31. Fuerzas de arrastre, ley de Stokes y velocidad terminal

31.1 Movimiento relativo

El arrastre depende de la velocidad de la partícula respecto del fluido, no necesariamente respecto del suelo. Si la partícula tiene velocidad v_p y el fluido no perturbado v_f:

Una partícula puede estar inmóvil en el laboratorio y experimentar arrastre si el fluido circula alrededor de ella.

31.2 Qué origina el arrastre

La fuerza del fluido sobre un cuerpo posee contribuciones de presión y de esfuerzo viscoso. La componente resultante opuesta al movimiento relativo se denomina arrastre.

A Reynolds pequeño domina el corte viscoso distribuido; a Reynolds mayor, la separación, la estela y las diferencias de presión adquieren importancia. La proporción cambia con geometría y régimen.

31.3 Forma general con coeficiente de arrastre

La magnitud del arrastre suele escribirse:

ρ_f es la densidad del fluido, C_D el coeficiente de arrastre y A_p el área proyectada normal al movimiento. C_D contiene el efecto del régimen y la forma.

31.4 Área proyectada de una esfera

Para una esfera de diámetro d:

El área de la fórmula de arrastre es la sombra frontal πd²/4, no la superficie total πd². Confundirlas multiplica la fuerza por cuatro.

31.5 Reynolds de partícula

La escala característica es el diámetro y la velocidad es relativa:

Este Reynolds no debe confundirse con el calculado usando el diámetro y la velocidad media de una tubería. La misma partícula puede atravesar distintos regímenes mientras acelera.

31.6 Curva de arrastre

C_D no es constante en todo Reynolds. Para una esfera rígida y lisa, la curva atraviesa un régimen de Stokes, una zona intermedia, un intervalo aproximadamente newtoniano y cambios asociados con la capa límite y la estela.

Una correlación debe elegirse según Re, forma, rugosidad y condiciones del flujo. Un valor C_D ≈ 0,44 no sirve para partículas microscópicas en movimiento reptante.

31.7 Flujo reptante

Cuando Re_p ≪ 1, la inercia del fluido es despreciable frente a la viscosidad. El flujo alrededor de la esfera es suave, simétrico adelante y atrás, y no posee la gran estela separada típica de Reynolds altos.

Este límite se denomina flujo reptante o de Stokes. «Lento» significa pequeño Re, no únicamente una velocidad numéricamente pequeña.

31.8 Ley de Stokes

La solución del flujo reptante alrededor de una esfera rígida aislada entrega:

El arrastre es lineal con la velocidad y la viscosidad. La ley supone fluido newtoniano, esfera, no deslizamiento, dominio no confinado y Re_p muy pequeño.

31.9 Stokes expresado mediante C_D

Igualando la forma general y la fuerza de Stokes:

Por eso C_D crece al disminuir Re. No implica que el arrastre crezca al bajar la velocidad: al sustituir C_D ∝ 1/v en ½ρC_DAv² queda F_D ∝ v.

31.10 Peso y empuje

El peso de una esfera de densidad ρ_p es W = ρ_pV_pg. El empuje es B = ρ_fV_pg. La fuerza gravitatoria efectiva es:

Si ρ_p > ρ_f, la tendencia es descendente; si ρ_p < ρ_f, ascendente.

31.11 Qué es la velocidad terminal

Al comenzar el movimiento, el arrastre puede ser pequeño y la partícula acelera. A medida que aumenta v_rel, el arrastre crece hasta equilibrar la fuerza efectiva.

La aceleración relativa se anula, pero la velocidad no: la partícula continúa con rapidez terminal constante respecto del fluido.

31.12 Velocidad terminal de Stokes

Igualando |ρ_p − ρ_f|(πd³/6)g con 3πμdv_t:

La magnitud es positiva. La dirección es hacia abajo para partículas más densas y hacia arriba para partículas menos densas.

