28. Flujo laminar en conductos y ley de Poiseuille

28.1 Presión contra viscosidad

Para mantener un fluido real en movimiento dentro de un conducto hace falta una diferencia de energía mecánica. En un tubo horizontal sin bombas intermedias, esa energía suele manifestarse como una disminución de presión en la dirección del flujo.

La presión empuja al fluido hacia adelante y los esfuerzos viscosos transmitidos desde la pared se oponen. La ley de Hagen–Poiseuille cuantifica este equilibrio en un caso fundamental.

28.2 Hipótesis del modelo

La deducción clásica requiere:

• flujo estacionario, laminar y completamente desarrollado;
• fluido newtoniano, incompresible y con viscosidad constante;
• conducto recto, rígido, circular y de diámetro constante;
• condición de no deslizamiento en la pared;
• ausencia de efectos importantes de entrada, accesorios y cambios geométricos.

La fórmula no es una correlación universal para cualquier tubería: es la consecuencia exacta de estas idealizaciones.

28.3 Qué significa flujo completamente desarrollado

En la región desarrollada, el perfil de velocidad conserva su forma a lo largo del eje x. La componente axial puede escribirse u = u(r): depende de la distancia radial, pero no de x.

La presión sí cambia con x. El fluido continúa acelerando y frenando microscópicamente por interacción molecular, pero la velocidad media y el perfil macroscópico permanecen constantes en cada sección.

28.4 Balance sobre un cilindro de fluido

Tomemos un cilindro imaginario de radio r y longitud L dentro del tubo. Si p₁ > p₂, la fuerza neta de presión hacia la salida es:

El corte viscoso sobre su superficie lateral tiene magnitud τ(r)·2πrL. En régimen estacionario ambas fuerzas se equilibran.

28.5 Distribución del esfuerzo cortante

Del balance Δp·πr² = τ(r)·2πrL:

La magnitud del esfuerzo crece linealmente desde cero en el eje hasta un máximo en la pared. Si R = D/2:

El signo depende de la cara y del eje elegido; la expresión anterior representa magnitudes resistentes.

28.6 De esfuerzo a gradiente de velocidad

Para un fluido newtoniano, el esfuerzo está ligado al gradiente radial. Como u disminuye al acercarse a la pared, du/dr es negativo:

El signo negativo expresa que la velocidad máxima se encuentra en el centro y desciende hacia la pared.

28.7 Perfil parabólico

Integramos con respecto a r y aplicamos no deslizamiento, u(R) = 0:

El perfil es una parábola. En la pared u = 0; en el eje r = 0 alcanza su valor máximo:

28.8 El caudal no es velocidad por área usando u_máx

La velocidad varía sobre la sección, por lo que cada anillo de radio r y espesor dr transporta:

El caudal total se obtiene integrando desde el eje hasta la pared, no multiplicando la velocidad central por el área completa.

28.9 Ley de Hagen–Poiseuille

Al integrar el perfil:

Esta es la ley de Hagen–Poiseuille. Predice el caudal volumétrico en la región laminar desarrollada de un tubo circular. La dependencia D⁴ hace que pequeños cambios de diámetro tengan efectos enormes.

28.10 Velocidad media y velocidad máxima

La velocidad media se define por v̄ = Q/A, con A = πR²:

Comparando con el valor central:

Esta relación 2:1 caracteriza el perfil parabólico laminar desarrollado; no vale para un perfil uniforme ni para uno turbulento.

28.11 Influencia de cada variable

Estas comparaciones mantienen las demás variables constantes y solo son válidas mientras el nuevo estado continúe dentro del régimen del modelo.

28.12 Resistencia hidráulica

Poiseuille puede escribirse en forma análoga a una ley lineal:

ℛ es la resistencia hidráulica, medida en Pa·s/m³. A diferencia de una resistencia turbulenta, aquí es constante si μ y la geometría no cambian.

28.13 Conductos en serie y en paralelo

Para tramos laminares lineales en serie, el mismo caudal atraviesa cada uno y las caídas de presión se suman:

En ramas paralelas entre los mismos nodos, cada rama tiene la misma Δp y los caudales se suman:

La analogía facilita analizar microcanales y redes simples, pero deja de ser lineal si cambia el régimen o la viscosidad depende del corte.

28.14 Caída de presión requerida

Despejando la presión:

Para mantener la misma velocidad media, la caída aumenta con 1/D²; para mantener el mismo caudal aumenta con 1/D⁴. Es esencial indicar qué magnitud permanece fija al comparar diseños.

