7. Momento angular de un sistema de partículas

7.1 Movimiento respecto de un punto

La cantidad de movimiento p = mv describe la traslación de una partícula, pero no distingue si pasa cerca o lejos de un punto. Dos partículas con la misma masa y velocidad pueden producir efectos rotacionales diferentes respecto de un origen.

El momento angular incorpora la posición relativa y la cantidad de movimiento. Sirve para describir órbitas, rotaciones y movimientos de sistemas cuyas partículas no se trasladan todas de la misma forma.

7.2 Momento angular de una partícula

Respecto de un origen O, una partícula con posición relativa r y cantidad de movimiento p posee:

El símbolo × representa el producto vectorial. El subíndice O recuerda que la posición r se mide desde el origen elegido hasta la partícula.

Si cambiamos el origen, cambia r y puede cambiar L. Por eso siempre debemos indicar respecto de qué punto o eje calculamos el momento angular.

7.3 Módulo y brazo perpendicular

El módulo del producto vectorial es:

θ es el ángulo entre r y v. También podemos escribir:

d_⊥ es la distancia perpendicular desde el origen hasta la línea de movimiento. Una trayectoria más alejada del origen produce mayor momento angular para la misma cantidad de movimiento.

7.4 Dirección y regla de la mano derecha

L es perpendicular al plano formado por r y p. Su sentido se obtiene curvando los dedos de la mano derecha desde r hacia p por el giro más corto; el pulgar indica L.

En un problema contenido en el plano xy, L apunta sobre el eje z:

• giro antihorario: L apunta hacia +z, fuera de la pantalla;
• giro horario: L apunta hacia −z, dentro de la pantalla.

Esta convención permite representar el vector tridimensional mediante un número con signo L_z.

7.5 Cálculo en dos dimensiones

Si r = (x, y) y p = (p_x, p_y), la componente perpendicular al plano es:

Las coordenadas x e y deben medirse desde el origen de referencia. Un resultado positivo representa tendencia antihoraria y uno negativo, tendencia horaria.

7.6 Unidades y dimensiones

El momento angular combina longitud y cantidad de movimiento:

No debe confundirse con el torque, cuya unidad es N·m = kg·m²/s². Aunque ambos contienen productos de fuerza o movimiento por distancia, representan magnitudes distintas.

7.7 Movimiento radial y movimiento tangencial

Si la velocidad es paralela o antiparalela a r, el ángulo es 0° o 180° y sen θ = 0. La partícula se mueve directamente hacia el origen o se aleja de él, y su momento angular respecto de ese origen es cero.

Si la velocidad es perpendicular a r, sen θ = 1 y el módulo es máximo para valores fijos de m, r y v:

Solo la componente tangencial de la velocidad contribuye: L = mr v_t.

7.8 Partícula en movimiento circular

En un movimiento circular de radio r alrededor del origen, la rapidez tangencial cumple v = rω. Entonces:

El factor mr² mide cómo influye la masa y su distancia al eje. Para una sola partícula suele escribirse I = mr², de modo que L = Iω. En un sistema de partículas que gira con la misma velocidad angular, los aportes se suman.

7.9 Momento angular de un sistema

El momento angular total respecto de O es la suma vectorial de los momentos angulares individuales:

En dos dimensiones:

Los aportes positivos y negativos pueden reforzarse o cancelarse. Un total igual a cero no implica que todas las partículas tengan L = 0.

7.10 Ejemplo con aportes opuestos

Dos partículas de 2 kg están en (2 m, 0) y (−2 m, 0). La primera tiene velocidad (0, 3 m/s) y la segunda (0, 3 m/s), respecto del origen (0, 0).

Sus momentos son:

Las partículas tienen cantidad de movimiento total distinta de cero, pero sus momentos angulares respecto del origen se cancelan.

7.11 Dependencia con el origen

Si trasladamos el origen mediante un vector a, las posiciones relativas se transforman como r′_i = r_i − a. El momento angular total cambia según:

P es la cantidad de movimiento total. Si P = 0, el momento angular total tiene el mismo valor respecto de cualquier origen trasladado sin rotar los ejes. Si P ≠ 0, la elección del origen importa.

Esta propiedad explica por qué no debemos informar un momento angular sin indicar el punto de referencia.

7.12 Separar traslación global y movimiento interno

Elegimos un origen O y descomponemos cada posición y velocidad:

El momento angular total puede escribirse:

El primer término corresponde al movimiento del centro de masa respecto de O. El segundo describe el movimiento de las partículas respecto del centro de masa. Esta separación distingue momento angular orbital global y momento angular interno.

