe mantenerse la proporcionalidad en toda la figura.

7.4 Patrones básicos

Una carga puntual positiva aislada produce líneas radiales hacia afuera. Una carga negativa produce líneas radiales hacia adentro. Dos cargas iguales muestran un patrón simétrico con líneas que se separan de la región central. Un dipolo muestra líneas que parten de la carga positiva y llegan a la negativa.

En una región de campo aproximadamente uniforme, las líneas se representan rectas, paralelas y con separación constante. Cerca de bordes o de distribuciones curvas, el patrón deja de ser uniforme.

7.5 Qué no debemos interpretar de las líneas

Las líneas no son objetos materiales ni tubos por los que “circula” electricidad. Entre dos líneas dibujadas también existe campo. Tampoco puede determinarse un valor numérico absoluto contando líneas si no se ha definido una escala.

La representación es especialmente útil para comparar direcciones, reconocer simetrías y anticipar regiones de mayor o menor intensidad. El cálculo cuantitativo requiere las ecuaciones del campo.

7.6 Idea intuitiva de flujo eléctrico

Imaginemos una superficie colocada en una región con campo eléctrico. El flujo mide, de manera geométrica, cuánto del campo atraviesa esa superficie. Un campo intenso, una superficie grande o una orientación más frontal producen mayor flujo en valor absoluto.

La analogía con una corriente de aire que atraviesa un marco puede ayudar, pero debe usarse con cuidado: el campo eléctrico no es un fluido material. El flujo es una integral del campo sobre una superficie.

7.7 El vector área

A una superficie plana de área A se le asigna un vector A⃗ perpendicular a ella. Su magnitud es el área y su dirección es la normal. Una superficie abierta permite elegir cualquiera de las dos normales; esa elección fija qué flujo se considera positivo.

El ángulo θ de la fórmula de flujo se mide entre el campo E⃗ y la normal A⃗, no entre el campo y el plano de la superficie.

7.8 Flujo en un campo uniforme

Si el campo es uniforme y la superficie es plana:

La unidad SI del flujo eléctrico es:

7.9 El signo del flujo

El flujo es una magnitud escalar con signo. Es positivo cuando el campo atraviesa la superficie en el sentido de la normal elegida, negativo cuando lo hace en sentido contrario y cero cuando el campo es tangente.

Un flujo negativo no significa una magnitud imposible ni un campo “menos intenso”. Informa la orientación relativa entre el campo y el vector área.

7.10 Superficies curvas y campos variables

Si la superficie es curva o el campo cambia de un punto a otro, se divide la superficie en elementos pequeños dA. Cada elemento posee un vector normal local dA⃗:

El flujo total se obtiene mediante una integral de superficie:

El producto escalar selecciona en cada punto la componente del campo perpendicular a la superficie.

7.11 Superficies cerradas

Una superficie cerrada encierra un volumen: una esfera, un cubo o cualquier forma sin borde abierto. Para una superficie cerrada, la normal se define por convención hacia afuera y la integral se escribe con un círculo:

El flujo es positivo donde el campo sale del volumen y negativo donde entra. El resultado neto suma ambas contribuciones sobre toda la superficie.

7.12 Ley de Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la permitividad del vacío:

La permitividad del vacío vale aproximadamente:

La ley es válida para cualquier forma cerrada, aunque solo permite despejar el campo de manera sencilla cuando existe suficiente simetría.

7.13 Solo importa la carga encerrada para el flujo neto

Una carga dentro de la superficie contribuye a Q_enc. Una carga externa puede producir campo sobre todos los puntos de la superficie, pero su contribución al flujo neto es cero: tantas líneas entran como salen, en el sentido geométrico de la representación.

Esto no significa que una carga externa produzca campo cero en la superficie. Significa que su flujo total firmado a través de toda la superficie cerrada se cancela.

7.14 La superficie gaussiana es imaginaria

Una superficie gaussiana es una superficie cerrada elegida para aplicar la ley de Gauss. No tiene que coincidir con un objeto material. Puede atravesar espacio vacío y su tamaño o forma se seleccionan para aprovechar la simetría.

Cambiar la superficie sin cruzar cargas modifica el campo y el área locales, pero conserva el flujo neto. Si al deformarla una carga pasa de estar fuera a estar dentro, Q_enc cambia y también cambia el flujo.

7.15 Recuperar la ley de Coulomb con Gauss

Para una carga puntual Q elegimos una esfera de radio r centrada en ella. Por simetría, el campo es radial y tiene la misma magnitud en todos los puntos de la esfera. Además, E⃗ es paralelo a dA⃗:

La dirección radial y el signo de Q determinan el sentido. Así, la ley de Gauss reproduce el campo de Coulomb para una fuente puntual.

7.16 Cuándo la ley de Gauss permite calcular E

La ley siempre es verdadera, pero resulta especialmente útil para hallar el campo cuando la distribución tiene:

• simetría esférica, usando superficies gaussianas esféricas;
• simetría cilíndrica, usando cilindros coaxiales;
• simetría plana, usando una superficie tipo pastilla.

La simetría debe permitir afirmar que E es constante sobre una parte de la superficie y que el campo es paralelo o perpendicular a las normales relevantes. Sin esas propiedades, la integral puede ser correcta pero no permite extraer E como un factor conocido.

