5. Movimiento del centro de masa y fuerza externa resultante

5.1 Del lugar donde está la masa a cómo se mueve

El centro de masa resume la distribución de masa en un instante. Si las partículas cambian de posición, ese punto también puede moverse. La pregunta central de este tema es qué determina ese movimiento global.

Un sistema puede vibrar, girar, deformarse o incluso separarse en fragmentos. A pesar de esa complejidad interna, el centro de masa obedece una ecuación sencilla cuando la masa total permanece constante.

5.2 Recordar la posición del centro de masa

Para N partículas con masa constante, la posición vectorial del centro de masa es:

La misma relación vale componente por componente. Si las posiciones dependen del tiempo, r_CM también es una función del tiempo.

5.3 Velocidad del centro de masa

Durante un intervalo pequeño Δt, cada partícula se desplaza y el centro de masa cambia según el promedio ponderado de esos desplazamientos. Para masas constantes:

La velocidad del centro de masa es el promedio de las velocidades ponderado por las masas. No coincide en general con el promedio aritmético de las velocidades.

Al multiplicar por M aparece una relación conocida:

La cantidad de movimiento total P equivale a la de una partícula de masa M que se moviera con v_CM.

5.4 Aceleración del centro de masa

Si las velocidades cambian, obtenemos de manera análoga:

Esta ecuación todavía describe una combinación cinemática. Para conocer la causa de la aceleración debemos aplicar la segunda ley de Newton a cada partícula.

5.5 Segunda ley para cada partícula

Sobre la partícula i actúan fuerzas externas al sistema y fuerzas ejercidas por las demás partículas del sistema:

Al sumar las ecuaciones de todas las partículas, el lado izquierdo se convierte en Σm_ia_i = Ma_CM. En el lado derecho aparecen la suma de las fuerzas externas y todos los pares internos.

5.6 Cancelación de los pares internos

Si las interacciones internas cumplen la tercera ley de Newton, la fuerza de i sobre j es opuesta a la de j sobre i:

Al sumar todas las ecuaciones, cada par interno aporta cero a la fuerza resultante del sistema. Esto no significa que las fuerzas internas no produzcan efectos: pueden cambiar separaciones, velocidades relativas, rotaciones, deformaciones y energía interna.

La cancelación ocurre en el balance global porque ambas fuerzas pertenecen al mismo sistema.

5.7 Ecuación de movimiento del centro de masa

Después de cancelar los pares internos queda:

Esta es la segunda ley de Newton aplicada al sistema completo. Permite estudiar la traslación global sin resolver primero todos los movimientos internos.

5.8 Interpretación y alcance

La ecuación afirma que el centro de masa acelera como una partícula ficticia de masa M sometida a la fuerza externa resultante. No afirma que toda la masa esté físicamente ubicada allí ni que el sistema se comporte como un cuerpo rígido.

5.9 Fuerza externa resultante nula

Si F_{ext,resultante} = 0, entonces a_CM = 0. La velocidad del centro de masa permanece constante:

El sistema puede tener una actividad interna intensa y aun así su centro de masa permanecer en reposo o moverse en línea recta con velocidad constante. Dos patinadores pueden empujarse y separarse; si el impulso externo horizontal es despreciable, el centro de masa común conserva su movimiento.

5.10 Fuerza externa constante

Si la masa total y la fuerza externa resultante son constantes, la aceleración del centro de masa también es constante:

Estas son las ecuaciones cinemáticas conocidas, aplicadas ahora a una magnitud colectiva.

5.11 Fragmentos de un proyectil

Un objeto lanzado puede explotar en varios fragmentos durante el vuelo. Las fuerzas de la explosión son internas si el sistema incluye todos los fragmentos. Pueden cambiar radicalmente sus trayectorias individuales, pero no producen por sí mismas una aceleración adicional del centro de masa.

Si despreciamos la resistencia del aire, la única fuerza externa significativa es el peso total. Por eso el centro de masa de los fragmentos continúa la trayectoria que habría seguido el objeto bajo la gravedad.

Este resultado requiere incluir todos los fragmentos. Si elegimos uno solo, las fuerzas de la explosión ejercidas por los otros son externas para ese sistema más pequeño.

5.12 La frontera decide qué fuerza es externa

Dos carros unidos por un resorte ilustran la importancia de la elección:

• para el sistema formado por un carro, la fuerza del resorte es externa;
• para el sistema de los dos carros y el resorte, esa interacción es interna;
• una persona que empuja uno de los carros ejerce una fuerza externa sobre el conjunto;
• el rozamiento del piso es externo si el piso queda fuera.

Antes de usar F_ext = Ma_CM debemos nombrar el sistema y sumar solamente las fuerzas que cruzan su frontera.

5.13 Movimiento interno y movimiento global

La posición de cada partícula puede expresarse como la suma de la posición del centro de masa y una posición relativa:

Las posiciones relativas ponderadas cumplen Σm_ir′_i = 0. Así separamos:

• la traslación global, descrita por r_CM;
• el movimiento interno, descrito por r′_i.

Las partículas pueden girar alrededor del centro, oscilar o cambiar de distancia sin alterar la regla que gobierna la traslación global.

