8. Torque externo y conservación del momento angular

8.1 Qué puede cambiar el momento angular

En el tema anterior definimos el momento angular respecto de un origen. Ahora buscamos la causa de su variación. Así como una fuerza resultante cambia la cantidad de movimiento lineal, un torque resultante cambia el momento angular.

Una fuerza puede producir mucho, poco o ningún cambio angular según dónde y en qué dirección se aplique. Empujar una puerta cerca de las bisagras no produce el mismo efecto que empujarla lejos de ellas.

8.2 Torque de una fuerza

Respecto de un origen O, el torque de una fuerza F aplicada en una posición relativa r es:

Su módulo es:

θ es el ángulo entre r y F, y d_⊥ es la distancia perpendicular desde el origen hasta la línea de acción de la fuerza.

8.3 Dirección, signo y unidad

La dirección de τ se obtiene con la regla de la mano derecha aplicada desde r hacia F. En el plano xy usamos la componente:

Un torque positivo tiende a cambiar el momento angular en sentido antihorario; uno negativo, en sentido horario.

La unidad SI es N·m. Aunque tiene las mismas dimensiones que el joule, el torque no es energía: se trata de una magnitud vectorial asociada a una fuerza y un brazo.

8.4 Fuerzas que no producen torque

Una fuerza produce torque nulo respecto de O cuando:

• se aplica en el origen, de modo que r = 0;
• su línea de acción pasa por el origen;
• es paralela o antiparalela a r.

Una fuerza puede ser grande y aun así tener torque cero respecto de cierto punto. También puede tener torque no nulo respecto de otro origen.

8.5 Relación entre torque y momento angular

Para una partícula de masa constante:

Como dr/dt = v y p = mv, el primer producto es v × mv = 0. Además, dp/dt = F. Por lo tanto:

Esta relación supone un origen fijo en un sistema de referencia inercial.

8.6 Sumar torques en un sistema de partículas

Para el sistema completo sumamos las ecuaciones de todas las partículas:

Los torques pueden provenir de fuerzas externas o de interacciones internas. Debemos analizar qué ocurre con los pares internos al realizar la suma global.

8.7 Cancelación de torques internos

Consideremos un par interno F_i→j = −F_j→i. La suma de sus torques respecto de O es:

Si la fuerza interna está alineada con la recta que une las partículas, el producto vectorial es cero. Esto ocurre en interacciones centrales ideales y permite cancelar el torque interno total.

La tercera ley en forma de fuerzas opuestas no basta por sí sola: también importa que sean colineales para que el par no introduzca un torque interno neto.

8.8 Ecuación global del momento angular

Bajo las condiciones anteriores, la suma de torques internos se anula y queda:

Esta ecuación es el balance angular del sistema. El torque externo resultante respecto del mismo origen determina la rapidez con que cambia el momento angular total.

8.9 Impulso angular

Durante un intervalo, el efecto acumulado del torque externo es el impulso angular:

Si el torque es constante, ΔL = τ_extΔt. Las unidades N·m·s equivalen a kg·m²/s, unidad del momento angular.

8.10 Condición de conservación

El momento angular total respecto de O se conserva cuando el impulso angular externo resultante es cero:

Una condición suficiente es τ_ext = 0 durante todo el intervalo, pero torques variables también pueden acumular un impulso angular total nulo.

Puede conservarse una componente de L aunque otras cambien, si la componente correspondiente del torque externo es cero.

8.11 El origen debe ser el mismo

El torque y el momento angular del balance deben calcularse respecto del mismo punto. Además, el origen debe ser apropiado para aplicar directamente dL/dt = τ.

Dos elecciones habituales son:

• un punto fijo en un marco inercial;
• el centro de masa, con el tratamiento correspondiente para el movimiento global.

Cambiar de origen a mitad del cálculo mezcla magnitudes diferentes y puede producir conclusiones falsas sobre conservación.

8.12 Intercambio entre subsistemas

Dos partes de un sistema pueden ejercer torques internos opuestos. Una gana momento angular mientras la otra pierde la misma cantidad:

Un motor interno entre dos rotores puede hacerlos girar en sentidos opuestos sin cambiar el momento angular total del sistema aislado.

8.13 Cambiar la distribución de masa

Para partículas que giran juntas alrededor de un eje con velocidad angular ω:

Si el torque externo es nulo, L se conserva. Al acercar masa al eje, I disminuye y |ω| aumenta. Al alejarla, I aumenta y |ω| disminuye.

Este cambio de rapidez angular surge de una redistribución interna; no requiere crear momento angular.

8.14 Momento angular y energía cinética

Para una rotación simple, K = ½Iω² y L = Iω. Si L se conserva:

Al disminuir I, la energía cinética aumenta. Esa energía adicional proviene del trabajo interno realizado al mover las masas hacia el eje.

Por eso conservar momento angular no implica conservar energía cinética. Son balances diferentes y deben analizarse por separado.

8.15 Fuerzas externas con torque nulo

Una fuerza externa puede cambiar la cantidad de movimiento lineal y no cambiar el momento angular respecto de un punto si su línea de acción pasa por él.