7.17 Un flujo conocido no determina siempre el campo

Saber que el flujo neto es Q_enc/ε₀ proporciona un único número. En una superficie arbitraria, el campo puede variar en magnitud y dirección sobre infinitos puntos. No hay información suficiente para reconstruir todos esos valores locales.

Por ejemplo, desplazar una carga dentro de una esfera sin sacarla conserva el flujo total, pero destruye la uniformidad del campo sobre la superficie. Ya no puede escribirse simplemente Φ = E·4πr².

7.18 Calcular flujo con JavaScript

Una superficie puede aproximarse mediante pequeños elementos con vector área. El flujo numérico es la suma de productos escalares:

function flujoNumerico(elementos) {
  return elementos.reduce((flujo, elemento) => {
    const productoEscalar =
      elemento.E.x * elemento.dA.x +
      elemento.E.y * elemento.dA.y +
      elemento.E.z * elemento.dA.z;
    return flujo + productoEscalar;
  }, 0);
}

const superficiePlana = [
  { E: { x: 500, y: 0, z: 0 }, dA: { x: 0.20, y: 0, z: 0 } },
  { E: { x: 500, y: 0, z: 0 }, dA: { x: 0.20, y: 0, z: 0 } },
  { E: { x: 500, y: 0, z: 0 }, dA: { x: 0.20, y: 0, z: 0 } }
];

console.log("Flujo:", flujoNumerico(superficiePlana), "N·m²/C");

Para una superficie cerrada, todos los vectores dA⃗ deben apuntar hacia afuera. Al refinar la partición, la suma aproxima mejor la integral.

7.19 Laboratorio interactivo: flujo y ley de Gauss

Elegí el modo. En “Superficie plana” podés modificar el campo, el área y el ángulo entre E⃗ y la normal. En “Esfera gaussiana” podés cambiar la carga encerrada y el radio, comparando el campo superficial con el flujo total.

En el modo plano, las flechas celestes representan E⃗ y la amarilla representa la normal. En el modo esférico, la circunferencia punteada representa una sección de la superficie gaussiana y las flechas muestran el campo radial.

7.20 Qué permite comprobar el laboratorio

En el modo plano, el producto EA fija el flujo máximo en valor absoluto y cos θ incorpora la orientación. Girar la superficie hasta que su normal sea perpendicular al campo produce flujo cero.

En el modo esférico, el flujo total es Q/ε₀ y no depende del radio. Al aumentar el radio, el área 4πr² crece y el campo E = k|Q|/r² disminuye exactamente en la proporción necesaria para conservar E·4πr².

El signo de la carga determina el signo del flujo: una carga positiva produce campo saliente y flujo positivo; una negativa, campo entrante y flujo negativo.

7.21 Ejemplo resuelto: carga en el centro de un cubo

Una carga q = +3,0 nC se encuentra exactamente en el centro de un cubo. ¿Cuál es el flujo total y cuánto atraviesa cada cara?

La ley de Gauss da el flujo total sin necesidad de conocer el lado del cubo:

Como la carga está en el centro y las seis caras son equivalentes por simetría:

Si la carga se desplazara dentro del cubo, el flujo total seguiría siendo el mismo, pero ya no se repartiría por igual entre las caras.

7.22 Ejercicio propuesto

Una superficie cerrada encierra dos cargas: q₁ = +8,0 nC y q₂ = −3,0 nC. Fuera de ella hay una tercera carga q₃ = +20 nC.

1. ¿Cuál es la carga neta encerrada?
2. ¿Cuál es el flujo eléctrico neto a través de la superficie?
3. ¿La carga externa q₃ produce campo sobre la superficie?
4. ¿Aporta q₃ al flujo neto?
5. ¿Puede conocerse E en cada punto solo con estos datos?

7.23 Errores frecuentes

• Medir θ respecto del plano. En Φ = EA cos θ, el ángulo es respecto de la normal.
• Confundir flujo con campo. El flujo depende también del área y de la orientación.
• Usar Φ = EA cos θ cuando E no es uniforme. En general debe integrarse.
• Elegir normales hacia adentro en una superficie cerrada. La convención de Gauss es hacia afuera.
• Sumar cargas externas en Q_enc. Solo se incluyen las que están dentro.
• Concluir que una carga externa no produce campo. Produce campo, pero flujo neto nulo.
• Despejar E sin simetría suficiente. La ley da flujo, no automáticamente un campo uniforme.
• Tratar una superficie gaussiana como un objeto material. Es una construcción matemática elegida para el análisis.

7.24 Ideas para recordar

• Las líneas de campo son curvas tangentes a E⃗ y no objetos materiales.
• Salen de cargas positivas, llegan a negativas y nunca se cruzan.
• El flujo mide la componente normal del campo integrada sobre una superficie.
• Para una superficie plana en campo uniforme, Φ = EA cos θ.
• El vector área es perpendicular a la superficie.
• En una superficie cerrada, las normales apuntan hacia afuera.
• La ley de Gauss establece ∮E⃗·dA⃗ = Q_enc/ε₀.
• Las cargas externas pueden producir campo, pero no flujo neto a través de la superficie cerrada.
• El flujo gaussiano depende de la carga encerrada, no de la forma de la superficie.
• La ley de Gauss permite calcular E directamente solo cuando existe simetría suficiente.
• Aumentar el radio de una esfera gaussiana reduce E pero no cambia el flujo total.