15. Variación de la presión con la profundidad

15.1 Equilibrio dentro de un fluido

Un fluido en reposo no tiene aceleración. Sin embargo, cada porción está sometida a su peso y a fuerzas de presión ejercidas por el fluido vecino.

Para que exista equilibrio, la presión de las capas inferiores debe ser mayor que la de las superiores. Esa diferencia genera una fuerza ascendente capaz de equilibrar el peso.

15.2 Un elemento cilíndrico imaginario

Consideremos un pequeño cilindro vertical de fluido, de área transversal A y altura Δz. Tomamos el eje z positivo hacia arriba.

• la cara inferior recibe una fuerza ascendente p(z)A;
• la cara superior recibe una fuerza descendente p(z + Δz)A;
• el peso ρAΔz g apunta hacia abajo.

Al imponer que la suma de fuerzas verticales sea cero obtenemos la ecuación hidrostática.

15.3 Ecuación fundamental de la hidrostática

El equilibrio del elemento conduce, en el límite Δz → 0, a:

El signo negativo indica que la presión disminuye cuando z aumenta. Dicho de otra manera: la presión aumenta al descender.

15.4 Integración para densidad constante

Si la densidad ρ y la aceleración gravitatoria g son constantes entre dos puntos:

Esta forma con coordenadas evita memorizar signos: basta definir claramente el eje vertical y las posiciones de los puntos.

15.5 La fórmula usando profundidad

Si h es la profundidad positiva medida hacia abajo desde una superficie de referencia donde la presión vale p₀:

El incremento hidrostático es:

Como h es positiva hacia abajo, no aparece un signo negativo.

15.6 Presión absoluta o manométrica

La ecuación funciona con cualquier referencia coherente. En un depósito abierto, p_0,abs = p_atm. Entonces:

No debemos sumar la atmósfera si el resultado solicitado es manométrico, ni omitirla si se necesita presión absoluta.

15.7 Cuánto aumenta la presión en el agua

Para agua con ρ ≈ 1000 kg/m³ y g ≈ 9,81 m/s²:

La presión aumenta aproximadamente 9,81 kPa por cada metro de profundidad. A unos 10,3 m, el incremento es cercano a una atmósfera.

15.8 Puntos a la misma altura

En un mismo fluido conectado, homogéneo y en reposo, dos puntos a la misma altura tienen la misma presión. Si existiera una diferencia horizontal, el fluido se aceleraría y dejaría de estar en reposo.

La condición requiere que los puntos pertenezcan a la misma región continua de fluido y que se mantenga el equilibrio.

15.9 La forma del recipiente no modifica p(h)

La presión a una profundidad dada depende de p₀, ρ, g y h; no depende de la forma ni del volumen total del recipiente.

Recipientes de formas muy distintas pueden tener la misma presión en sus fondos si contienen el mismo líquido hasta la misma altura. Las paredes inclinadas aportan fuerzas verticales que completan el equilibrio: no es correcto comparar solamente el peso del líquido con la fuerza sobre el fondo.

15.10 Influencia de la densidad

A igual profundidad, un fluido más denso produce un incremento de presión mayor. Para h = 5 m y g = 9,81 m/s²:

15.11 Líquidos dispuestos en capas

Si atravesamos capas de densidades constantes diferentes, sumamos el incremento producido por cada una:

La presión es continua en la interfaz ideal entre los líquidos. Lo que cambia al cruzarla es la pendiente dp/dh = ρg.

15.12 Densidad variable

Cuando ρ cambia de manera apreciable con la posición, no podemos sacarla fuera de la integral:

También puede aproximarse el perfil dividiéndolo en capas delgadas, calculando Δp_i ≈ ρ_igΔh_i y sumando los incrementos.

15.13 Líquidos y gases

En muchos líquidos, la densidad cambia tan poco con la presión que puede considerarse constante. En una columna de gas alta, la densidad disminuye al ascender y debe relacionarse con la presión y la temperatura.

Por eso p = p₀ + ρgh es una excelente aproximación para líquidos y para diferencias de altura pequeñas en gases, pero no describe por sí sola toda la atmósfera.

15.14 Forma vectorial del equilibrio

Si g es el vector aceleración gravitatoria, la ecuación hidrostática puede escribirse:

El gradiente ∇p apunta hacia donde la presión crece con mayor rapidez. Cerca de la superficie terrestre apunta hacia abajo, en la misma dirección que la gravedad.

