4. Centro de masa de cuerpos con distribución continua

4.1 De partículas separadas a un cuerpo continuo

En el tema anterior calculamos el centro de masa sumando los aportes de partículas identificables. Una barra, una lámina o un volumen de líquido contienen una cantidad enorme de partículas microscópicas. Enumerarlas no es práctico ni necesario para muchas preguntas macroscópicas.

Podemos dividir mentalmente el cuerpo en porciones pequeñas. Cada porción tiene una masa y una posición aproximada, por lo que el método discreto sigue siendo aplicable. Al utilizar porciones cada vez más pequeñas, la suma se aproxima a una descripción continua.

4.2 Densidad: masa distribuida en el espacio

La densidad relaciona una pequeña cantidad de masa con el tamaño de la región que la contiene. Según la geometría del modelo utilizamos:

La densidad puede ser constante o variar con la posición. Una barra del mismo material y sección uniforme suele modelarse con λ constante; una barra cuya sección o material cambia necesita una función λ(x).

4.3 El elemento diferencial de masa

Representamos una porción muy pequeña mediante dm. Su relación con la geometría depende del tipo de distribución:

dl, dA y dV representan pequeñas longitudes, áreas y volúmenes. Si la densidad varía, debe evaluarse en la posición de esa porción.

El producto conserva unidades de masa. Por ejemplo, (kg/m)(m) = kg. Esta comprobación ayuda a elegir la densidad correcta.

4.4 De la suma a la integral

Para pequeñas porciones discretas escribiríamos:

Al reducir el tamaño de las porciones, la suma se convierte en una integral:

La integral puede entenderse como el límite de una suma de muchos aportes pequeños. Aunque una integral analítica no siempre sea sencilla, la suma aproximada puede calcularse directamente con un programa.

4.5 Una barra sobre el eje x

Para una barra delgada ubicada entre x = a y x = b, usamos dm = λ(x) dx:

El numerador es el primer momento de masa respecto del origen. Sus unidades son kg·m. Al dividir por kg obtenemos una posición.

La elección del origen modifica a y b y las coordenadas resultantes, pero no cambia la ubicación física del centro de masa respecto de la barra.

4.6 Barra uniforme

Consideremos una barra de longitud L, densidad lineal constante λ y extremo izquierdo en x = 0. Por simetría, el centro de masa debe estar en el punto medio.

La integral confirma esa predicción:

La densidad λ se cancela. Aumentar uniformemente toda la masa no desplaza el centro de masa.

4.7 Barra con densidad lineal variable

Supongamos una barra de longitud L cuya densidad cambia linealmente desde λ_izq hasta λ_der:

Para L = 6 m, λ_izq = 1 kg/m y λ_der = 3 kg/m, la masa es 12 kg y x_CM = 3,5 m. El centro queda a la derecha del punto medio porque allí la densidad es mayor.

4.8 Láminas y densidad superficial

Para una lámina delgada utilizamos dm = σ(x,y)dA. Las coordenadas se calculan mediante:

El símbolo de integral doble indica que sumamos aportes distribuidos sobre un área. Si σ es constante, puede cancelarse entre numerador y denominador y la ubicación depende solamente de la geometría.

4.9 Cuerpos tridimensionales

Para una distribución volumétrica, dm = ρ(x,y,z)dV:

Si el cuerpo es homogéneo, ρ es constante. Si contiene materiales distintos, cavidades o variaciones internas, debemos representar esa distribución por regiones o mediante una función de densidad.

4.10 Usar la simetría antes de integrar

La simetría puede determinar algunas coordenadas sin cálculo:

• una barra uniforme tiene su centro de masa en el punto medio;
• un disco homogéneo lo tiene en su centro geométrico;
• una esfera homogénea lo tiene en su centro;
• si el cuerpo es simétrico respecto de un plano, el centro de masa pertenece a ese plano.

La geometría y la densidad deben compartir la simetría. Un disco circular con una mitad más densa conserva la forma simétrica, pero no la distribución de masa.

4.11 Centroide y centro de masa

El centroide describe el centro geométrico de una línea, área o volumen. El centro de masa describe la distribución de masa.

Ambos coinciden cuando la densidad es uniforme. Si la densidad cambia, el centroide puede permanecer fijo mientras el centro de masa se desplaza hacia las regiones más densas.

4.12 Cuerpos compuestos

Un cuerpo puede dividirse en piezas simples. Si conocemos la masa M_j y el centro de masa r_j de cada pieza, tratamos las piezas como un sistema discreto:

Esta estrategia evita integrar toda una geometría complicada de una sola vez. Es válida porque el aporte de cada pieza puede concentrarse, para este cálculo, en su propio centro de masa.