31.13 Dependencia con el tamaño

En Stokes, v_t ∝ d². Duplicar el diámetro cuadruplica la velocidad terminal si las demás variables permanecen y el nuevo Re sigue siendo pequeño.

Esta última condición es crucial: aumentar d también aumenta Re, por lo que la proporcionalidad cuadrática termina dejando de ser válida.

31.14 Sedimentación y ascenso

Una partícula sólida más densa sedimenta. Una gota, burbuja o partícula menos densa puede ascender. Para una esfera rígida ideal, la magnitud de Stokes utiliza |ρ_p − ρ_f|.

Una burbuja o gota real puede poseer circulación interna, interfaz móvil, deformación y tensión superficial. No siempre se comporta como una esfera rígida con no deslizamiento.

31.15 Tiempo de respuesta en Stokes

Si se ignoran masa agregada, historia y otras fuerzas, la ecuación de una esfera bajo arrastre de Stokes conduce al tiempo de respuesta:

Para una partícula liberada desde reposo en un fluido quieto:

31.16 La velocidad terminal no es instantánea

Después de un tiempo τ_p, la partícula alcanza aproximadamente 63,2 % de v_t. Para 95 % se necesita:

En partículas pequeñas este tiempo puede ser muy corto. En partículas grandes o densas, y fuera de Stokes, la respuesta debe obtenerse con la ley de arrastre apropiada.

31.17 Comprobación de consistencia

La velocidad de Stokes se calcula antes de conocer Re, pero su validez depende de ese Re. El procedimiento correcto es:

1. calcular v_t,St;
2. evaluar Re_p = ρ_fv_t,Std/μ;
3. aceptar Stokes solo si Re_p es suficientemente menor que 1 para la precisión buscada;
4. si no, usar una correlación de C_D y resolver iterativamente.

31.18 Velocidad terminal general de una esfera

Con la forma cuadrática del arrastre y el balance terminal:

Pero C_D depende de Re_p, que depende de v_t. La ecuación es implícita y requiere iteración, búsqueda de raíz o una correlación directa válida para el rango.

31.19 Correlación de Schiller–Naumann

Para una esfera, una aproximación frecuente hasta Re del orden de 1000 es:

Cuando Re → 0 recupera Stokes. Cerca y por encima de su límite debe emplearse una correlación más adecuada; tomar C_D ≈ 0,44 es solo una aproximación para cierto intervalo de Reynolds altos.

31.20 Ejemplo válido para Stokes

Una esfera de vidrio de d = 20 μm y ρ_p = 2500 kg/m³ cae en agua con ρ_f = 1000 kg/m³ y μ = 0,001 Pa·s.

• v_t,St = 3,270 × 10⁻⁴ m/s = 0,327 mm/s;
• Re_p = 0,00654, compatible con Stokes;
• Schiller–Naumann entrega aproximadamente 0,325 mm/s, una diferencia pequeña;
• la fuerza efectiva terminal es 6,17 × 10⁻¹¹ N.

31.21 Ejemplo donde Stokes falla

Si la esfera de vidrio mide 1,0 mm en la misma agua, Stokes predice 0,8175 m/s y Re ≈ 818. Esa propia comprobación invalida la hipótesis Re ≪ 1.

Resolviendo con Schiller–Naumann se obtiene aproximadamente v_t = 0,146 m/s, Re ≈ 146 y C_D ≈ 0,921. La extrapolación de Stokes sobrestima mucho la velocidad.

31.22 Forma y esfericidad

Partículas angulares, alargadas o planas presentan orientación, rotación y áreas proyectadas variables. Su C_D no coincide con el de una esfera del mismo volumen.

La esfericidad y otros descriptores permiten construir correlaciones empíricas. Reemplazar una partícula irregular por una esfera equivalente sin documentar el diámetro elegido introduce incertidumbre.

31.23 Efectos de pared

Si el recipiente no es mucho más ancho que la partícula, las paredes restringen el flujo de retorno y aumentan el arrastre. La velocidad terminal resulta menor que en un dominio infinito.

