10. Modelos discretos y continuos: partículas, densidad y elementos de volumen

10.1 Dos formas de describir la materia

En los temas anteriores representamos un sistema mediante partículas con masa, posición y velocidad. También estudiamos cuerpos continuos mediante densidades e integrales. Ambas descripciones pueden referirse al mismo objeto físico, pero conservan información diferente.

El modelo discreto distingue elementos individuales. El modelo continuo asigna propiedades a cada región del espacio y omite el detalle microscópico.

10.2 Modelo discreto

Un modelo discreto representa el sistema mediante una colección finita o numerable de elementos. Cada partícula puede almacenar:

• identificador y masa;
• posición y velocidad;
• fuerzas o interacciones;
• propiedades adicionales del problema.

Este enfoque es natural cuando los elementos son distinguibles, como granos grandes, cuerpos conectados o fragmentos. También puede utilizarse como aproximación numérica de un medio continuo.

10.3 Modelo continuo

El modelo continuo supone que podemos asignar propiedades bien definidas a regiones tan pequeñas como requiera el cálculo, sin seguir moléculas individuales.

La densidad ρ(x,y,z,t), la velocidad v(x,y,z,t) y la presión p(x,y,z,t) son ejemplos de propiedades distribuidas. Pueden cambiar con la posición y el tiempo.

La continuidad es una idealización macroscópica. La materia real está formada por partículas, pero sus fluctuaciones microscópicas se promedian cuando la escala observada contiene una cantidad enorme de ellas.

10.4 Campos escalares y vectoriales

Un campo asigna un valor a cada posición y tiempo:

• un campo escalar asigna un número, como densidad o presión;
• un campo vectorial asigna un vector, como velocidad o fuerza por unidad de volumen.

Escribir ρ(x,t) significa que la densidad puede variar entre lugares y evolucionar. Un solo número ρ es suficiente únicamente cuando suponemos uniformidad.

10.5 Densidad como promedio local

La densidad volumétrica media en una pequeña región es:

Para definir una densidad local elegimos un volumen pequeño respecto de la escala macroscópica, pero suficientemente grande para contener muchas partículas microscópicas.

Si el volumen fuera comparable con el tamaño o la separación molecular, el número de partículas fluctuaría demasiado y el campo dejaría de ser suave.

10.6 Elemento de volumen y masa

En una descripción continua, una pequeña región de volumen dV posee masa:

La masa total de una región Ω se obtiene sumando todos los elementos:

Si ρ es constante, recuperamos M = ρV. Si varía, cada zona debe contribuir con su propia densidad.

10.7 Volumen representativo y separación de escalas

Un elemento continuo debe cumplir dos condiciones aparentemente opuestas:

• ser pequeño frente al tamaño y a las variaciones macroscópicas del sistema;
• ser grande frente a la escala microscópica para que los promedios sean estables.

Cuando existe un intervalo de tamaños que satisface ambas condiciones, hablamos de un volumen representativo. Si no existe, el modelo continuo puede resultar insuficiente.

10.8 Discretizar un continuo

Una computadora no puede almacenar infinitos valores. Para calcular, divide el dominio en una cantidad finita de celdas, elementos o puntos de muestra.

En una malla rectangular tridimensional:

La integral se aproxima mediante una suma: M ≈ Σρ_iΔV_i.

10.9 Partículas representativas

También podemos reemplazar cada celda por una partícula numérica situada en un punto representativo, por ejemplo el centro de la celda. Su masa es la masa aproximada de esa porción.

Este reemplazo permite reutilizar sumas discretas para aproximar masa, centro de masa, cantidad de movimiento y otras integrales.

10.10 Resolución espacial

La resolución indica el tamaño de las celdas o la separación entre puntos. Una malla más fina representa variaciones más pequeñas, pero requiere más memoria y operaciones.

10.11 Convergencia

Un cálculo numérico converge cuando el resultado se aproxima a un valor estable al refinar la discretización.

Una prueba práctica consiste en repetir el cálculo duplicando la cantidad de celdas y comparar:

Un cambio pequeño aumenta la confianza, pero no garantiza por sí solo que el modelo físico sea correcto. Podemos resolver con gran precisión una idealización inadecuada.

10.12 Conservar magnitudes al discretizar

Una discretización debe preservar, dentro del error esperado, las magnitudes importantes del continuo. Si cada celda recibe masa m_i = ρ_iΔV_i, la suma debe aproximar la masa total.

Al cambiar la resolución no deberíamos cambiar arbitrariamente la masa física. Más celdas significa porciones individuales más pequeñas, no más materia.

Las mismas comprobaciones se aplican a cantidad de movimiento y energía cuando cada celda posee velocidad u otras variables.

10.13 Descripción material y descripción espacial

Existen dos perspectivas complementarias:

• la descripción material o lagrangiana sigue elementos identificados mientras se mueven;
• la descripción espacial o euleriana observa propiedades en posiciones o regiones fijas.

Seguir partículas numéricas es una estrategia lagrangiana. Guardar densidad y velocidad en las celdas fijas de una malla es una estrategia euleriana.

Ambas pueden describir fluidos. La elección depende del fenómeno y del algoritmo.

10.14 Dimensionalidad del modelo

Un sistema tridimensional puede simplificarse:

• una tubería larga puede aproximarse mediante variables que cambian solo a lo largo de su eje;
• una lámina delgada puede modelarse en dos dimensiones;
• un tanque requiere tres dimensiones si las variaciones en todas las direcciones son relevantes.

Reducir dimensiones disminuye el costo, pero exige justificar que las variaciones omitidas no afectan la pregunta.