Las piezas deben cubrir el cuerpo sin superponerse, o la masa de las zonas superpuestas se contaría más de una vez.

4.13 Cavidades y masa sustraída

Una placa con un agujero puede analizarse como una placa completa menos la porción retirada. En el cálculo algebraico, la cavidad se representa con una masa negativa situada en el centro de masa del material ausente.

La masa negativa es solamente una herramienta contable. La cavidad no contiene materia con masa física negativa.

4.14 Comprobaciones y casos límite

• Unidades: ∫x dm tiene unidades kg·m; al dividir por M queda una longitud.
• Simetría: el resultado debe respetar los ejes o planos simétricos de la distribución.
• Uniformidad: si la densidad variable se vuelve constante, debe recuperarse el centroide.
• Concentración: si casi toda la masa se acumula cerca de una región, el centro debe acercarse a ella.
• Ubicación: con densidad positiva, el centro queda dentro de la envolvente convexa del cuerpo.
• Discretización: al aumentar la cantidad de porciones, una aproximación numérica estable debe converger.

4.15 Aproximar una distribución con JavaScript

El método del punto medio divide la barra en segmentos de ancho dx. La masa de cada segmento se aproxima mediante λ(x)dx y se aplica la fórmula discreta.

function centroDeMasaBarra({
  longitudM,
  densidadKgPorM,
  segmentos
}) {
  const dx = longitudM / segmentos;
  let masaKg = 0;
  let momentoKgM = 0;

  for (let i = 0; i < segmentos; i += 1) {
    const xM = (i + 0.5) * dx;
    const dmKg = densidadKgPorM(xM) * dx;

    masaKg += dmKg;
    momentoKgM += xM * dmKg;
  }

  if (masaKg <= 0) {
    throw new Error("La masa debe ser positiva");
  }

  return {
    masaKg,
    posicionM: momentoKgM / masaKg
  };
}

const resultado = centroDeMasaBarra({
  longitudM: 6,
  densidadKgPorM: x => 1 + x / 3,
  segmentos: 1000
});

console.log(resultado);
// Aproximadamente { masaKg: 12, posicionM: 3.5 }

El código no necesita encontrar una antiderivada. A cambio, produce un error numérico que podemos estimar repitiendo el cálculo con más segmentos.

4.16 Laboratorio interactivo: barra de densidad variable

La barra tiene densidad lineal que cambia de manera uniforme entre sus extremos. Los rectángulos muestran la discretización utilizada por el método del punto medio.

La marca blanca indica el centro geométrico y la marca amarilla el centro de masa exacto. Los puntos celestes representan las pequeñas masas utilizadas en la aproximación numérica.

• Igualá las densidades: el centro de masa coincide con el centro geométrico.
• Intercambiá los extremos: el desplazamiento respecto del centro cambia de sentido.
• Usá pocos segmentos: la aproximación se vuelve visible y el error aumenta.
• Aumentá los segmentos: la suma numérica converge hacia el resultado exacto.

4.17 Ejercicio propuesto

Una barra de 4 m comienza en x = 0 y posee densidad lineal λ(x) = (2 kg/m) + (1 kg/m²)x.

1. ¿Cuál es la densidad en cada extremo?
2. Usá las fórmulas de variación lineal para calcular la masa total.
3. Calculá x_CM.
4. Compará el resultado con el centro geométrico.
5. Explicá hacia qué extremo se desplaza y por qué.

const longitudM = 4;
const densidadIzquierda = 2;
const densidadDerecha = 6;

const masaKg =
  longitudM *
  (densidadIzquierda + densidadDerecha) / 2;

const centroM =
  longitudM *
  (densidadIzquierda + 2 * densidadDerecha) /
  (3 * (densidadIzquierda + densidadDerecha));

console.log({ masaKg, centroM });
// { masaKg: 16, centroM: 2.3333333333333335 }

4.18 Ideas para recordar

• Una distribución continua puede aproximarse mediante muchas porciones pequeñas.
• Las densidades lineal, superficial y volumétrica relacionan masa con longitud, área y volumen.
• La integral es el límite de la suma de aportes dm.
• El centro de masa continuo cumple r_CM = (1/M)∫r dm.
• La simetría puede determinar coordenadas antes de realizar cálculos.
• Centroide y centro de masa coinciden solamente cuando la densidad es uniforme.
• Los cuerpos compuestos pueden tratarse como sistemas discretos de piezas.
• Una cavidad puede representarse algebraicamente como masa sustraída.
• La integración numérica aproxima el resultado y permite controlar el error aumentando la resolución.