21.1 Del fluido en reposo al fluido en movimiento
En hidrostática bastaba conocer cómo variaba la presión. Cuando el fluido se mueve, distintas porciones pueden tener velocidades diferentes y esas velocidades pueden cambiar con el tiempo.
El modelo continuo permite describir el movimiento sin seguir cada molécula: asignamos propiedades promedio a regiones pequeñas comparadas con el sistema, pero grandes comparadas con la escala molecular.
21.2 Campo de velocidades
El campo de velocidades asigna un vector velocidad a cada posición r y a cada instante t:
En coordenadas cartesianas tridimensionales:
21.3 Componentes, módulo y dirección
Las componentes indican cuánto se mueve el fluido en cada eje. El módulo o rapidez local es:
Su unidad SI es m/s. La dirección del vector muestra hacia dónde pasaría una partícula que se encontrara en ese punto e instante.
21.4 Descripción euleriana
El enfoque euleriano fija la atención en posiciones del espacio. Pregunta, por ejemplo: «¿qué velocidad tiene ahora el fluido en la entrada del conducto?».
Es similar a una estación meteorológica fija que registra el viento que pasa por ella. Los campos de velocidad, presión y densidad se expresan naturalmente de esta manera.
21.5 Descripción lagrangiana
El enfoque lagrangiano identifica porciones o partículas de fluido y sigue sus posiciones a lo largo del tiempo:
a representa la posición inicial o una etiqueta material. Es semejante a seguir una boya mientras se desplaza con el agua.
21.6 Conectar ambos enfoques
La trayectoria de una partícula se obtiene evaluando el campo en su posición instantánea:
Esta ecuación diferencial transforma una descripción euleriana del campo en una historia lagrangiana de movimiento.
21.7 Flujo estacionario y no estacionario
Un flujo es estacionario si las propiedades en cada punto no cambian con el tiempo:
Esto no significa que el fluido esté quieto. Puede circular permanentemente con una velocidad local constante. Si el campo cambia con t, el flujo es no estacionario o transitorio.
21.8 Flujo uniforme y no uniforme
Un campo es espacialmente uniforme en una región si tiene el mismo vector velocidad en todos sus puntos. Es no uniforme si cambia con la posición.
«Estacionario» se refiere a cambios temporales; «uniforme», a cambios espaciales. Un flujo puede ser estacionario y no uniforme, o uniforme y no estacionario.
21.9 Ejemplos de campos sencillos
| Campo bidimensional | Interpretación |
|---|---|
| v = (U,0) | Traslación uniforme horizontal. |
| v = (U + ky,0) | Cizallamiento: la rapidez cambia con y. |
| v = (−ωy,ωx) | Rotación alrededor del origen. |
| v = (U[1 + 0,5 sen t],0) | Flujo uniforme pulsante. |
21.10 Línea de corriente
Una línea de corriente es una curva que, en un instante dado, es tangente al vector velocidad en cada uno de sus puntos.
Las flechas de velocidad apuntan a lo largo de la línea. Es una fotografía geométrica instantánea del campo.
21.11 Ecuación de una línea de corriente
En tres dimensiones, para un instante fijo:
En dos dimensiones, siempre que u ≠ 0:
Resolver esta ecuación produce la familia de curvas tangentes al campo en ese instante.
21.12 Las líneas de corriente no se cruzan
Si el vector velocidad está bien definido y no es nulo, por un punto pasa una única línea de corriente. Dos líneas no pueden cruzarse porque el cruce exigiría dos direcciones de velocidad diferentes en el mismo punto e instante.
En puntos de estancamiento, donde v = 0, la dirección no queda definida y la geometría requiere un análisis especial.
21.13 Trayectoria de una partícula
La trayectoria o pathline es el camino seguido por una partícula individual a lo largo del tiempo. Se calcula integrando:
Es una historia temporal, no una fotografía del campo.
21.14 Línea de traza
Una línea de traza o streakline reúne, en un instante, todas las partículas que pasaron anteriormente por un mismo punto de inyección.
Es lo que se observa al inyectar continuamente humo o colorante desde una posición fija.
21.15 Línea temporal
Una línea temporal se forma marcando simultáneamente muchas partículas vecinas y observando cómo se deforma la línea que las unía.
