9. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos uniformes

9.1 Del campo a la dinámica

El campo eléctrico describe la fuerza por unidad de carga. Cuando una partícula de carga q y masa m se coloca en un campo E⃗, experimenta una fuerza eléctrica F⃗ = qE⃗. La segunda ley de Newton conecta esa fuerza con el movimiento.

Si el campo es uniforme y no actúan otras fuerzas, la fuerza eléctrica es constante. Por lo tanto, la aceleración también es constante y podemos utilizar las ecuaciones de cinemática.

9.2 Qué significa campo uniforme

Un campo uniforme posee la misma magnitud, dirección y sentido en todos los puntos de la región analizada. Se representa mediante flechas paralelas de igual longitud.

El campo entre dos placas paralelas grandes con cargas opuestas puede aproximarse como uniforme lejos de los bordes. Cerca de los extremos aparecen efectos de borde y la aproximación pierde precisión.

La uniformidad espacial permite que la partícula reciba la misma fuerza eléctrica mientras permanezca en la región, aunque su velocidad cambie.

9.3 Fuerza y aceleración

Combinamos la fuerza eléctrica con la segunda ley de Newton:

La magnitud de la aceleración es a = |q|E/m. A igual campo, una carga de mayor módulo acelera más; a igual carga, una masa mayor acelera menos.

9.4 El signo de la carga determina el sentido

• si q > 0, fuerza y aceleración apuntan en el mismo sentido que E⃗;
• si q < 0, apuntan en sentido opuesto a E⃗;
• si q = 0, no existe fuerza eléctrica y el movimiento continúa con velocidad constante.

La masa se toma positiva. El signo de la aceleración en una coordenada surge del producto entre el signo de q y la componente correspondiente del campo.

9.5 Movimiento rectilíneo desde el reposo

Si una partícula parte del reposo y el campo está dirigido sobre el eje x, el movimiento es rectilíneo:

Una carga positiva se desplaza en el sentido del campo y una negativa en el contrario. La rapidez crece linealmente con el tiempo mientras se mantenga el modelo no relativista.

9.6 Movimiento con velocidad inicial paralela

Si la velocidad inicial es paralela a la aceleración:

Cuando v₀ y a tienen el mismo sentido, la partícula aumenta su rapidez. Si tienen sentidos opuestos, se frena, puede detenerse en t = −v₀/a y luego invertir el movimiento.

9.7 Descomposición en dos dimensiones

Supongamos un campo uniforme vertical E⃗ = E_yĵ. No existe fuerza eléctrica horizontal:

Las ecuaciones de movimiento son:

9.8 Analogía con el movimiento de proyectiles

El movimiento en un campo eléctrico uniforme se parece al de un proyectil en un campo gravitatorio uniforme: una componente de la velocidad permanece constante y la otra cambia por una aceleración constante.

La diferencia es que la aceleración gravitatoria cerca de la Tierra apunta hacia abajo para cualquier masa, mientras que la aceleración eléctrica puede apuntar en cualquiera de los dos sentidos según el signo de q y puede variar enormemente con la relación |q|/m.

9.9 La trayectoria parabólica

Si v_0x ≠ 0, podemos eliminar el tiempo mediante t = (x − x₀)/v_0x:

Esta ecuación es una parábola. El signo de qE_y determina hacia qué lado se curva. Si v_0x = 0, no se debe usar esta forma: el movimiento es vertical.

9.10 Partícula que entra entre placas

Una partícula puede entrar horizontalmente entre placas paralelas con velocidad v₀. Si las placas tienen longitud L, el tiempo ideal dentro de la región es:

La desviación vertical al salir es:

Una partícula más lenta permanece más tiempo en el campo y se desvía más. Una mayor relación |q|/m también aumenta la desviación.

9.11 Tiempo de vuelo y límites geométricos

Las ecuaciones cinemáticas son válidas mientras la partícula permanezca dentro de la región uniforme. Si choca con una placa antes de alcanzar el extremo, el tiempo de vuelo debe calcularse resolviendo y(t) para la posición de la placa.

También debe comprobarse que la trayectoria no atraviese una zona donde el campo cambie significativamente por efectos de borde.

9.12 Comparación entre electrón y protón

Electrón y protón poseen cargas de igual módulo e y signos opuestos, pero el protón tiene una masa aproximadamente 1836 veces mayor. En el mismo campo:

• sus aceleraciones tienen sentidos opuestos;
• la magnitud de la aceleración del electrón es unas 1836 veces mayor;
• la fuerza tiene el mismo módulo |F| = eE para ambos.

Esto muestra que una misma fuerza puede producir aceleraciones muy distintas según la masa.

9.13 Trabajo y cambio de rapidez

Si la fuerza eléctrica tiene una componente en el sentido del desplazamiento, realiza trabajo y cambia la energía cinética. En un campo uniforme:

Si la fuerza acelera en el sentido del movimiento, aumenta la rapidez. Si se opone, la rapidez disminuye. El tratamiento sistemático de trabajo, energía potencial y potencial eléctrico se desarrollará en los temas siguientes.

9.14 Condiciones del modelo

Las ecuaciones utilizadas suponen:

• campo uniforme y constante en el tiempo;
• carga y masa constantes;
• ausencia de otras fuerzas relevantes, como gravedad, rozamiento o fuerzas magnéticas;
• velocidades suficientemente pequeñas frente a la velocidad de la luz;
• partícula tratada como puntual.

Si alguna condición falla, el modelo debe ampliarse.