28.15 Potencia disipada

La potencia mecánica perdida por viscosidad es:

Las tres formas son equivalentes bajo el modelo lineal. La energía no desaparece: se transforma en energía interna del fluido y las paredes.

28.16 Relación con el número de Reynolds

Para un tubo circular:

El flujo en tuberías suele mantenerse laminar para Re por debajo de aproximadamente 2300. La transición no ocurre en un valor matemático único: depende de perturbaciones, entrada, rugosidad e instalación. El tema siguiente analizará este criterio con mayor detalle.

28.17 Factor de fricción de Darcy

La ecuación de Darcy–Weisbach expresa la caída distribuida como:

Al compararla con Poiseuille se obtiene, para flujo laminar circular desarrollado:

Este es el factor de fricción de Darcy. El factor de Fanning vale la cuarta parte; confundir ambas convenciones produce un error de factor cuatro.

28.18 Esfuerzo de pared desde la velocidad media

Combinando las relaciones anteriores:

El esfuerzo de pared aumenta con la velocidad y la viscosidad, y disminuye con el diámetro para v̄ fija. También puede obtenerse directamente de ΔpD/(4L).

28.19 Región de entrada

Al ingresar a un tubo, el perfil puede ser casi uniforme. La condición de no deslizamiento genera capas viscosas junto a la pared que crecen hasta ocupar toda la sección.

Una estimación frecuente para la longitud de entrada hidrodinámica laminar es:

Es una correlación aproximada. Si el tubo no es bastante largo después de la entrada, el perfil parabólico y la caída puramente desarrollada no representan toda la instalación.

28.20 Conducto inclinado

Cuando cambia la elevación, la fuerza impulsora combina presión y gravedad. Entre 1 y 2 puede definirse:

La fórmula de Poiseuille usa Δp_ef en lugar de la diferencia de presión estática aislada. Si el tubo desciende, la gravedad puede impulsar parte o todo el caudal.

28.21 Correcciones de energía y cantidad de movimiento

Como la velocidad no es uniforme, integrar v² y v³ sobre la sección no equivale a usar directamente v̄. Para el perfil parabólico laminar circular:

β corrige el flujo de cantidad de movimiento y α el flujo de energía cinética. Usar α = 1 supone un perfil uniforme y subestima la energía cinética transportada por un perfil laminar desarrollado.

28.22 Conductos no circulares

El diámetro hidráulico D_h = 4A/P_mojado permite expresar Reynolds y varias correlaciones, pero no convierte automáticamente cualquier sección en un tubo circular equivalente.

En flujo laminar, la constante que relaciona fRe y la resistencia depende de la forma. Rectángulos, anillos y otras geometrías requieren soluciones o correlaciones específicas; sustituir D por D_h en Poiseuille puede ser incorrecto.

28.23 Ejemplo numérico

Un fluido de μ = 0,010 Pa·s y ρ = 1000 kg/m³ circula por un tubo horizontal de D = 10 mm y L = 2,0 m debido a Δp = 10 kPa.

• Q = π·10000·0,010⁴/(128·0,010·2) = 1,227 × 10⁻⁴ m³/s = 0,1227 L/s;
• v̄ = Q/A = 1,5625 m/s y u_máx = 3,125 m/s;
• Re = 1000·1,5625·0,010/0,010 = 1562,5, compatible con el modelo laminar;
• τ_w = 10000·0,010/(4·2) = 12,5 Pa;
• P = ΔpQ = 1,227 W.

28.24 Límites y errores frecuentes

• aplicar Poiseuille sin comprobar Reynolds;
• usar radio donde la fórmula pide diámetro, o viceversa;
• olvidar que D aparece elevado a la cuarta potencia;
• confundir velocidad máxima con velocidad media;
• usar cP como si fueran Pa·s o milímetros como metros;
• ignorar la longitud de entrada y las pérdidas localizadas;
• aplicar el modelo circular a otra sección sin corrección;
• suponer viscosidad constante si la temperatura cambia;
• usar el modelo newtoniano para un fluido no newtoniano;
• mezclar el factor de Darcy con el de Fanning.

