23. Conservación de la masa y ecuación de continuidad

23.1 La masa se conserva

En los procesos ordinarios de mecánica de fluidos, la masa total de una cantidad material de fluido permanece constante.

La forma práctica de esta ley depende de si seguimos las mismas partículas o analizamos una región del espacio.

23.2 Sistema y volumen de control

Un sistema contiene siempre las mismas partículas. Un volumen de control es una región elegida del espacio, fija o móvil, a través de cuya superficie puede entrar y salir fluido.

Conductos, tanques, bombas y toberas se estudian con frecuencia como volúmenes de control.

23.3 Masa dentro de un volumen de control

Si la densidad puede variar con la posición y el tiempo, la masa almacenada es:

Su derivada temporal mide la acumulación: positiva si aumenta la masa interna y negativa si disminuye.

23.4 Balance entrada–salida–acumulación

La conservación de masa puede expresarse de forma contable:

Esta convención usa caudales másicos positivos como magnitudes de cada corriente.

23.5 Convención con normales exteriores

En una superficie cerrada se elige n hacia afuera. Entonces ρv · n es positivo para las salidas y negativo para las entradas.

Esta convención evita separar manualmente cada porción de entrada y salida.

23.6 Forma integral de continuidad

Para un volumen de control fijo:

El primer término es acumulación y el segundo es flujo neto saliente. Su suma debe anularse.

23.7 Régimen estacionario

En estado estacionario, la masa contenida en un volumen de control fijo no cambia:

Puede circular mucha masa a través del equipo; «sin acumulación» no significa «sin flujo».

23.8 Una entrada y una salida

Para un flujo estacionario con una única entrada y una única salida:

Si las propiedades se representan mediante valores medios uniformes en cada sección:

23.9 Flujo incompresible

Si la densidad de una partícula permanece constante y es la misma en ambas secciones, ρ se cancela:

El caudal volumétrico se conserva a lo largo de ese tubo de corriente estacionario sin ramificaciones.

23.10 Cambio de área y velocidad

Para flujo incompresible estacionario, una sección menor requiere mayor velocidad media:

La continuidad establece esta relación cinemática, pero no determina por sí sola qué fuerzas o diferencias de presión la producen.

23.11 Diámetros de conductos circulares

Como A = πd²/4:

Reducir el diámetro a la mitad multiplica por cuatro la velocidad media, bajo los supuestos indicados.

23.12 Flujo compresible

Si la densidad cambia, el caudal volumétrico puede ser distinto entre secciones aunque el caudal másico se conserve:

Una reducción de densidad debe compensarse mediante un aumento de Q para transportar la misma masa por segundo.

23.13 Ramificaciones

En una unión estacionaria con una entrada y varias salidas:

Para un mismo líquido incompresible, puede escribirse la relación equivalente con caudales volumétricos.

23.14 Acumulación en un tanque

Si la entrada supera a la salida, la masa almacenada aumenta:

Un proceso puede tener caudales constantes y aun así ser transitorio si cambia el inventario dentro del volumen de control.

23.15 Cambio de nivel

En un tanque vertical de área horizontal A_T, líquido incompresible y densidad constante, m = ρA_Th. Por lo tanto:

La velocidad de cambio del nivel depende del caudal neto y del área del tanque.

23.16 Forma diferencial de continuidad

Aplicada a una región infinitesimal, la conservación de masa conduce a:

La divergencia mide el balance local entre lo que sale y entra de un volumen muy pequeño.

23.17 Derivada material de la densidad

Al expandir la divergencia:

Esta forma relaciona el cambio de densidad que experimenta una partícula con la expansión o contracción local del campo de velocidades.

23.18 Condición de flujo incompresible

Si cada partícula conserva su densidad, Dρ/Dt = 0. Entonces:

Esto no exige que todas las partículas tengan la misma densidad, sino que no cambie a lo largo de sus trayectorias. En muchos problemas se supone además densidad uniforme.

23.19 Procedimiento de balance

1. Elegir el volumen de control y marcar entradas y salidas.
2. Definir signos o usar normales exteriores de manera consistente.
3. Convertir áreas, velocidades y densidades a unidades compatibles.
4. Calcular cada ṁ = ρAv_n.
5. Incluir acumulación si el inventario cambia.
6. Comprobar unidades, signo y orden de magnitud.

23.20 Balance de masa con JavaScript

function balanceMasa({ entradas, salidas }) {
  const caudal = corriente =>
    corriente.densidad * corriente.area * corriente.velocidadNormal;

  const totalEntrada = entradas.reduce((suma, c) => suma + caudal(c), 0);
  const totalSalida = salidas.reduce((suma, c) => suma + caudal(c), 0);

  return {
    totalEntrada,
    totalSalida,
    acumulacion: totalEntrada - totalSalida
  };
}

const resultado = balanceMasa({
  entradas: [{ densidad: 1000, area: 0.03, velocidadNormal: 2 }],
  salidas: [
    { densidad: 1000, area: 0.01, velocidadNormal: 3 },
    { densidad: 1000, area: 0.015, velocidadNormal: 2 }
  ]
});

console.log(`Entrada: ${resultado.totalEntrada.toFixed(1)} kg/s`);
console.log(`Salida: ${resultado.totalSalida.toFixed(1)} kg/s`);
console.log(`Acumulación: ${resultado.acumulacion.toFixed(1)} kg/s`);

Salida:

Entrada: 60.0 kg/s
Salida: 60.0 kg/s
Acumulación: 0.0 kg/s

23.21 Laboratorio de continuidad

El volumen de control tiene una entrada y dos conexiones de salida. Elegí la acumulación deseada: el laboratorio calcula la velocidad necesaria en la salida 2.

23.22 Ejercicio propuesto

Agua de densidad 1000 kg/m³ circula en régimen estacionario por una contracción. El diámetro cambia de 0,12 m a 0,06 m y la velocidad media inicial es 2,5 m/s.

1. Calculá las áreas de ambas secciones.
2. Calculá la velocidad en la sección menor.
3. Calculá Q y ṁ.
4. Explicá qué parte del razonamiento cambiaría si la densidad de salida fuera diferente.

const densidad = 1000;
const diametro1 = 0.12;
const diametro2 = 0.06;
const velocidad1 = 2.5;

const area = diametro => Math.PI * diametro ** 2 / 4;
const area1 = area(diametro1);
const area2 = area(diametro2);
const Q = area1 * velocidad1;
const velocidad2 = Q / area2;
const caudalMasico = densidad * Q;

console.log(`A1: ${area1.toFixed(5)} m²; A2: ${area2.toFixed(5)} m²`);
console.log(`Velocidad 2: ${velocidad2.toFixed(2)} m/s`);
console.log(`Q: ${Q.toFixed(5)} m³/s`);
console.log(`Caudal másico: ${caudalMasico.toFixed(2)} kg/s`);

23.23 Ideas para recordar

• La conservación de masa exige acumulación = entradas − salidas.
• En forma integral: ∂/∂t∫ρdV + ∮ρv · n dA = 0.
• En régimen estacionario, la suma de caudales másicos de entrada iguala la de salida.
• Con una entrada y una salida, ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.
• Para flujo incompresible, A₁v₁ = A₂v₂.
• La forma local es ∂ρ/∂t + ∇ · (ρv) = 0.
• Un campo incompresible satisface ∇ · v = 0.

En el próximo tema estudiaremos cómo el trabajo asociado con la presión transporta energía a través de una corriente.