26. Aplicaciones de Bernoulli: Torricelli, Venturi y Pitot

26.1 Una ecuación, tres instrumentos

La ecuación de Bernoulli se vuelve especialmente útil cuando elegimos puntos donde alguna magnitud es conocida: una superficie libre, una sección de conducto o un punto donde el fluido se detiene. Combinada con continuidad, permite inferir variables difíciles de medir directamente.

La ley de Torricelli estima la velocidad de salida de un depósito; el medidor Venturi obtiene el caudal a partir de una diferencia de presión; y el tubo de Pitot deduce la rapidez local comparando presión estática y de estancamiento.

26.2 La estrategia común

En los tres casos supondremos inicialmente flujo estacionario, fluido incompresible y pérdidas despreciables. Entre dos puntos de una misma línea de corriente:

Después se eligen los puntos, se cancelan términos iguales o despreciables y, cuando intervienen áreas distintas, se agrega continuidad: A₁v₁ = A₂v₂.

26.3 Torricelli: un depósito con un orificio

Consideremos un depósito abierto con un pequeño orificio situado una distancia vertical h debajo de la superficie libre. Elegimos el punto 1 sobre la superficie y el punto 2 en el chorro apenas sale.

Ambos puntos están expuestos a la atmósfera, por lo que p₁ = p₂. Si el depósito es mucho más ancho que el orificio, la superficie baja muy lentamente y v₁ ≈ 0. Además, z₁ − z₂ = h.

26.4 Derivación de la ley de Torricelli

Con esas simplificaciones, Bernoulli queda:

Por lo tanto, la rapidez ideal de salida es:

Es la misma rapidez que adquiriría un cuerpo en caída libre después de descender una altura h. No significa que las trayectorias sean iguales: expresa la misma conversión ideal de energía potencial gravitatoria en energía cinética.

26.5 Del área del orificio al caudal

Si el orificio tiene área A, el caudal volumétrico ideal es:

Para un orificio circular de diámetro d, A = πd²/4. El caudal crece linealmente con el área, pero solo con la raíz cuadrada de la altura. Duplicar d multiplica el área y el caudal ideal por cuatro; duplicar h multiplica la rapidez y el caudal por √2.

26.6 Descarga real y coeficiente de descarga

Un chorro real se contrae después del borde y pierde energía por viscosidad y turbulencia. Estos efectos se reúnen en el coeficiente de descarga C_d:

C_d es adimensional y suele ser menor que 1, pero no es una constante universal: depende de la geometría del borde, el número de Reynolds y las condiciones de aproximación. Debe provenir de datos experimentales o documentación del dispositivo.

26.7 Cuándo no puede despreciarse la velocidad de la superficie

Si el depósito tiene área A_T y el orificio A_o, continuidad exige A_Tv₁ = A_ov₂. Manteniendo v₁ en Bernoulli se obtiene:

Cuando A_o/A_T es muy pequeño, el denominador tiende a 1 y recuperamos Torricelli. Para aberturas grandes, además de esta corrección geométrica pueden importar el carácter no uniforme del flujo y el descenso transitorio del nivel.

26.8 Vaciado: la altura cambia con el tiempo

Torricelli da una velocidad instantánea para una altura h. Durante el vaciado, h disminuye y el caudal no permanece constante. Para un depósito vertical de sección constante A_T:

Integrando desde una altura inicial h₀ hasta una altura final h_f:

26.9 Ejemplo de Torricelli

Un orificio de 20 mm de diámetro está 1,8 m debajo de la superficie del agua. Con g = 9,81 m/s² y C_d = 0,62:

• v_ideal = √(2·9,81·1,8) = 5,94 m/s;
• A = π(0,020)²/4 = 3,142 × 10⁻⁴ m²;
• Q = 0,62·A·v_ideal = 1,16 × 10⁻³ m³/s, es decir, 1,16 L/s.

Conviene distinguir la velocidad ideal usada en la expresión del caudal de la velocidad media real del chorro, que depende de cómo se definan los coeficientes de contracción y velocidad.

26.10 Efecto Venturi

Un Venturi es un conducto que converge suavemente hacia una garganta y luego se ensancha. En régimen estacionario e incompresible, el fluido acelera donde el área disminuye. Si ambas secciones están a igual altura, Bernoulli indica que la presión estática baja en la garganta.

La reducción de presión no es causada por «la estrechez» de forma aislada: continuidad fija el cambio de velocidad y el balance de energía relaciona ese cambio con la presión.

