25. Ecuación de Bernoulli: condiciones, interpretación y límites

25.1 Una relación entre formas de energía

En el tema anterior identificamos tres contribuciones a la energía mecánica específica: trabajo de presión, energía cinética y energía gravitatoria.

Bajo condiciones precisas, su suma permanece constante a lo largo de una línea de corriente. Esa relación es la ecuación de Bernoulli.

25.2 Forma por unidad de masa

Para un fluido de densidad constante:

Entre dos puntos de una misma línea de corriente:

25.3 Forma por unidad de volumen

Multiplicando por ρ:

Todos los términos tienen unidades de Pa o J/m³. Esta forma facilita comparar presión estática, presión dinámica y contribución gravitatoria.

25.4 Forma en alturas de carga

Dividiendo por ρg:

H es la carga total ideal sobre la línea de corriente. Sus términos son carga de presión, carga de velocidad y carga de elevación.

25.5 Primera condición: flujo estacionario

La forma clásica supone que las propiedades en cada punto no cambian con el tiempo. Las partículas pueden acelerar al atravesar regiones diferentes, pero el campo observado permanece fijo.

En un transitorio intenso, la relación clásica entre dos puntos no captura el almacenamiento temporal de energía y cantidad de movimiento.

25.6 Segunda condición: densidad constante

La expresión p/ρ supone que ρ es constante a lo largo del recorrido analizado. Es una excelente aproximación para muchos líquidos y para gases cuando los cambios de densidad son pequeños.

En gases con grandes variaciones de presión, temperatura o velocidad se necesita una formulación compresible.

25.7 Tercera condición: viscosidad despreciable

Bernoulli clásico supone que no hay disipación mecánica apreciable entre los puntos. En fluidos reales, el rozamiento interno y con las paredes transforma energía mecánica en energía interna.

Cuanto más largo, rugoso o estrecho sea un conducto, menos razonable suele ser ignorar pérdidas.

25.8 Cuarta condición: misma línea de corriente

En un flujo rotacional, la constante de Bernoulli puede ser diferente para líneas de corriente distintas. La relación se aplica directamente entre puntos de una misma línea.

Si el flujo es además irrotacional, la constante puede ser común en toda una región conectada.

25.9 Sin máquinas entre los puntos

La forma clásica no incluye bombas, ventiladores, compresores o turbinas entre los puntos elegidos. Estos dispositivos agregan o extraen trabajo mecánico.

Si existe una máquina, su intercambio energético debe aparecer explícitamente en una ecuación extendida.

25.10 Interpretación mediante trabajo y energía

Al desplazarse una porción de fluido, las fuerzas de presión realizan trabajo. Ese trabajo puede modificar su rapidez o su altura gravitatoria.

Bernoulli no afirma que «la presión siempre baja cuando la velocidad sube» en cualquier situación: afirma una compensación específica cuando los demás términos y supuestos están controlados.

25.11 Presión y velocidad a igual altura

Si z₁ = z₂:

Dentro del modelo ideal, una mayor rapidez se acompaña de menor presión estática a lo largo de esa línea de corriente.

25.12 Presión y elevación

Si la velocidad no cambia, un aumento de altura debe compensarse con una reducción de presión:

Este caso recupera la relación hidrostática aunque el fluido se desplace con rapidez constante.

25.13 Presión estática, dinámica y total

A igual altura, se denomina presión dinámica al término q = ρv²/2. La suma p + q es la presión total ideal:

La presión estática p es la propiedad termodinámica local; q es una forma útil de expresar energía cinética por volumen, no una presión isotrópica adicional que actúe igual en todas direcciones.

25.14 Punto de estancamiento

Un punto de estancamiento tiene v = 0. Si una corriente se frena idealmente hasta ese punto a la misma altura:

p₀ es la presión de estancamiento ideal. Esta idea será utilizada por el tubo de Pitot en el tema siguiente.

25.15 Ecuación mecánica extendida

Para incluir una carga agregada h_A, una carga extraída h_T y pérdidas h_L:

Bernoulli clásico es el caso h_A = h_T = h_L = 0.

25.16 Presión absoluta o manométrica

Puede utilizarse cualquiera de las dos si se mantiene la misma referencia. En una ecuación entre puntos expuestos a la misma atmósfera, la presión atmosférica común se cancela y resulta cómodo usar presión manométrica.