28.25 Cálculo de Poiseuille con JavaScript

function poiseuille({ deltaP, diametro, longitud, mu, rho }) {
  if ([deltaP, diametro, longitud, mu, rho].some(x => x <= 0)) {
    throw new Error("Todos los parámetros deben ser positivos");
  }
  const area = Math.PI * diametro ** 2 / 4;
  const caudal = Math.PI * deltaP * diametro ** 4 / (128 * mu * longitud);
  const velocidadMedia = caudal / area;
  const reynolds = rho * velocidadMedia * diametro / mu;
  return {
    caudal,
    velocidadMedia,
    velocidadMaxima: 2 * velocidadMedia,
    reynolds,
    esfuerzoPared: deltaP * diametro / (4 * longitud),
    potencia: deltaP * caudal
  };
}

const resultado = poiseuille({
  deltaP: 10000,
  diametro: 0.010,
  longitud: 2,
  mu: 0.010,
  rho: 1000
});

console.log(`Caudal: ${(resultado.caudal * 1000).toFixed(4)} L/s`);
console.log(`Velocidad media: ${resultado.velocidadMedia.toFixed(4)} m/s`);
console.log(`Velocidad máxima: ${resultado.velocidadMaxima.toFixed(4)} m/s`);
console.log(`Reynolds: ${resultado.reynolds.toFixed(1)}`);
console.log(`Esfuerzo de pared: ${resultado.esfuerzoPared.toFixed(2)} Pa`);

Salida:

Caudal: 0.1227 L/s
Velocidad media: 1.5625 m/s
Velocidad máxima: 3.1250 m/s
Reynolds: 1562.5
Esfuerzo de pared: 12.50 Pa

28.26 Laboratorio de Poiseuille

Modificá las propiedades y la geometría. El laboratorio calcula la solución de Poiseuille y avisa cuando Reynolds deja de respaldar la hipótesis laminar.

28.27 Procedimiento de resolución

1. Convertir diámetro, longitud, presión y viscosidad al SI.
2. Confirmar geometría circular, fluido newtoniano y condiciones estacionarias.
3. Identificar si la fuerza impulsora incluye elevación además de presión.
4. Calcular Q o Δp con Poiseuille.
5. Obtener v̄ = Q/A y comprobar Reynolds.
6. Evaluar longitud de entrada y pérdidas localizadas.
7. Comprobar que u_máx = 2v̄ y que las unidades sean coherentes.
8. Si falla una hipótesis, cambiar de modelo en lugar de forzar la fórmula.

28.28 Ejercicio propuesto

Agua con μ = 1,00 × 10⁻³ Pa·s y ρ = 1000 kg/m³ circula por un tubo horizontal de D = 4,0 mm y L = 1,50 m. La caída de presión es 1,20 kPa.

1. Calculá el caudal y expresalo en mL/s.
2. Calculá la velocidad media y la máxima.
3. Comprobá el número de Reynolds.
4. Determiná el esfuerzo de pared y la potencia disipada.
5. Estimá el tiempo necesario para transportar 1,0 L.

const mu = 1e-3;
const rho = 1000;
const D = 0.004;
const L = 1.5;
const deltaP = 1200;
const Q = Math.PI * deltaP * D ** 4 / (128 * mu * L);
const area = Math.PI * D ** 2 / 4;
const velocidadMedia = Q / area;
const reynolds = rho * velocidadMedia * D / mu;

console.log(`Caudal: ${(Q * 1e6).toFixed(3)} mL/s`);
console.log(`Velocidades media y máxima: ${velocidadMedia.toFixed(3)} y ${(2 * velocidadMedia).toFixed(3)} m/s`);
console.log(`Reynolds: ${reynolds.toFixed(0)}`);
console.log(`Tiempo para 1 L: ${(0.001 / Q).toFixed(1)} s`);

28.29 Ideas para recordar

• Poiseuille surge del equilibrio entre presión y esfuerzo viscoso.
• El esfuerzo cortante crece linealmente desde el eje hasta la pared.
• El perfil desarrollado es parabólico y u_máx = 2v̄.
• Q = πΔpD⁴/(128μL) para un tubo circular y flujo laminar newtoniano.
• La cuarta potencia del diámetro domina la resistencia hidráulica.
• La potencia disipada es ΔpQ.
• En régimen laminar circular, el factor de Darcy es 64/Re.
• La entrada, accesorios, geometría y régimen deben verificarse antes de aplicar la fórmula.
• Un resultado calculado con Poiseuille debe comprobarse posteriormente con Reynolds.

En el próximo tema estudiaremos el número de Reynolds y la transición entre flujo laminar y turbulento.