9.15 Límite no relativista

La fórmula a = qE/m combinada con la cinemática clásica puede predecir velocidades arbitrariamente grandes si se aplica durante demasiado tiempo. Esto no es físicamente correcto. Cuando la rapidez se aproxima de manera apreciable a c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s, debe utilizarse dinámica relativista.

Como criterio práctico inicial, si v es menor que aproximadamente 0,1c, las correcciones relativistas suelen ser pequeñas; la precisión requerida puede exigir un límite más estricto.

9.16 Unidades y órdenes de magnitud

9.17 Modelar el movimiento con JavaScript

Para un campo vertical constante, la solución analítica evita errores de integración acumulados:

function estadoEnCampoUniforme({ q, m, Ey, v0, angulo, tiempo }) {
  if (m <= 0) throw new Error("La masa debe ser positiva");

  const radianes = angulo * Math.PI / 180;
  const vx0 = v0 * Math.cos(radianes);
  const vy0 = v0 * Math.sin(radianes);
  const ay = q * Ey / m;

  return {
    aceleracion: { x: 0, y: ay },
    posicion: {
      x: vx0 * tiempo,
      y: vy0 * tiempo + 0.5 * ay * tiempo ** 2
    },
    velocidad: {
      x: vx0,
      y: vy0 + ay * tiempo
    }
  };
}

console.log(estadoEnCampoUniforme({
  q: 2e-9,
  m: 1e-6,
  Ey: 500,
  v0: 4,
  angulo: 30,
  tiempo: 2
}));

9.18 Laboratorio interactivo: trayectoria en un campo uniforme

El modelo usa una partícula macroscópica ideal para mantener visibles las escalas. El campo es vertical y positivo cuando apunta hacia arriba. Modificá carga, masa, velocidad inicial, ángulo y tiempo.

• Campo eléctrico
• Trayectoria
• Velocidad actual
• Aceleración

• Invertí q sin cambiar E y observá la curvatura opuesta.
• Duplicá la masa: la aceleración se reduce a la mitad.
• Hacé q = 0 o E = 0 para recuperar movimiento rectilíneo uniforme.
• Partí del reposo y comprobá que el movimiento ocurre solo en la dirección del campo.

9.19 Cómo se construye la trayectoria

El laboratorio convierte nanocoulombs a coulombs y miligramos a kilogramos. Después calcula F_y = qE_y, a_y = F_y/m y las componentes iniciales de velocidad.

La curva se genera evaluando la solución analítica en varios instantes entre 0 y el tiempo elegido. La escala gráfica se adapta a todos los puntos para que la trayectoria permanezca visible. Por eso una distancia dibujada no debe medirse directamente en píxeles; los resultados numéricos son la referencia física.

9.20 Ejemplo resuelto: electrón desde el reposo

Un electrón parte del reposo en un campo uniforme E = 2,00 × 10⁴ N/C dirigido hacia +x. Calculemos su movimiento durante 2,00 ns.

Con q = −1,602 × 10⁻¹⁹ C y m = 9,109 × 10⁻³¹ kg:

El electrón se mueve en sentido opuesto al campo. La rapidez final es aproximadamente 0,023c, por lo que el tratamiento clásico constituye una aproximación razonable para este ejemplo.

9.21 Ejemplo resuelto: desviación entre placas

Una partícula con q = +2,0 nC y m = 1,0 mg entra horizontalmente a 4,0 m/s en una región de longitud L = 2,0 m con E = +500 N/C vertical.

La partícula sale con v_x = 4,0 m/s sin cambios y v_y = 0,50 m/s hacia arriba.

9.22 Ejercicio propuesto

Un protón entra horizontalmente a 3,0 × 10⁵ m/s en una región de campo uniforme E = 1,5 × 10⁴ N/C dirigido hacia arriba. La región tiene 0,080 m de longitud. Usá q_p = +1,602 × 10⁻¹⁹ C y m_p = 1,673 × 10⁻²⁷ kg.

1. ¿Cuál es la aceleración vertical?
2. ¿Cuánto tiempo permanece en la región?
3. ¿Cuál es su desviación vertical?
4. ¿Con qué componente vertical de velocidad sale?
5. ¿Cómo cambiarían los sentidos para un electrón con la misma velocidad inicial?

9.23 Errores frecuentes

• Usar a = E/m. Falta la carga: a⃗ = qE⃗/m.
• Ignorar el signo de q. Una carga negativa acelera en sentido opuesto al campo.
• Modificar v_x cuando el campo es solo vertical. Sin fuerza horizontal, v_x permanece constante.
• Usar la longitud de las placas como tiempo. Debe calcularse t = L/v_x cuando v_x es constante.
• Aplicar las ecuaciones después de salir del campo. Fuera de la región cambia la aceleración.
• Confundir trayectoria con línea de campo. La velocidad inicial puede hacer que no coincidan.
• Olvidar convertir nC, mg o ns. Los cálculos SI requieren C, kg y s.
• Permitir velocidades relativistas con cinemática clásica. Debe verificarse v/c.

9.24 Ideas para recordar

• En un campo uniforme, F⃗ = qE⃗ es constante.
• La aceleración es a⃗ = qE⃗/m.
• Cargas positivas aceleran con el campo y negativas en sentido opuesto.
• Una componente sin fuerza conserva velocidad constante.
• La componente paralela al campo tiene movimiento uniformemente acelerado.
• Una entrada transversal al campo produce una trayectoria parabólica.
• La desviación aumenta con |q|, E y tiempo, y disminuye con m.
• El campo y la trayectoria no son la misma representación.
• Las ecuaciones valen solo dentro de la región aproximadamente uniforme.
• Debe comprobarse que la rapidez permanezca en el régimen no relativista.