Permite visualizar estiramiento, rotación y deformación del fluido, aun cuando cada partícula siga una trayectoria diferente.
21.16 Cuándo coinciden las curvas
En un flujo estacionario, líneas de corriente, trayectorias y líneas de traza coinciden. En un flujo no estacionario pueden tener formas distintas.
Confundirlas en un flujo transitorio puede producir interpretaciones incorrectas de una visualización experimental.
21.17 Tubo de corriente
Un tubo de corriente es una superficie formada por líneas de corriente. Como la velocidad es tangente a sus paredes laterales, ningún fluido las atraviesa instantáneamente.
No es necesariamente un conducto físico. Es una construcción útil para aislar una porción de flujo y preparar balances de masa y energía.
21.18 Aceleración de una partícula fluida
Una partícula puede acelerar porque el campo cambia con el tiempo o porque se desplaza hacia regiones con otra velocidad:
El primer término es la aceleración local; el segundo, la aceleración convectiva. Por eso un flujo estacionario puede acelerar partículas si es espacialmente no uniforme.
21.19 Muestreo y visualización numérica
Para dibujar un campo se evalúa v en una cuadrícula y se representa cada vector con una flecha. Conviene normalizar o limitar sus longitudes para que las zonas rápidas no oculten las lentas.
Las líneas de corriente se obtienen integrando el campo con el tiempo congelado. Las trayectorias exigen actualizar simultáneamente la posición y el instante.
21.20 Integrar una trayectoria con JavaScript
function velocidad(x, y) {
return { x: 1 + 0.5 * y, y: 0 };
}
function integrarEuler(posicionInicial, duracion, dt) {
const posicion = { ...posicionInicial };
let tiempo = 0;
while (tiempo < duracion - 1e-12) {
const v = velocidad(posicion.x, posicion.y);
posicion.x += v.x * dt;
posicion.y += v.y * dt;
tiempo += dt;
}
return posicion;
}
const final = integrarEuler({ x: 0, y: 1 }, 4, 0.1);
console.log(`Posición final: (${final.x.toFixed(2)}, ${final.y.toFixed(2)}) m`);
console.log(`Rapidez sobre la trayectoria: ${velocidad(final.x, final.y).x.toFixed(2)} m/s`);Salida:
Posición final: (6.00, 1.00) m Rapidez sobre la trayectoria: 1.50 m/s
21.21 Laboratorio de campos de velocidad
Elegí un campo y modificá sus parámetros. Las curvas celestes son líneas de corriente instantáneas; la curva amarilla es la trayectoria de una partícula liberada en el punto de prueba.
v(x,y,t) = (U, 0) = (1,50; 0,00) m/s
Campo uniforme y estacionario: todas las partículas conservan su velocidad.
21.22 Ejercicio propuesto
Para el campo estacionario v(x,y) = (2 + 0,5y, −0,25x) m/s, calculá el vector velocidad, la rapidez y la dirección en el punto (2 m, 1 m).
Ver solución y explicación
function campo(x, y) {
return { x: 2 + 0.5 * y, y: -0.25 * x };
}
const punto = { x: 2, y: 1 };
const v = campo(punto.x, punto.y);
const rapidez = Math.hypot(v.x, v.y);
const direccion = Math.atan2(v.y, v.x) * 180 / Math.PI;
console.log(`Velocidad: (${v.x.toFixed(2)}, ${v.y.toFixed(2)}) m/s`);
console.log(`Rapidez: ${rapidez.toFixed(2)} m/s`);
console.log(`Dirección: ${direccion.toFixed(2)}°`);Salida:
Velocidad: (2.50, -0.50) m/s Rapidez: 2.55 m/s Dirección: -11.31°
21.23 Ideas para recordar
- El campo v(r,t) describe la velocidad local del continuo.
- El enfoque euleriano observa puntos; el lagrangiano sigue partículas.
- Una línea de corriente es tangente al campo en un instante.
- Trayectorias, trazas y líneas de corriente coinciden en flujo estacionario.
- La aceleración material incluye cambios locales y convectivos.
En el próximo tema cuantificaremos cuánto fluido atraviesa una superficie mediante caudal volumétrico, caudal másico y velocidad media.