3. Centro de masa de un sistema discreto

3.1 Una posición para representar al conjunto

Un sistema de partículas posee muchas posiciones simultáneas. Si tres cuerpos están en lugares diferentes, no podemos describirlos con una única coordenada sin perder información. Sin embargo, algunas preguntas globales pueden simplificarse mediante un punto que represente cómo está distribuida la masa.

Ese punto es el centro de masa. Su ubicación depende de las posiciones y de las masas de todas las partículas. Una partícula más masiva influye más que una liviana.

El centro de masa no reemplaza la descripción completa del sistema. Es una magnitud colectiva diseñada para estudiar su movimiento global y organizar los efectos de las fuerzas externas.

3.2 Un promedio ponderado por la masa

Para partículas situadas sobre el eje x, la coordenada del centro de masa se define como:

Cada posición se multiplica por la masa correspondiente. Después se suman esos productos y se divide por la masa total. Por eso no es, en general, el promedio aritmético de las posiciones.

3.3 Por qué la masa funciona como peso estadístico

En un promedio ponderado, cada dato contribuye según un peso. Para el centro de masa, ese peso es la fracción de la masa total que pertenece a cada partícula:

Las fracciones m_i/M son positivas y suman 1. Una partícula que reúne el 60 % de la masa total aporta el 60 % del promedio ponderado. Si aumentamos su masa sin cambiar las posiciones, el centro de masa se desplaza hacia ella.

3.4 Dos partículas sobre una recta

Consideremos una partícula de 2 kg en x = 1 m y otra de 6 kg en x = 5 m:

El punto medio geométrico está en 3 m, pero el centro de masa se ubica en 4 m, más cerca de la partícula de 6 kg. Las unidades de masa se cancelan y el resultado conserva unidades de longitud.

Para dos masas positivas, el centro de masa queda entre ellas. Además, las distancias al centro cumplen m₁d₁ = m₂d₂: la masa mayor queda a menor distancia.

3.5 Coordenadas, origen y signos

Las posiciones deben expresarse respecto del mismo origen y sobre el mismo eje. Una coordenada negativa no representa una masa negativa: solamente indica que la partícula está del lado negativo del origen.

Si una masa de 1 kg está en x = −3 m y otra de 1 kg en x = 5 m, el centro de masa se encuentra en x = 1 m. Cambiar el origen modifica todas las coordenadas, incluida x_CM, pero no altera las distancias físicas entre los puntos.

Antes de sustituir valores conviene dibujar el eje, indicar su sentido positivo y convertir todas las longitudes a una unidad común.

3.6 Centro de masa en dos y tres dimensiones

En dos dimensiones calculamos cada componente con los mismos pesos:

En tres dimensiones agregamos z_CM = Σm_iz_i / M. La expresión vectorial reúne las tres ecuaciones:

Las masas son escalares y las posiciones son vectores. La suma ponderada produce otro vector de posición medido desde el origen elegido.

3.7 Procedimiento de cálculo

Para reducir errores podemos seguir estos pasos:

1. elegir el sistema e identificar todas sus partículas;
2. establecer el origen, los ejes y las unidades;
3. registrar masa y coordenadas de cada partícula;
4. calcular la masa total M;
5. calcular por separado Σm_ix_i, Σm_iy_i y, si corresponde, Σm_iz_i;
6. dividir cada suma por M;
7. comprobar unidades, simetrías y ubicación razonable.

Una tabla con una fila por partícula ayuda a no mezclar la masa de un cuerpo con la posición de otro.

3.8 Ejemplo en dos dimensiones

Consideremos tres partículas:

Por lo tanto, x_CM = 18/6 = 3 m e y_CM = 18/6 = 3 m. El centro de masa es el punto (3 m, 3 m).

3.9 Partículas de igual masa

Si todas las partículas tienen la misma masa m, ese factor aparece en todos los términos y se cancela:

En ese caso el centro de masa coincide con el promedio aritmético de las posiciones. Para dos partículas iguales es el punto medio del segmento que las une. Para tres partículas iguales ubicadas en los vértices de un triángulo es su centroide.

Esta simplificación deja de ser válida apenas las masas son diferentes.

3.10 Simetría y distribución de masa

La simetría puede anticipar una o más coordenadas. Si por cada partícula situada a la izquierda existe otra de igual masa a la misma distancia a la derecha, el centro de masa queda sobre el eje de simetría.

La simetría geométrica no alcanza cuando las masas no respetan la misma distribución. Dos puntos simétricos con masas diferentes no realizan aportes opuestos iguales.

Usar simetrías antes de calcular sirve como comprobación. Si un resultado no cae sobre un eje que la distribución de masa claramente conserva, existe un error en los datos o en las operaciones.

3.11 Ubicación y envolvente del sistema

Para masas positivas, el centro de masa queda dentro de la envolvente convexa de las posiciones: la región mínima que podría rodearlas sin hundirse entre puntos. En una dimensión esto significa que queda entre la coordenada mínima y la máxima.

No tiene que coincidir con una partícula ni con una zona ocupada por materia. El centro de masa de tres partículas puede quedar en el espacio vacío entre ellas. Es una posición calculada del sistema, no un nuevo cuerpo.

