12. Densidad, volumen específico y compresibilidad

12.1 Cuánta masa ocupa una región

Dos objetos del mismo tamaño pueden tener masas muy diferentes. La densidad permite comparar cuánta masa está contenida en cierto volumen.

Para una muestra uniforme:

ρ es la densidad, m la masa y V el volumen. No describe solamente cuánto pesa un objeto: caracteriza la distribución de masa por unidad de volumen.

12.2 Densidad media y densidad local

La densidad media de un cuerpo o región es:

Si la masa no está distribuida uniformemente, ese único valor oculta variaciones. La densidad local se define mediante regiones pequeñas:

En el modelo continuo, ρ(x,y,z,t) puede depender de la posición y el tiempo.

12.3 Unidades y conversiones

La unidad SI de densidad es kg/m³. También se usan g/cm³ y kg/L.

El factor 1000 aparece porque 1 m³ contiene un millón de cm³, mientras 1 kg contiene mil gramos.

12.4 Relacionar masa y volumen

De ρ = m/V obtenemos:

Estas expresiones directas requieren densidad uniforme. Si ρ varía, la masa se obtiene mediante:

12.5 Densidad de una mezcla o cuerpo compuesto

La densidad media de un sistema con varias partes es la masa total dividida por el volumen total:

No suele ser correcto promediar aritméticamente las densidades sin considerar los volúmenes. Las regiones más grandes aportan más al promedio.

12.6 Volumen específico

El volumen específico, representado habitualmente por una v minúscula, es el volumen por unidad de masa:

Su unidad SI es m³/kg. Una densidad alta corresponde a un volumen específico pequeño.

No debe confundirse v, volumen específico escalar, con el vector velocidad, que también suele escribirse con la letra v en otros contextos.

12.7 Densidad relativa

La densidad relativa compara una sustancia con una referencia:

Es adimensional. Para líquidos y sólidos suele utilizarse agua bajo condiciones especificadas como referencia. Un valor 0,80 indica una densidad igual al 80 % de la referencia.

La referencia y sus condiciones deben declararse; la densidad puede depender de temperatura y presión.

12.8 Comprimir una sustancia

Comprimir significa reducir el volumen mediante un aumento de presión. Si el sistema es cerrado y la masa permanece constante, la densidad aumenta:

La masa no aparece ni desaparece; ocupa un volumen menor.

12.9 Módulo volumétrico

El módulo volumétrico B mide la resistencia a la compresión:

El signo negativo hace que B sea positivo: al aumentar la presión, el volumen disminuye. Su unidad es el pascal.

Un B grande corresponde a una sustancia poco compresible; un B pequeño, a una sustancia que cambia más de volumen ante la misma presión.

12.10 Coeficiente de compresibilidad

La compresibilidad β se define como:

Su unidad es Pa⁻¹. Un valor grande de β indica mayor cambio fraccional de volumen por unidad de presión.

12.11 Aproximación para cambios pequeños

Si B puede considerarse constante y el cambio de presión es pequeño:

Estas relaciones son lineales y aproximadas. Pierden precisión cuando |Δp/B| deja de ser pequeño.

12.12 Modelo de módulo constante

Si idealizamos B como constante durante todo el proceso, podemos integrar la definición:

Para cambios pequeños, la función exponencial reproduce la aproximación lineal. En materiales reales, B también puede variar con presión y temperatura.

12.13 Líquidos y gases

Un gas no suele describirse bien con B constante durante compresiones grandes; necesita una relación de estado apropiada.

12.14 Dependencia con presión y temperatura

La densidad no es necesariamente una constante universal de la sustancia. Puede escribirse como ρ(p,T) para señalar su dependencia con presión y temperatura.

En líquidos, la variación con temperatura puede ser más importante que la producida por presiones moderadas. En gases, ambas dependencias suelen ser relevantes.

Al utilizar un valor tabulado debemos comprobar las condiciones para las que fue medido.

12.15 Aproximación incompresible

Modelar un fluido como incompresible significa despreciar los cambios de densidad material durante el proceso:

No significa que la presión sea constante. Un líquido incompresible puede presentar grandes diferencias de presión sin que su densidad cambie de forma apreciable.

La aproximación es adecuada cuando Δρ/ρ es mucho menor que la precisión requerida.

12.16 Masa constante durante la compresión

Para una muestra cerrada:

Al diferenciar pequeños cambios:

El aumento fraccional de densidad coincide, en primera aproximación, con la disminución fraccional de volumen.