7.13 Sistemas continuos

Para una distribución continua reemplazamos la suma por una integral:

Podemos aproximarla dividiendo el cuerpo en pequeñas porciones. Cada porción aporta ΔL ≈ r × v Δm. El procedimiento numérico es el mismo patrón usado para calcular el centro de masa continuo.

7.14 Procedimiento de cálculo

1. elegir el sistema y el origen respecto del cual se calculará L;
2. expresar todas las posiciones relativas en el mismo sistema de coordenadas;
3. calcular p_i = m_iv_i para cada partícula;
4. calcular r_i × p_i con dirección y signo;
5. sumar vectorialmente todos los aportes;
6. comprobar unidades, signos, simetrías y casos radiales.

En dos dimensiones, una tabla con columnas m, x, y, v_x, v_y y L_z reduce errores.

7.15 Errores frecuentes

• Omitir el origen: r debe ser relativo al punto elegido.
• Usar r · p: el momento angular emplea producto vectorial, no producto escalar.
• Intercambiar el orden: p × r = −r × p.
• Sumar módulos: los momentos angulares se suman como vectores o con signos en 2D.
• Confundir trayectoria con giro: una trayectoria recta puede tener L distinto de cero respecto de un punto exterior.
• Confundir L con torque: el torque describe la rapidez de cambio del momento angular y se estudiará en el tema siguiente.

7.16 Calcular el momento angular con JavaScript

En dos dimensiones basta calcular la componente z del producto vectorial.

function momentoAngularZ(particula, origen) {
  const rx = particula.posicionM.x - origen.x;
  const ry = particula.posicionM.y - origen.y;
  const px = particula.masaKg * particula.velocidadMps.x;
  const py = particula.masaKg * particula.velocidadMps.y;

  return rx * py - ry * px;
}

function momentoAngularTotalZ(sistema, origen) {
  return sistema.reduce(
    (suma, particula) =>
      suma + momentoAngularZ(particula, origen),
    0
  );
}

const particulas = [
  {
    masaKg: 2,
    posicionM: { x: 2, y: 0 },
    velocidadMps: { x: 0, y: 3 }
  },
  {
    masaKg: 2,
    posicionM: { x: -2, y: 0 },
    velocidadMps: { x: 0, y: 3 }
  }
];

console.log(
  momentoAngularTotalZ(particulas, { x: 0, y: 0 })
);
// 0 kg·m²/s

La resta del origen hace explícita la referencia. La misma función puede evaluarse con distintos orígenes para estudiar cómo cambia el resultado.

7.17 Laboratorio interactivo: posición, velocidad y origen

Editá una partícula y mové el origen de referencia. Las líneas discontinuas son los vectores de posición relativos; las flechas indican velocidades.

Los círculos aumentan de tamaño con la masa. Una marca circular con punto indica L_z positivo, hacia fuera de la pantalla; una marca con cruz indica L_z negativo, hacia dentro.

• Mové el origen: las posiciones físicas no cambian, pero sí los vectores relativos y, en general, L.
• Hacé radial una velocidad: su partícula aporta L = 0 respecto de O.
• Aumentá una masa: su contribución angular aumenta en la misma proporción.
• Usá aportes opuestos: el momento total puede ser cero aunque cada partícula tenga un valor no nulo.

7.18 Ejercicio propuesto

Respecto del origen O = (0, 0), tres partículas tienen los siguientes datos:

1. Calculá L_z de cada partícula.
2. Calculá el momento angular total.
3. Indicá el sentido asociado a cada aporte.
4. Explicá por qué C no aporta momento angular respecto de O.
5. ¿Qué dato adicional necesitarías para calcular L respecto de otro origen?

const particulas = [
  { masa: 2, x: 3, y: 0, vx: 0, vy: 4 },
  { masa: 1, x: 0, y: 2, vx: -3, vy: 0 },
  { masa: 4, x: 1, y: 1, vx: 2, vy: 2 }
];

const momentoAngularTotalZ = particulas.reduce(
  (suma, particula) =>
    suma +
    particula.masa *
      (particula.x * particula.vy -
       particula.y * particula.vx),
  0
);

console.log(momentoAngularTotalZ);
// 30 kg·m²/s

7.19 Ideas para recordar

• El momento angular de una partícula respecto de O es L_O = r × p.
• Su unidad SI es kg·m²/s.
• En dos dimensiones, L_z = m(xv_y − yv_x).
• El signo positivo representa sentido antihorario y el negativo, horario.
• El movimiento radial respecto del origen tiene momento angular cero.
• El momento angular total es la suma vectorial de los aportes individuales.
• Un total cero puede resultar de aportes no nulos que se cancelan.
• El valor depende del origen cuando la cantidad de movimiento total no es cero.
• L_O puede separarse en el aporte del centro de masa y el movimiento relativo a él.