Si el resultado aparece muy lejos de todas las partículas con masas positivas, debemos revisar signos, unidades y el denominador.

3.12 Agrupar subsistemas

Podemos dividir un sistema grande en grupos, calcular el centro de masa y la masa total de cada grupo, y luego tratar cada grupo como si su masa estuviera concentrada en su propio centro de masa.

Si los grupos P y Q tienen masas M_P y M_Q, entonces:

Esta propiedad permite organizar cálculos jerárquicos y verificar implementaciones con muchos elementos.

3.13 Errores frecuentes y casos límite

• Promediar posiciones sin masas: solo funciona cuando todas son iguales.
• Dividir por N: el denominador general es la masa total, no la cantidad de partículas.
• Mezclar unidades: centímetros y metros deben convertirse antes del cálculo.
• Omitir signos: las coordenadas dependen del origen y del sentido de los ejes.
• Confundir masa con peso: la definición utiliza masas; en un campo gravitatorio uniforme podrían usarse pesos proporcionales, pero eso no constituye la definición general.
• Masa total nula: la fórmula no está definida si M = 0. Para partículas materiales ordinarias, las masas son positivas y este caso no aparece.

3.14 Calcular el centro de masa con JavaScript

Una función puede acumular simultáneamente la masa total y los momentos de masa respecto de cada eje.

const particulas = [
  { id: "A", masaKg: 2, posicionM: { x: 1, y: 1 } },
  { id: "B", masaKg: 1, posicionM: { x: 7, y: 1 } },
  { id: "C", masaKg: 3, posicionM: { x: 3, y: 5 } }
];

function centroDeMasa(sistema) {
  const suma = sistema.reduce(
    (acumulado, particula) => ({
      masaKg: acumulado.masaKg + particula.masaKg,
      momentoXKgM:
        acumulado.momentoXKgM +
        particula.masaKg * particula.posicionM.x,
      momentoYKgM:
        acumulado.momentoYKgM +
        particula.masaKg * particula.posicionM.y
    }),
    { masaKg: 0, momentoXKgM: 0, momentoYKgM: 0 }
  );

  if (suma.masaKg === 0) {
    throw new Error("La masa total debe ser mayor que cero");
  }

  return {
    x: suma.momentoXKgM / suma.masaKg,
    y: suma.momentoYKgM / suma.masaKg
  };
}

console.log(centroDeMasa(particulas));
// { x: 3, y: 3 }

La validación evita una división por cero. En una aplicación completa también conviene comprobar que masas y coordenadas sean números finitos y que todas utilicen las mismas unidades.

3.15 Laboratorio interactivo: mover masa y posición

Seleccioná una partícula y modificá sus coordenadas o su masa. La cruz amarilla representa el centro de masa y el círculo blanco representa el promedio de las posiciones sin ponderar.

El tamaño de cada círculo aumenta con la raíz cuadrada de su masa para representar el área de forma proporcional. Las líneas tenues forman la envolvente de las tres posiciones.

• Masas iguales: la cruz amarilla coincide con el promedio geométrico blanco.
• C muy masiva: el centro de masa se acerca a C sin necesidad de que las posiciones cambien.
• Ejemplo en una recta: las tres coordenadas y son iguales y el centro de masa queda sobre esa línea.
• Editá una posición: comprobá que el centro de masa permanece dentro del triángulo formado por las partículas.

3.16 Ejercicio propuesto

Cuatro partículas tienen los siguientes datos:

1. Calculá la masa total.
2. Calculá x_CM e y_CM.
3. Compará el resultado con el promedio aritmético de las cuatro posiciones.
4. Explicá por qué el centro de masa queda más cerca del borde superior.
5. Si todas las masas se duplican, ¿cambia la posición del centro de masa?

const particulas = [
  { masa: 1, x: 0, y: 0 },
  { masa: 1, x: 4, y: 0 },
  { masa: 2, x: 4, y: 3 },
  { masa: 2, x: 0, y: 3 }
];

const masaTotal = particulas.reduce(
  (suma, particula) => suma + particula.masa,
  0
);
const xCM = particulas.reduce(
  (suma, particula) => suma + particula.masa * particula.x,
  0
) / masaTotal;
const yCM = particulas.reduce(
  (suma, particula) => suma + particula.masa * particula.y,
  0
) / masaTotal;

console.log({ masaTotal, xCM, yCM });
// { masaTotal: 6, xCM: 2, yCM: 2 }

3.17 Ideas para recordar

• El centro de masa es una posición colectiva ponderada por las masas.
• La masa total M = Σm_i aparece en el denominador.
• Cada componente espacial se calcula por separado con los mismos pesos.
• Si todas las masas son iguales, el centro de masa coincide con el promedio de las posiciones.
• Una masa mayor desplaza el centro de masa hacia su posición.
• Para masas positivas, el centro de masa queda dentro de la envolvente convexa de las partículas.
• El centro de masa puede ocupar un punto vacío y no es una partícula adicional.
• Los subsistemas pueden reemplazarse por su masa total ubicada en su propio centro de masa.
• El origen cambia las coordenadas, pero no las relaciones físicas entre los puntos.