5.14 Supuestos y sistemas de masa variable

La derivación anterior supone que seguimos el mismo conjunto de partículas y que sus masas son constantes. Es apropiada para un sistema material cerrado.

En un sistema abierto, como un cohete que expulsa combustible o un chorro que atraviesa una región, la masa dentro de la frontera cambia. No basta con sustituir una M variable en F = Ma: también debe contabilizarse la cantidad de movimiento transportada por la materia que entra o sale.

Esos balances requieren un tratamiento específico. En este tema trabajaremos con sistemas cerrados de masa total constante.

5.15 Calcular la dinámica global con JavaScript

Podemos sumar fuerzas externas, obtener la aceleración del centro de masa y actualizar su estado sin calcular primero las fuerzas internas.

const sistema = {
  particulas: [
    { masaKg: 2 },
    { masaKg: 1 },
    { masaKg: 3 }
  ],
  centroDeMasa: {
    posicionM: { x: 2, y: 4 },
    velocidadMps: { x: 0.8, y: 0 }
  }
};

const fuerzasExternasN = [
  { x: 1.2, y: 0 },
  { x: 0, y: -0.6 }
];

const sumarVectores = vectores =>
  vectores.reduce(
    (suma, vector) => ({
      x: suma.x + vector.x,
      y: suma.y + vector.y
    }),
    { x: 0, y: 0 }
  );

const masaTotalKg = sistema.particulas.reduce(
  (suma, particula) => suma + particula.masaKg,
  0
);
const fuerzaResultanteN = sumarVectores(fuerzasExternasN);
const aceleracionCM = {
  x: fuerzaResultanteN.x / masaTotalKg,
  y: fuerzaResultanteN.y / masaTotalKg
};

console.log({ masaTotalKg, fuerzaResultanteN, aceleracionCM });
// M = 6 kg; aCM = (0.2, -0.1) m/s²

Las unidades y los nombres distinguen masa, fuerza y aceleración. En una simulación temporal, el siguiente paso sería integrar la velocidad y la posición del centro de masa.

5.16 Laboratorio interactivo: movimiento interno y externo

Tres partículas de igual masa giran alrededor de su centro de masa. La rotación representa movimiento interno prescrito. Ajustá la fuerza externa y observá que solamente ella determina la aceleración de la cruz amarilla.

La curva amarilla muestra la trayectoria del centro de masa. Las partículas permanecen distribuidas simétricamente a su alrededor, de modo que su rotación interna no desplaza la cruz amarilla.

• Anulá la fuerza: el centro de masa mantiene una velocidad constante.
• Cambiá la rapidez interna: cambia el giro de las partículas, pero no la trayectoria del centro de masa.
• Aumentá la masa: la misma fuerza produce una aceleración global menor.
• Cambiá la dirección de la fuerza: la trayectoria se curva hacia la nueva resultante.

5.17 Ejercicio propuesto

Un sistema cerrado está formado por tres partículas de 2 kg, 3 kg y 5 kg. Su centro de masa parte con posición r₀ = (1 m, 2 m) y velocidad v₀ = (4 m/s, 1 m/s). Sobre el sistema actúa una fuerza externa constante F_ext = (20 N, −10 N).

1. Calculá la masa total.
2. Calculá la aceleración del centro de masa.
3. Determiná su velocidad después de 3 s.
4. Determiná su posición después de 3 s.
5. ¿Cambiarían estos resultados si las partículas ejercieran fuerzas internas más intensas entre sí?

const masaTotalKg = 2 + 3 + 5;
const fuerzaN = { x: 20, y: -10 };
const posicionInicialM = { x: 1, y: 2 };
const velocidadInicialMps = { x: 4, y: 1 };
const tiempoS = 3;

const aceleracionMps2 = {
  x: fuerzaN.x / masaTotalKg,
  y: fuerzaN.y / masaTotalKg
};
const velocidadMps = {
  x: velocidadInicialMps.x + aceleracionMps2.x * tiempoS,
  y: velocidadInicialMps.y + aceleracionMps2.y * tiempoS
};
const posicionM = {
  x: posicionInicialM.x +
    velocidadInicialMps.x * tiempoS +
    0.5 * aceleracionMps2.x * tiempoS ** 2,
  y: posicionInicialM.y +
    velocidadInicialMps.y * tiempoS +
    0.5 * aceleracionMps2.y * tiempoS ** 2
};

console.log({ aceleracionMps2, velocidadMps, posicionM });

5.18 Ideas para recordar

• La velocidad del centro de masa es el promedio de velocidades ponderado por las masas.
• La cantidad de movimiento total cumple P = Mv_CM.
• Para masa constante, a_CM = Σm_ia_i/M.
• Los pares de fuerzas internas se cancelan en la suma global.
• La ecuación fundamental es F_{ext,resultante} = Ma_CM.
• Si la fuerza externa resultante es nula, el centro de masa conserva su velocidad.
• El movimiento interno puede ser complejo sin cambiar la ley de traslación global.
• La clasificación de una fuerza depende de la frontera del sistema.
• Los sistemas abiertos o de masa variable requieren contabilizar el transporte de cantidad de movimiento.