No se debe mezclar una presión absoluta con otra manométrica.

25.17 Presiones calculadas demasiado bajas

Una presión manométrica negativa puede ser físicamente válida, pero la presión absoluta no puede ser negativa. Además, si desciende hasta la presión de vapor del líquido, pueden formarse cavidades de vapor.

Ese fenómeno, llamado cavitación, invalida el modelo de una única fase líquida y puede dañar equipos.

25.18 Cuándo no usar Bernoulli clásico

• entre regiones separadas por una bomba o turbina sin incluir su trabajo;
• en conductos con pérdidas viscosas importantes ignorándolas;
• para gases con cambios apreciables de densidad;
• entre líneas de corriente distintas en flujo rotacional;
• durante transitorios rápidos sin términos adicionales;
• mezclando velocidades locales con velocidades medias incompatibles.

25.19 Procedimiento de resolución

1. Elegir dos puntos con datos o incógnitas convenientes.
2. Comprobar flujo estacionario, densidad y pérdidas.
3. Confirmar que los puntos están sobre la misma línea de corriente o que el flujo es irrotacional.
4. Definir referencias comunes de presión y altura.
5. Usar continuidad si faltan velocidades.
6. Incluir máquinas y pérdidas cuando corresponda.
7. Revisar unidades y plausibilidad de la presión absoluta.

25.20 Resolver Bernoulli con JavaScript

function presionSalida({ p1, rho, v1, v2, z1, z2, g = 9.81 }) {
  return p1 + rho * (v1 ** 2 - v2 ** 2) / 2 + rho * g * (z1 - z2);
}

const p2 = presionSalida({
  p1: 200e3,
  rho: 1000,
  v1: 2,
  v2: 6,
  z1: 0,
  z2: 3
});

console.log(`Presión de salida: ${(p2 / 1000).toFixed(2)} kPa`);
console.log(`Cambio de presión: ${((p2 - 200e3) / 1000).toFixed(2)} kPa`);

Salida:

Presión de salida: 154.57 kPa
Cambio de presión: -45.43 kPa

25.21 Laboratorio de Bernoulli

El laboratorio calcula p₂. Las cargas agregada y perdida permiten comparar la forma clásica con una ecuación mecánica extendida.

25.22 Ejercicio propuesto

Agua de densidad 1000 kg/m³ circula horizontalmente. En el punto 1, p₁ = 240 kPa y v₁ = 2 m/s. En el punto 2, v₂ = 8 m/s. Suponé flujo estacionario, incompresible e ideal.

1. Escribí Bernoulli entre ambos puntos.
2. Calculá la presión p₂.
3. Calculá las presiones dinámicas en ambas secciones.
4. Comprobá que p + ρv²/2 conserva el mismo valor.

const rho = 1000;
const p1 = 240e3;
const v1 = 2;
const v2 = 8;

const q1 = rho * v1 ** 2 / 2;
const q2 = rho * v2 ** 2 / 2;
const p2 = p1 + q1 - q2;

console.log(`Presión p2: ${(p2 / 1000).toFixed(2)} kPa`);
console.log(`Presiones dinámicas: ${(q1 / 1000).toFixed(2)} y ${(q2 / 1000).toFixed(2)} kPa`);
console.log(`Totales: ${((p1 + q1) / 1000).toFixed(2)} y ${((p2 + q2) / 1000).toFixed(2)} kPa`);

25.23 Ideas para recordar

• Bernoulli clásico conserva p/ρ + v²/2 + gz a lo largo de una línea de corriente.
• Requiere flujo estacionario, densidad constante y disipación despreciable.
• Bombas, turbinas y pérdidas deben incorporarse mediante términos adicionales.
• Una mayor velocidad implica menor presión solo cuando los demás términos y supuestos lo permiten.
• La presión total ideal a igual altura es p + ρv²/2.
• La referencia de presión y el origen de alturas deben ser coherentes.
• Un resultado matemático debe comprobarse contra presión absoluta, cavitación y límites del modelo.

En el próximo tema aplicaremos estas relaciones a la salida por orificios y a los dispositivos Venturi y Pitot.