15.15 Supuestos del modelo

La expresión simple Δp = ρgh supone:

• fluido en reposo respecto del sistema de referencia;
• densidad aproximadamente constante;
• gravedad uniforme en la región estudiada;
• profundidad vertical correctamente medida;
• ausencia de otras aceleraciones volumétricas relevantes.

Si el recipiente acelera o gira, el equilibrio debe analizarse con una aceleración efectiva diferente.

15.16 Condición en la superficie libre

La superficie libre proporciona una condición de referencia. Si está abierta al aire, su presión absoluta es la atmosférica local y su presión manométrica es cero.

Si sobre la superficie hay un gas presurizado dentro de un tanque cerrado, p₀ es la presión de ese gas. Desde allí se suma ρgh al descender por el líquido.

15.17 Consecuencias sobre paredes y fondos

Como la presión crece con la profundidad, una pared vertical no recibe una carga uniforme: la parte inferior soporta más presión que la superior.

En un fondo horizontal situado a profundidad constante, la presión sí es uniforme si la densidad es homogénea. La fuerza se obtiene multiplicando esa presión por el área, cuidando si se necesita la fuerza total o la resultante respecto de la presión exterior.

15.18 Construir un perfil de presión

Para un tanque abierto con agua, p_atm = 101,3 kPa y profundidad total de 4 m:

El gráfico p contra h es una recta cuya pendiente es ρg.

15.19 Calcular un perfil con JavaScript

function perfilHidrostatico({ densidad, gravedad, presionSuperficie, profundidad, paso }) {
  const puntos = [];
  for (let h = 0; h <= profundidad + 1e-9; h += paso) {
    const incrementoKPa = densidad * gravedad * h / 1000;
    puntos.push({
      profundidad: h,
      manometricaKPa: incrementoKPa,
      absolutaKPa: presionSuperficie + incrementoKPa
    });
  }
  return puntos;
}

const perfil = perfilHidrostatico({
  densidad: 1000,
  gravedad: 9.81,
  presionSuperficie: 101.3,
  profundidad: 4,
  paso: 1
});

for (const punto of perfil) {
  console.log(
    `h=${punto.profundidad} m | p(abs)=${punto.absolutaKPa.toFixed(1)} kPa`
  );
}

Salida:

h=0 m | p(abs)=101.3 kPa
h=1 m | p(abs)=111.1 kPa
h=2 m | p(abs)=120.9 kPa
h=3 m | p(abs)=130.7 kPa
h=4 m | p(abs)=140.5 kPa

15.20 Laboratorio de presión hidrostática

Ajustá las propiedades del fluido, la profundidad, la presión en la superficie y la gravedad. El color y las flechas representan el aumento lineal de presión.

15.21 Ejercicio propuesto

Un submarinista se encuentra a 18 m bajo la superficie del mar. Tomá ρ = 1025 kg/m³, g = 9,81 m/s² y p_atm = 100,8 kPa. Calculá la presión manométrica y la absoluta.

const densidad = 1025;           // kg/m³
const gravedad = 9.81;           // m/s²
const profundidad = 18;          // m
const presionAtmosferica = 100.8; // kPa

const manometrica = densidad * gravedad * profundidad / 1000;
const absoluta = presionAtmosferica + manometrica;

console.log(`Presión manométrica: ${manometrica.toFixed(1)} kPa`);
console.log(`Presión absoluta: ${absoluta.toFixed(1)} kPa`);

Presión manométrica: 181.0 kPa
Presión absoluta: 281.8 kPa

15.22 Ideas para recordar

• En equilibrio hidrostático, dp/dz = −ρg si z apunta hacia arriba.
• Para densidad constante, p = p₀ + ρgh al medir h hacia abajo.
• La presión depende de la profundidad, la densidad y la gravedad, no de la forma del recipiente.
• En un mismo fluido conectado y en reposo, puntos a igual altura tienen igual presión.
• Las capas de distintas densidades aportan incrementos ρ_igh_i.
• La referencia superficial determina si el resultado se expresa como presión absoluta o manométrica.

Estas relaciones permitirán interpretar en el próximo tema los vasos comunicantes y los instrumentos que comparan presiones mediante columnas de fluido.