En una partícula atraída por una fuerza central dirigida siempre hacia O, el torque respecto de O es cero. Su cantidad de movimiento cambia de dirección, pero su momento angular respecto del centro se conserva.

Esto muestra que conservación lineal y conservación angular tienen condiciones distintas.

8.16 Sistemas abiertos

Si materia atraviesa la frontera, transporta momento angular. El cambio dentro de una región depende tanto de los torques externos como del flujo angular que entra y sale.

Un aspersor, una turbina o un chorro curvado pueden intercambiar momento angular con el fluido. Para analizarlos no basta la ecuación de un sistema cerrado sin términos de transporte.

En este tema nos limitamos a sistemas materiales cerrados.

8.17 Comprobaciones y errores frecuentes

• Origen coherente: τ y L deben referirse al mismo punto.
• Fuerza resultante no es torque: una resultante cero puede coexistir con un par de fuerzas y torque no nulo.
• Torque cero no significa fuerza cero: una fuerza radial puede no producir torque.
• Conservación no significa reposo: L puede conservar un valor distinto de cero.
• Torques internos: su cancelación debe justificarse mediante la geometría de las fuerzas.
• Energía: no debe inferirse su conservación solamente porque L se conserve.

8.18 Modelar el balance angular con JavaScript

Dos subsistemas reciben torques internos opuestos. Un torque externo adicional actúa sobre A. El momento angular total debe cambiar solamente por el torque externo.

function estadoAngular({
  inerciaA,
  inerciaB,
  torqueInterno,
  torqueExterno,
  tiempo
}) {
  const torqueA = torqueInterno + torqueExterno;
  const torqueB = -torqueInterno;

  const momentoA = torqueA * tiempo;
  const momentoB = torqueB * tiempo;

  return {
    omegaA: momentoA / inerciaA,
    omegaB: momentoB / inerciaB,
    momentoTotal: momentoA + momentoB,
    cambioEsperado: torqueExterno * tiempo
  };
}

console.log(estadoAngular({
  inerciaA: 2,
  inerciaB: 3,
  torqueInterno: 1.2,
  torqueExterno: 0,
  tiempo: 1
}));
// omegaA = 0.6 rad/s, omegaB = -0.4 rad/s
// Ltotal = 0 kg·m²/s

El modelo parte del reposo y usa torques constantes. La igualdad entre momentoTotal y cambioEsperado verifica el balance global.

8.19 Laboratorio interactivo: torques internos y externos

Los anillos A y B representan dos subsistemas coaxiales. Un mecanismo interno aplica torques opuestos. El torque externo, cuando existe, actúa sobre A.

El anillo celeste es A y el anillo azul es B. Las flechas curvas muestran sus sentidos de rotación; la flecha naranja representa el torque externo.

• Sistema aislado: cambiá el torque interno y comprobá que L total permanece en cero.
• Cambiá las inercias: los subsistemas adquieren velocidades angulares diferentes, pero momentos opuestos.
• Agregá torque externo: el cambio de L total coincide con τ_extt.
• Observá la energía: puede aumentar por la acción del mecanismo interno aunque L total se conserve.

8.20 Ejercicio propuesto

Dos rotores coaxiales parten del reposo. Sus momentos de inercia son I_A = 4 kg·m² e I_B = 6 kg·m². Un motor interno aplica durante 5 s un torque de +3 N·m sobre A y −3 N·m sobre B. Simultáneamente, el entorno aplica un torque constante de +2 N·m sobre B.

1. Calculá el impulso angular interno sobre cada rotor.
2. Calculá el impulso angular externo.
3. Determiná L_A, L_B y L_total al final.
4. Calculá las velocidades angulares finales.
5. Explicá por qué el momento angular total no se conserva.

const inerciaA = 4;
const inerciaB = 6;
const torqueInternoA = 3;
const torqueInternoB = -3;
const torqueExternoB = 2;
const tiempo = 5;

const momentoA =
  torqueInternoA * tiempo;
const momentoB =
  (torqueInternoB + torqueExternoB) * tiempo;
const momentoTotal = momentoA + momentoB;

const omegaA = momentoA / inerciaA;
const omegaB = momentoB / inerciaB;

console.log({
  momentoA,
  momentoB,
  momentoTotal,
  omegaA,
  omegaB
});

8.21 Ideas para recordar

• El torque respecto de O es τ_O = r × F.
• Su unidad es N·m y su dirección se obtiene con la regla de la mano derecha.
• Una fuerza cuya línea de acción pasa por el origen tiene torque nulo respecto de él.
• El balance global es τ_ext = dL/dt.
• El impulso angular externo satisface ΔL = ∫τ_extdt.
• El momento angular se conserva cuando el impulso angular externo resultante es cero.
• Los torques internos se cancelan para pares opuestos y colineales.
• Los subsistemas pueden intercambiar momento angular sin cambiar el total.
• Conservar momento angular no implica conservar energía cinética.
• En sistemas abiertos debe incluirse el momento angular transportado por la materia.