26.11 Derivación del caudal en un Venturi horizontal

Para las secciones 1 y 2, continuidad da v₁ = Q/A₁ y v₂ = Q/A₂. Bernoulli a igual altura da:

Sustituyendo las velocidades y despejando Q:

donde β = d₂/d₁ y A₂ es el área de la garganta. La potencia cuarta aparece porque el área de una sección circular es proporcional al cuadrado del diámetro y la energía cinética depende del cuadrado de la velocidad.

26.12 Venturi real y coeficiente de descarga

El caudal real se expresa como:

El coeficiente C_d corrige pérdidas, perfiles de velocidad y detalles de las tomas de presión. Debe corresponder a la geometría, instalación y rango de Reynolds del medidor. Usar un valor genérico sin conocer esas condiciones puede producir una precisión ficticia.

26.13 Venturi con diferencia de altura

Si las tomas no están a la misma cota, la diferencia que impulsa la aceleración es:

La fórmula horizontal puede utilizarse reemplazando Δp por Δp_efectiva. Omitir el término de elevación confunde una diferencia hidrostática con la producida por el cambio de velocidad.

26.14 Ejemplo de medidor Venturi

Agua circula por un Venturi horizontal con d₁ = 80 mm, d₂ = 40 mm, Δp = 18 kPa y C_d = 0,98. Entonces β = 0,5 y A₂ = 1,257 × 10⁻³ m².

El resultado es Q = 7,63 × 10⁻³ m³/s = 7,63 L/s. Las velocidades medias son v₁ = 1,52 m/s y v₂ = 6,07 m/s. La continuidad se comprueba porque A₁v₁ y A₂v₂ entregan el mismo caudal.

26.15 Recuperación de presión y cavitación

En el difusor posterior a la garganta, la velocidad disminuye y parte de la presión estática se recupera. En un dispositivo real no se recupera toda: existe una pérdida permanente de presión total.

Además, la presión absoluta de la garganta no debe caer hasta la presión de vapor del líquido. Si ocurre, aparece cavitación. Una diferencia de presión grande no garantiza una medición válida si cambia la fase del fluido.

26.16 Tubo de Pitot: llevar el fluido al reposo

La abertura frontal de un tubo de Pitot enfrenta la corriente. En su extremo se forma un punto de estancamiento donde la velocidad ideal es cero y la energía cinética se convierte en presión.

Una toma estática, orientada para perturbar lo menos posible el flujo, mide p. La abertura frontal mide la presión de estancamiento p₀. La diferencia p₀ − p es la presión dinámica.

26.17 Derivación de la velocidad con Pitot

Aplicando Bernoulli desde la corriente no perturbada hasta el punto de estancamiento, a la misma altura:

Por lo tanto:

En un instrumento real puede incluirse un coeficiente de calibración C: v = C√(2Δp/ρ). El Pitot mide rapidez local; para obtener caudal se necesita conocer o recorrer el perfil de velocidades sobre el área.

26.18 Ejemplo de tubo de Pitot

En agua de densidad 1000 kg/m³ se mide una diferencia p₀ − p = 3,2 kPa. La rapidez ideal es:

En aire de densidad 1,20 kg/m³, la misma diferencia indicaría 73,0 m/s. Esto muestra por qué la densidad debe corresponder al estado real del fluido y no copiarse de una tabla sin considerar presión y temperatura.

26.19 Pitot en gases y límite de incompresibilidad

La expresión v = √(2Δp/ρ) supone densidad prácticamente constante. En gases suele ser adecuada a velocidades bajas respecto de la del sonido. Como orientación, para números de Mach menores que aproximadamente 0,3 los efectos de compresibilidad suelen ser pequeños.

A velocidades mayores debe utilizarse una relación compresible entre presión estática, presión de estancamiento y Mach. El umbral no reemplaza un análisis de incertidumbre: la precisión requerida puede exigir correcciones antes.

26.20 Comparación entre las tres aplicaciones

26.21 Errores frecuentes

• usar diámetros directamente en continuidad en vez de áreas;
• introducir milímetros como si fueran metros o kPa como si fueran Pa;
• aplicar Torricelli cuando las presiones sobre la superficie y la salida no son iguales;
• olvidar la diferencia de altura entre tomas de un Venturi;
• interpretar la medición de Pitot como velocidad media de todo el conducto;
• emplear densidad constante en un gas rápido sin comprobar compresibilidad;
• suponer que un coeficiente de descarga corrige cualquier instalación;
• comparar presión manométrica con presión de vapor, que debe evaluarse en escala absoluta.

