9. Energía cinética: movimiento del centro de masa y movimiento interno

9.1 Una energía, dos niveles de movimiento

Un conjunto de partículas puede trasladarse mientras sus partes giran, vibran o se separan. La energía cinética total incluye todos esos movimientos, pero conviene distinguir cuánto corresponde al desplazamiento global y cuánto al movimiento interno.

Por ejemplo, una caja con objetos que se agitan puede avanzar sobre una cinta transportadora. La velocidad de la caja representa la traslación global; las velocidades de los objetos respecto de la caja representan actividad interna.

9.2 Energía cinética total del sistema

Para N partículas observadas desde un marco inercial, la energía cinética total es la suma:

La energía es escalar. Cada término es no negativo y depende del cuadrado del módulo de la velocidad de la partícula.

Esta suma es correcta, pero por sí sola no muestra cuánto movimiento pertenece al conjunto y cuánto ocurre dentro de él.

9.3 Velocidad global y velocidades relativas

La velocidad del centro de masa es:

Definimos la velocidad de cada partícula respecto del centro de masa:

Por lo tanto, cada velocidad puede escribirse como v_i = V + v′_i. El primer término es común a todo el sistema; el segundo describe el movimiento relativo.

9.4 Una propiedad clave de las velocidades relativas

Al ponderar las velocidades relativas por las masas obtenemos:

La cantidad de movimiento total medida desde el marco del centro de masa es cero. Las partículas pueden moverse, pero sus cantidades de movimiento relativas se compensan.

9.5 Desarrollar la energía cinética

Sustituimos v_i = V + v′_i:

El primer término se convierte en ½MV². El término cruzado es V·Σm_iv′_i y vale cero por la propiedad anterior.

9.6 Teorema de König para la energía cinética

El resultado es:

Esta descomposición suele llamarse teorema de König. Es exacta para un sistema de partículas y no exige que el sistema sea rígido.

9.7 Interpretación de los dos términos

El segundo término puede incluir rotación, vibración, expansión, contracción o movimientos desordenados.

9.8 Traslación pura

Si todas las partículas tienen la misma velocidad V, entonces v′_i = 0 para todas. No existe movimiento interno y:

Las distancias y orientaciones internas permanecen constantes. El sistema se desplaza sin girar ni deformarse.

9.9 Marco del centro de masa

Un observador que se mueve con velocidad V respecto del marco original ve al centro de masa en reposo. Para ese observador:

La energía cinética de traslación desaparece al cambiar de marco, pero el movimiento relativo permanece. Por eso K depende del observador, mientras que K_CM caracteriza la actividad interna mecánica independientemente de una traslación común.

9.10 Dos partículas y masa reducida

Para dos partículas definimos la velocidad relativa u = v_A − v_B y la masa reducida:

Las velocidades pueden recuperarse a partir de V y u:

La energía toma la forma:

9.11 Ejemplo con dos partículas

Sean m_A = 2 kg, m_B = 3 kg, V = 1 m/s y u = 2 m/s en una dimensión.

M = 5 kg y μ = (2·3)/5 = 1,2 kg. Las velocidades individuales son:

La energía de traslación es ½·5·1² = 2,5 J y la relativa es ½·1,2·2² = 2,4 J. La energía total es 4,9 J.

9.12 Rotación alrededor del centro de masa

Si las partículas mantienen sus distancias al centro de masa y giran con la misma velocidad angular ω, cada rapidez relativa es v′_i = r′_iω. Entonces:

I_CM = Σm_ir′_i² es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el centro de masa.

9.13 Sistemas deformables

Si las distancias entre partículas cambian, la energía relativa no es solamente rotacional. Puede incluir oscilaciones, expansiones y movimientos desordenados.

El teorema de König sigue siendo válido porque utiliza las velocidades reales relativas al centro de masa. La expresión ½Iω², en cambio, describe solamente una rotación con las condiciones apropiadas.

9.14 Energía cinética relativa y energía interna

La energía cinética relativa es una parte mecánica calculable a partir de las velocidades de las partículas del modelo. La energía interna termodinámica es un concepto más amplio: incluye movimientos microscópicos, rotaciones y vibraciones moleculares, interacciones y otras formas internas.

En un modelo de partículas macroscópicas, no debemos llamar automáticamente “energía interna” a toda K_relativa. Conviene especificar qué grados de libertad representa el modelo.

9.15 Trabajo externo e interno

El trabajo de la fuerza externa resultante asociado al desplazamiento del centro de masa puede cambiar K_traslación. Los trabajos de fuerzas internas y externas también pueden modificar K_relativa o transformar energía potencial.

Una fuerza externa uniforme aplicada de igual manera a todas las masas puede acelerar el conjunto sin alterar el movimiento relativo. Una fuerza que actúa de forma diferente sobre sus partes puede cambiar ambos términos.

La descomposición identifica dónde aparece la energía cinética, pero el balance de energía debe incluir todas las transferencias y formas relevantes.

9.16 Aplicación a colisiones y separaciones

En una colisión, la energía de traslación del centro de masa está determinada por P total. Si el impulso externo es despreciable, V permanece constante y K_traslación no cambia.