Los ensayos de caída de esfera utilizan correcciones que dependen de d/D_recipiente. La ley de Stokes aislada no corrige confinamiento.

31.24 Interacción entre partículas

En una suspensión concentrada, las estelas, el desplazamiento de fluido y las colisiones acoplan el movimiento. La sedimentación impedida suele ser más lenta que la de una partícula aislada.

La velocidad depende de la fracción volumétrica y de la microestructura. Sumar soluciones de partículas aisladas deja de ser válido cuando sus campos de flujo se superponen de manera importante.

31.25 Difusión browniana

Para partículas suficientemente pequeñas, las colisiones moleculares producen movimiento browniano. La sedimentación determinista compite con difusión térmica.

En coloides, una velocidad terminal media puede existir, pero la trayectoria individual presenta fluctuaciones. La importancia relativa puede evaluarse con escalas de difusión y números adimensionales adicionales.

31.26 Fluidos no newtonianos

Stokes supone μ constante. En un fluido de ley de potencia, con esfuerzo umbral o dependiente del tiempo, el campo alrededor de la partícula modifica la viscosidad aparente.

Se requieren correlaciones y números de Reynolds generalizados. Sustituir simplemente una «viscosidad aparente» sin especificar la tasa de corte puede no ser coherente.

31.27 Otras fuerzas posibles

En movimientos no estacionarios o no uniformes pueden intervenir masa agregada, fuerza de historia, sustentación por corte, gradientes de presión y termofóresis, entre otras.

El modelo peso–empuje–arrastre es muy útil, pero debe justificarse comparando escalas. En partículas cuya densidad se aproxima a la del fluido, fuerzas normalmente pequeñas pueden volverse relevantes.

31.28 Medición mediante caída de esfera

Si Stokes es válido, medir una velocidad terminal conocida permite despejar viscosidad:

El ensayo debe asegurar velocidad terminal, temperatura estable, diámetro conocido y correcciones por paredes y extremos. Cronometrar antes de alcanzar el régimen terminal sesga el resultado.

31.29 Errores frecuentes

• usar la velocidad de laboratorio en lugar de la relativa al fluido;
• confundir área proyectada con superficie total;
• usar densidad de la partícula en Re en lugar de la del fluido;
• omitir el empuje al calcular la fuerza efectiva;
• aplicar Stokes sin comprobar Re_p;
• suponer C_D constante en todos los regímenes;
• tratar una burbuja deformable como esfera rígida;
• ignorar paredes, concentración y temperatura;
• suponer que velocidad terminal significa fuerza de arrastre nula.

31.30 Resolver velocidad terminal con JavaScript

function coeficienteArrastreEsfera(reynolds) {
  if (reynolds <= 0) return Infinity;
  if (reynolds < 1000) {
    return 24 / reynolds * (1 + 0.15 * reynolds ** 0.687);
  }
  return 0.44; // aproximación simple para el ejemplo
}

function velocidadTerminal({ d, rhoParticula, rhoFluido, mu, g = 9.81 }) {
  const diferencia = Math.abs(rhoParticula - rhoFluido);
  if (diferencia === 0) return { velocidad: 0, reynolds: 0, cd: Infinity };
  const area = Math.PI * d ** 2 / 4;
  const fuerzaEfectiva = diferencia * Math.PI * d ** 3 / 6 * g;
  let inferior = 0;
  let superior = diferencia * g * d ** 2 / (18 * mu);
  const arrastre = velocidad => {
    const re = rhoFluido * velocidad * d / mu;
    return 0.5 * rhoFluido * coeficienteArrastreEsfera(re) * area * velocidad ** 2;
  };
  while (arrastre(superior) < fuerzaEfectiva) superior *= 2;
  for (let i = 0; i < 80; i++) {
    const media = (inferior + superior) / 2;
    if (arrastre(media) < fuerzaEfectiva) inferior = media;
    else superior = media;
  }
  const velocidad = (inferior + superior) / 2;
  const reynolds = rhoFluido * velocidad * d / mu;
  return { velocidad, reynolds, cd: coeficienteArrastreEsfera(reynolds) };
}

const r = velocidadTerminal({ d: 1e-3, rhoParticula: 2500, rhoFluido: 1000, mu: 1e-3 });
console.log(`Velocidad: ${r.velocidad.toFixed(4)} m/s`);
console.log(`Reynolds: ${r.reynolds.toFixed(1)}`);
console.log(`Cd: ${r.cd.toFixed(3)}`);