10.15 Elegir entre discreto y continuo

También existen modelos híbridos que combinan regiones continuas con partículas discretas.

10.16 Estructuras de datos para una malla

Una malla bidimensional puede representarse mediante un arreglo plano. Cada celda conserva índices, posición central, volumen, densidad y masa.

function crearMalla({
  anchoM,
  altoM,
  profundidadM,
  columnas,
  filas,
  densidadKgM3
}) {
  const dx = anchoM / columnas;
  const dy = altoM / filas;
  const volumenCeldaM3 = dx * dy * profundidadM;
  const celdas = [];

  for (let fila = 0; fila < filas; fila += 1) {
    for (let columna = 0; columna < columnas; columna += 1) {
      const x = (columna + 0.5) * dx;
      const y = (fila + 0.5) * dy;
      const densidad = densidadKgM3(x, y);

      celdas.push({
        columna,
        fila,
        centroM: { x, y },
        volumenM3: volumenCeldaM3,
        densidadKgM3: densidad,
        masaKg: densidad * volumenCeldaM3
      });
    }
  }

  return celdas;
}

const malla = crearMalla({
  anchoM: 4,
  altoM: 2,
  profundidadM: 1,
  columnas: 4,
  filas: 2,
  densidadKgM3: x => 500 + 125 * x
});

console.log({
  cantidadDeCeldas: malla.length,
  primeraCelda: malla[0]
});

El índice plano facilita recorridos y cálculos globales; los índices de fila y columna conservan la vecindad geométrica.

10.17 Integrar propiedades con la malla

Una vez construidas las celdas, las integrales se aproximan con operaciones sobre el arreglo:

function masaYCentro(celdas) {
  const suma = celdas.reduce(
    (acumulado, celda) => ({
      masa: acumulado.masa + celda.masaKg,
      momentoX:
        acumulado.momentoX +
        celda.masaKg * celda.centroM.x,
      momentoY:
        acumulado.momentoY +
        celda.masaKg * celda.centroM.y
    }),
    { masa: 0, momentoX: 0, momentoY: 0 }
  );

  return {
    masaKg: suma.masa,
    centroM: {
      x: suma.momentoX / suma.masa,
      y: suma.momentoY / suma.masa
    }
  };
}

const celdas = [
  { masaKg: 500, centroM: { x: 0.5, y: 0.5 } },
  { masaKg: 750, centroM: { x: 1.5, y: 0.5 } },
  { masaKg: 500, centroM: { x: 0.5, y: 1.5 } },
  { masaKg: 750, centroM: { x: 1.5, y: 1.5 } }
];

console.log(masaYCentro(celdas));
// { masaKg: 2500, centroM: { x: 1.1, y: 1 } }

La fórmula es la misma que para partículas discretas. La diferencia está en cómo se asignaron las masas a partir del campo de densidad.

10.18 Laboratorio interactivo: un continuo convertido en celdas

El cuerpo es un prisma de profundidad 1 m. La densidad cambia linealmente entre los extremos izquierdo y derecho. Elegí cómo visualizar la misma distribución.

El color representa densidad. En el modo de partículas, cada círculo resume la masa de una celda y no representa una molécula individual. La línea amarilla marca el centro de masa exacto y la blanca, la aproximación.

• Cambiá el modo: comprobá que campo, celdas y partículas describen la misma distribución.
• Refiná las columnas: el error de x_CM disminuye.
• Aumentá las filas: crece el costo, pero en este campo que solo varía con x no mejora x_CM.
• Igualá las densidades: el centro de masa coincide con el centro geométrico.

10.19 Ejercicio propuesto

Un prisma rectangular mide 4 m × 2 m × 1 m. Su densidad varía linealmente desde 500 kg/m³ en el extremo izquierdo hasta 1000 kg/m³ en el derecho. Se discretiza en 4 columnas y 2 filas.

1. Calculá el volumen total y la masa exacta.
2. Calculá Δx, Δy y el volumen de cada celda.
3. ¿Cuántas partículas representativas se generan?
4. Calculá la posición exacta x_CM.
5. Explicá qué cambia y qué permanece igual si usamos 8 columnas y 4 filas.

const longitud = 4;
const alto = 2;
const profundidad = 1;
const densidadIzquierda = 500;
const densidadDerecha = 1000;
const columnas = 4;
const filas = 2;

const volumen = longitud * alto * profundidad;
const masa =
  volumen *
  (densidadIzquierda + densidadDerecha) / 2;
const volumenCelda =
  (longitud / columnas) *
  (alto / filas) *
  profundidad;
const cantidadCeldas = columnas * filas;
const centroExacto =
  longitud *
  (densidadIzquierda + 2 * densidadDerecha) /
  (3 * (densidadIzquierda + densidadDerecha));

console.log({
  volumen,
  masa,
  volumenCelda,
  cantidadCeldas,
  centroExacto
});

10.20 Ideas para recordar

• El modelo discreto distingue elementos; el continuo describe campos distribuidos.
• La densidad local es un promedio sobre un volumen pequeño pero todavía macroscópico.
• Un elemento de masa satisface dm = ρdV.
• Una discretización reemplaza integrales por sumas sobre celdas o partículas representativas.
• Las partículas numéricas no tienen que coincidir con moléculas reales.
• Refinar la malla suele reducir el error, pero aumenta el costo computacional.
• La convergencia se estudia comparando resultados a diferentes resoluciones.
• La masa total no debe cambiar arbitrariamente al modificar la cantidad de celdas.
• Las descripciones lagrangiana y euleriana siguen elementos o posiciones, respectivamente.
• La escala, la pregunta y la precisión determinan qué representación conviene.