Los cambios de energía cinética ocurren entonces en K_relativa. Una colisión inelástica reduce movimiento relativo y transforma energía; una separación impulsada por un resorte puede aumentarlo utilizando energía potencial almacenada.

El marco del centro de masa resulta especialmente útil porque elimina la traslación común y deja visible la parte que puede transformarse durante la interacción.

9.17 Comprobaciones y casos límite

• Unidades: ambos términos deben expresarse en joules.
• No negatividad: K, K_traslación y K_relativa no pueden ser negativas.
• Identidad: K calculada directamente debe coincidir con la suma descompuesta dentro de la tolerancia numérica.
• Traslación pura: si todas las velocidades son iguales, K_relativa = 0.
• Centro de masa en reposo: si V = 0, K = K_relativa.
• Cambio de marco: sumar la misma velocidad a todas las partículas cambia la parte de traslación, no las velocidades relativas.

9.18 Calcular la descomposición con JavaScript

El algoritmo calcula primero masa y velocidad del centro de masa; después recorre nuevamente las partículas para obtener ambas contribuciones.

function descomponerEnergiaCinetica(particulas) {
  const masaTotal = particulas.reduce(
    (suma, particula) => suma + particula.masaKg,
    0
  );

  const velocidadCM = particulas.reduce(
    (suma, particula) => ({
      x: suma.x +
        particula.masaKg * particula.velocidadMps.x /
        masaTotal,
      y: suma.y +
        particula.masaKg * particula.velocidadMps.y /
        masaTotal
    }),
    { x: 0, y: 0 }
  );

  const traslacionJ =
    0.5 * masaTotal *
    (velocidadCM.x ** 2 + velocidadCM.y ** 2);

  const relativaJ = particulas.reduce(
    (suma, particula) => {
      const vxRel =
        particula.velocidadMps.x - velocidadCM.x;
      const vyRel =
        particula.velocidadMps.y - velocidadCM.y;
      return suma +
        0.5 * particula.masaKg *
        (vxRel ** 2 + vyRel ** 2);
    },
    0
  );

  return {
    masaTotal,
    velocidadCM,
    traslacionJ,
    relativaJ,
    totalJ: traslacionJ + relativaJ
  };
}

const ejemplo = [
  { masaKg: 2, velocidadMps: { x: 2.2, y: 0 } },
  { masaKg: 3, velocidadMps: { x: 0.2, y: 0 } }
];

console.log(descomponerEnergiaCinetica(ejemplo));
// M = 5 kg; Vcm = (1, 0) m/s; K = 2.5 J + 2.4 J

Una prueba útil compara totalJ con la suma directa Σ½mv² para distintos datos, incluidos casos con velocidades negativas o masas muy diferentes.

9.19 Laboratorio interactivo: traslación y velocidad relativa

Dos partículas se mueven sobre una recta. V controla la velocidad del centro de masa y u = v_A − v_B controla el movimiento relativo.

La marca amarilla indica el centro de masa. Las flechas sólidas representan las velocidades observadas; las flechas discontinuas muestran las velocidades relativas al centro de masa.

• Traslación pura: u = 0, ambas partículas tienen velocidad V y K relativa es cero.
• Marco del CM: V = 0, el centro queda fijo y toda la energía cinética es relativa.
• Cambiá V: solo cambia la energía de traslación.
• Cambiá u: solo cambia la energía relativa, que depende de u².

9.20 Ejercicio propuesto

Dos partículas de 4 kg y 6 kg se mueven en una dimensión con velocidades v_A = 5 m/s y v_B = −1 m/s.

1. Calculá la masa total y la velocidad del centro de masa.
2. Calculá las velocidades relativas al centro de masa.
3. Calculá la energía cinética total directamente.
4. Calculá las energías de traslación y relativa.
5. Comprobá que ambas formas de calcular K coinciden.

const particulas = [
  { masa: 4, velocidad: 5 },
  { masa: 6, velocidad: -1 }
];

const masaTotal = particulas.reduce(
  (suma, particula) => suma + particula.masa,
  0
);
const velocidadCM = particulas.reduce(
  (suma, particula) =>
    suma + particula.masa * particula.velocidad,
  0
) / masaTotal;

const traslacion =
  0.5 * masaTotal * velocidadCM ** 2;
const relativa = particulas.reduce(
  (suma, particula) =>
    suma +
    0.5 * particula.masa *
      (particula.velocidad - velocidadCM) ** 2,
  0
);

console.log({
  velocidadCM,
  traslacion,
  relativa,
  total: traslacion + relativa
});
// { velocidadCM: 1.4, traslacion: 9.8, relativa: 43.2, total: 53 }

9.21 Ideas para recordar

• La energía cinética total es K = Σ½m_iv_i².
• Cada velocidad puede separarse en v_i = V + v′_i.
• Las velocidades relativas cumplen Σm_iv′_i = 0.
• El teorema de König establece K = ½MV² + Σ½m_iv′_i².
• La primera parte corresponde a la traslación global y la segunda al movimiento respecto del centro de masa.
• En el marco del centro de masa, la energía cinética observada es solamente la parte relativa.
• Para dos partículas, K_relativa = ½μu².
• La rotación alrededor del centro de masa es un caso particular de movimiento relativo.
• La energía cinética relativa no debe confundirse automáticamente con toda la energía interna termodinámica.