Salida:

Velocidad: 0.1459 m/s
Reynolds: 145.9
Cd: 0.921

31.31 Laboratorio de arrastre y velocidad terminal

El laboratorio compara Stokes con una solución por balance de fuerzas. Usa Schiller–Naumann para Re < 1000 y C_D = 0,44 como aproximación por encima; no sustituye una correlación especializada.

31.32 Procedimiento de resolución

1. Definir la velocidad relativa y la dirección probable del movimiento.
2. Calcular volumen, área proyectada, peso y empuje.
3. Probar Stokes y obtener una primera velocidad terminal.
4. Evaluar Re_p con esa velocidad.
5. Si Re no es suficientemente pequeño, elegir una correlación válida de C_D.
6. Resolver el balance implícito e iterar hasta convergencia.
7. Comprobar el nuevo Re y el rango de la correlación.
8. Evaluar paredes, forma, concentración y propiedades a la temperatura real.

31.33 Ejercicio propuesto

Un grano esférico de arena con d = 0,200 mm y ρ_p = 2650 kg/m³ cae en agua de ρ_f = 998 kg/m³ y μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s.

1. Calculá la velocidad de Stokes y el Reynolds correspondiente.
2. Decidí si Stokes es consistente.
3. Usá Schiller–Naumann para encontrar iterativamente la velocidad terminal.
4. Calculá el nuevo Re, C_D y la fuerza efectiva.
5. Explicá por qué ambas velocidades son diferentes.

const d = 0.2e-3;
const rhoP = 2650;
const rhoF = 998;
const mu = 1.002e-3;
const g = 9.81;
const vStokes = (rhoP - rhoF) * g * d ** 2 / (18 * mu);
const reStokes = rhoF * vStokes * d / mu;

let velocidadCorregida = vStokes;
let reCorregido;
let cd;
for (let i = 0; i < 100; i++) {
  reCorregido = rhoF * velocidadCorregida * d / mu;
  cd = 24 / reCorregido * (1 + 0.15 * reCorregido ** 0.687);
  velocidadCorregida = Math.sqrt(4 * d * g * (rhoP - rhoF) / (3 * rhoF * cd));
}
reCorregido = rhoF * velocidadCorregida * d / mu;
cd = 24 / reCorregido * (1 + 0.15 * reCorregido ** 0.687);

console.log(`Stokes: ${vStokes.toFixed(5)} m/s, Re = ${reStokes.toFixed(2)}`);
console.log(`Corregida: ${velocidadCorregida.toFixed(5)} m/s`);
console.log(`Re = ${reCorregido.toFixed(2)}, Cd = ${cd.toFixed(2)}`);

31.34 Ideas para recordar

• El arrastre se opone a la velocidad relativa entre partícula y fluido.
• La forma general es F_D = ½ρ_fC_DA_pv_rel².
• Para una esfera en flujo reptante, F_D = 3πμdv y C_D = 24/Re_p.
• La velocidad terminal aparece cuando peso, empuje y arrastre se equilibran.
• En Stokes, v_t = |ρ_p − ρ_f|gd²/(18μ).
• Siempre debe recalcularse Re con la velocidad obtenida.
• Fuera de Stokes, C_D depende de Re y la solución es implícita.
• Forma, paredes, concentración e interfaz pueden modificar la velocidad.
• Velocidad terminal no significa ausencia de fuerzas, sino fuerza resultante nula.

En el próximo tema comenzaremos a representar partículas y propiedades de fluidos mediante estructuras de datos en JavaScript.