26.22 Funciones de cálculo con JavaScript

function torricelli({ altura, diametro, cd = 1, g = 9.81 }) {
  const area = Math.PI * diametro ** 2 / 4;
  const velocidadIdeal = Math.sqrt(2 * g * altura);
  return { velocidadIdeal, caudal: cd * area * velocidadIdeal };
}

function venturi({ rho, d1, d2, deltaP, cd = 1 }) {
  if (d2 >= d1) throw new Error("La garganta debe ser menor que la entrada");
  const area2 = Math.PI * d2 ** 2 / 4;
  const beta = d2 / d1;
  const caudal = cd * area2 * Math.sqrt(2 * deltaP / (rho * (1 - beta ** 4)));
  return { caudal, v1: caudal / (Math.PI * d1 ** 2 / 4), v2: caudal / area2 };
}

function pitot({ rho, deltaP, coeficiente = 1 }) {
  return coeficiente * Math.sqrt(2 * deltaP / rho);
}

const salida = torricelli({ altura: 1.8, diametro: 0.02, cd: 0.62 });
const medidor = venturi({ rho: 1000, d1: 0.08, d2: 0.04, deltaP: 18000, cd: 0.98 });
const velocidad = pitot({ rho: 1000, deltaP: 3200 });

console.log(`Torricelli: ${(salida.caudal * 1000).toFixed(2)} L/s`);
console.log(`Venturi: ${(medidor.caudal * 1000).toFixed(2)} L/s`);
console.log(`Pitot: ${velocidad.toFixed(2)} m/s`);

Salida:

Torricelli: 1.16 L/s
Venturi: 7.63 L/s
Pitot: 2.53 m/s

26.23 Laboratorio de aplicaciones de Bernoulli

Elegí una aplicación y modificá sus parámetros. El dibujo, la ecuación utilizada y los resultados se actualizan juntos para mostrar qué términos de Bernoulli intervienen.

26.24 Procedimiento para resolver problemas

1. Dibujar el sistema y elegir dos puntos conectados por una línea de corriente.
2. Anotar presión, velocidad y altura en ambos puntos sin cancelar términos todavía.
3. Comprobar las hipótesis de Bernoulli y decidir si hacen falta coeficientes o pérdidas.
4. Aplicar continuidad cuando cambie el área.
5. Convertir todas las magnitudes al SI antes de sustituir.
6. Distinguir velocidad local, velocidad media y caudal.
7. Comprobar continuidad, dimensiones, presión absoluta y orden de magnitud.

26.25 Ejercicio integrador

Agua de densidad 1000 kg/m³ circula por un Venturi horizontal. Los diámetros son d₁ = 100 mm y d₂ = 50 mm. La diferencia de presión es 12 kPa y C_d = 0,97.

1. Calculá β y las áreas A₁ y A₂.
2. Calculá el caudal real.
3. Determiná las velocidades medias v₁ y v₂.
4. Si un Pitot ideal se coloca en la garganta, calculá p₀ − p₂.

const rho = 1000;
const d1 = 0.1;
const d2 = 0.05;
const deltaP = 12000;
const cd = 0.97;
const A1 = Math.PI * d1 ** 2 / 4;
const A2 = Math.PI * d2 ** 2 / 4;
const beta = d2 / d1;
const Q = cd * A2 * Math.sqrt(2 * deltaP / (rho * (1 - beta ** 4)));
const v1 = Q / A1;
const v2 = Q / A2;
const deltaPPitot = rho * v2 ** 2 / 2;

console.log(`Caudal: ${(Q * 1000).toFixed(2)} L/s`);
console.log(`Velocidades: ${v1.toFixed(2)} y ${v2.toFixed(2)} m/s`);
console.log(`Pitot en la garganta: ${(deltaPPitot / 1000).toFixed(2)} kPa`);

26.26 Ideas para recordar

• Torricelli convierte una diferencia de altura en rapidez: v = √(2gh).
• El caudal real por un orificio requiere su área y un coeficiente de descarga.
• En un Venturi, continuidad relaciona áreas y velocidades; Bernoulli relaciona velocidades y presiones.
• La fórmula con β⁴ es válida para secciones circulares y debe incluir elevación si las tomas no están a la misma altura.
• Un Pitot mide rapidez local mediante la diferencia entre presión de estancamiento y presión estática.
• Los coeficientes empíricos dependen de geometría, instalación y régimen de flujo.
• En líquidos debe vigilarse la cavitación y en gases rápidos, la compresibilidad.
• Bernoulli predice dentro de un modelo; una medición confiable exige calibración e incertidumbre.

En el próximo tema incorporaremos la viscosidad y el esfuerzo cortante para comprender por qué los fluidos reales disipan energía.