12.17 Medición de densidad

La estrategia más directa consiste en medir masa y volumen. La incertidumbre depende de ambos instrumentos:

• una balanza mide la masa;
• el volumen puede obtenerse por geometría, desplazamiento de líquido o instrumentos volumétricos;
• temperatura y presión deben registrarse si afectan la densidad;
• burbujas, poros y mezclas pueden alterar el volumen efectivo.

12.18 Comprobaciones y errores frecuentes

• Confundir masa y densidad: la densidad es una razón, no la cantidad total de materia.
• Mezclar unidades: convertir volumen es esencial porque las unidades están elevadas al cubo.
• Promediar densidades sin ponderar: deben considerarse masas o volúmenes.
• Olvidar el signo: una presión creciente produce un volumen decreciente.
• Usar la aproximación lineal fuera de rango: verificar |Δp/B|.
• Suponer incompresibilidad exacta: es una idealización con tolerancia.

12.19 Calcular una compresión con JavaScript

El siguiente código conserva la masa y compara el modelo exponencial de B constante con la aproximación lineal.

function comprimir({
  densidadInicialKgM3,
  volumenInicialM3,
  moduloPa,
  aumentoPresionPa
}) {
  const razon = aumentoPresionPa / moduloPa;
  const masaKg =
    densidadInicialKgM3 * volumenInicialM3;

  const volumenM3 =
    volumenInicialM3 * Math.exp(-razon);
  const densidadKgM3 = masaKg / volumenM3;

  const volumenLinealM3 =
    volumenInicialM3 * (1 - razon);

  return {
    masaKg,
    volumenM3,
    densidadKgM3,
    volumenEspecificoM3Kg: 1 / densidadKgM3,
    volumenLinealM3,
    errorLinealM3:
      Math.abs(volumenLinealM3 - volumenM3)
  };
}

const resultado = comprimir({
  densidadInicialKgM3: 1000,
  volumenInicialM3: 1,
  moduloPa: 2.2e9,
  aumentoPresionPa: 50e6
});

console.log(resultado);

Los nombres conservan las unidades. En una aplicación real también deberíamos validar que B, ρ₀ y V₀ sean positivos.

12.20 Laboratorio interactivo: compresión con masa constante

Un pistón comprime una muestra cerrada. El modelo supone un módulo volumétrico constante durante el proceso.

El pistón naranja desciende al disminuir el volumen. La cantidad de puntos se mantiene constante para recordar que la muestra no pierde masa; su separación visual disminuye.

• Aumentá B: el material se vuelve menos compresible.
• Aumentá Δp: disminuye el volumen y aumenta la densidad.
• Usá un cambio pequeño: la aproximación lineal se acerca al modelo exponencial.
• Cambiá V₀: cambia la masa inicial si ρ₀ permanece fija.

12.21 Ejercicio propuesto

Una muestra cerrada de aceite tiene volumen inicial 0,80 m³, densidad inicial 850 kg/m³ y módulo volumétrico B = 1,5 GPa. Se aplica un aumento de presión de 30 MPa.

1. Calculá la masa de la muestra.
2. Calculá Δp/B.
3. Usá la aproximación lineal para estimar el cambio de volumen.
4. Calculá el volumen y la densidad finales aproximados.
5. Calculá el volumen específico final.

const volumenInicialM3 = 0.8;
const densidadInicialKgM3 = 850;
const moduloPa = 1.5e9;
const aumentoPresionPa = 30e6;

const masaKg =
  densidadInicialKgM3 * volumenInicialM3;
const razon = aumentoPresionPa / moduloPa;
const volumenFinalM3 =
  volumenInicialM3 * (1 - razon);
const densidadFinalKgM3 =
  masaKg / volumenFinalM3;
const volumenEspecificoM3Kg =
  1 / densidadFinalKgM3;

console.log({
  masaKg,
  razon,
  volumenFinalM3,
  densidadFinalKgM3,
  volumenEspecificoM3Kg
});

12.22 Ideas para recordar

• La densidad media es M/V y la densidad local es dm/dV.
• La unidad SI de densidad es kg/m³.
• Para densidad variable, la masa se calcula con M = ∫ρdV.
• El volumen específico es v = 1/ρ y se expresa en m³/kg.
• El módulo volumétrico B mide resistencia a la compresión.
• La compresibilidad β es el inverso de B.
• Para cambios pequeños, ΔV/V ≈ −Δp/B y Δρ/ρ ≈ Δp/B.
• En una muestra cerrada, ρV permanece constante.
• La aproximación incompresible puede admitir variaciones de presión sin cambios apreciables de densidad.
• Los valores de densidad y compresibilidad dependen de las condiciones del material.