12. Aplicar la segunda ley por componentes

12.1 De la ecuación vectorial a ecuaciones escalares

La segunda ley de Newton se expresa como ΣF = m·a. En dos dimensiones, esta igualdad vectorial exige que coincidan por separado las componentes sobre cada eje:

No son dos leyes diferentes. Son las dos proyecciones de una misma relación física. Juntas determinan la aceleración vectorial del sistema.

12.2 Por qué conviene trabajar por componentes

Las fuerzas pueden apuntar en direcciones distintas y no es correcto sumar solamente sus módulos. Al proyectarlas sobre ejes comunes, cada suma se transforma en una operación algebraica con signos.

El método permite:

• combinar cualquier cantidad de fuerzas;
• separar movimientos independientes sobre ejes perpendiculares;
• incorporar restricciones como ay = 0;
• resolver incógnitas diferentes en cada ecuación;
• traducir el procedimiento directamente a un algoritmo.

12.3 Procedimiento general

El orden importa. Si escribimos ecuaciones antes de fijar el sistema y los ejes, los signos y las fuerzas incluidas quedan ambiguos.

12.4 Una dimensión como caso particular

Sobre una caja de 5 kg actúan 22 N hacia la derecha y 7 N hacia la izquierda. Elegimos +x hacia la derecha:

No hace falta una ecuación vertical si el modelo solo contiene una dimensión. Si dibujamos también peso y normal, la ecuación y explicará por qué no existe aceleración vertical, pero no cambiará el cálculo horizontal.

12.5 Ejemplo con fuerzas dadas mediante componentes

Una partícula de 4 kg recibe tres fuerzas:

Sumamos y aplicamos la segunda ley en cada eje:

La aceleración es a = (2, 1) m/s². Su módulo es √5 ≈ 2,24 m/s².

12.6 Cuando las fuerzas se expresan con módulo y ángulo

Primero convertimos cada fuerza a componentes. Para un ángulo medido desde +x en sentido antihorario:

Una fuerza de 20 N a 30° sobre una masa de 2 kg, sin otras fuerzas en el modelo, produce:

La aceleración conserva la orientación de la fuerza resultante porque ambas componentes se dividen por la misma masa positiva.

12.7 Restricciones de movimiento

Un objeto apoyado puede tener ay = 0 aunque existan fuerzas verticales. La superficie impide el movimiento perpendicular mientras se mantiene el contacto.

Esta ecuación no debe descartarse: permite relacionar fuerzas verticales y hallar una incógnita, como la acción normal de la superficie. La aceleración nula en un eje no implica ausencia de fuerzas sobre ese eje; implica que sus componentes se equilibran.

12.8 Aceleración y velocidad pueden tener componentes diferentes

La segunda ley determina ax y ay, no las componentes de la velocidad. Un objeto puede tener vy = 0 en un instante y ay ≠ 0; inmediatamente después comenzará a adquirir velocidad vertical.

También puede cumplirse vx > 0 y ax < 0. En ese caso se mueve hacia +x mientras su componente horizontal de velocidad disminuye.

12.9 Ejes rotados

Las ecuaciones por componentes funcionan en cualquier base ortonormal. Si elegimos ejes x′ e y′ rotados:

En una superficie inclinada suele convenir x′ paralelo e y′ perpendicular. La condición de contacto puede expresarse como ay′ = 0, mientras el movimiento ocurre sobre x′. No debemos mezclar en una misma ecuación componentes calculadas en bases diferentes.

12.10 Ejemplo completo en dos dimensiones

Una partícula de 3 kg recibe una fuerza de 12 N a 0° y otra de 9 N a 90°. Tomamos los ejes habituales:

Si parte del reposo en el origen y las fuerzas permanecen constantes, después de 2 s estará en x = 8 m, y = 6 m, usando x = ½axt² e y = ½ayt².

12.11 Actividad interactiva: fuerzas, componentes y trayectoria

Configurá dos fuerzas externas, la masa y el tiempo. El laboratorio muestra los vectores desde el origen, las sumas por eje, la aceleración y la trayectoria desde el reposo bajo fuerzas constantes.

Probá fuerzas iguales con ángulos separados por 180°: la resultante, la aceleración y el desplazamiento desde el reposo se hacen cero. Luego duplicá la masa y comprobá que cada componente de aceleración se reduce a la mitad.

12.12 Resolver por componentes con JavaScript

Una función general puede sumar cualquier cantidad de fuerzas y dividir cada componente por la masa:

function resolverSegundaLey(fuerzasN, masaKg) {
  if (!Number.isFinite(masaKg) || masaKg <= 0) {
    throw new RangeError("La masa debe ser finita y positiva");
  }

  const resultanteN = fuerzasN.reduce(
    (suma, fuerza) => ({
      x: suma.x + fuerza.x,
      y: suma.y + fuerza.y
    }),
    { x: 0, y: 0 }
  );

  return {
    resultanteN,
    aceleracionMps2: {
      x: resultanteN.x / masaKg,
      y: resultanteN.y / masaKg
    }
  };
}

const solucion = resolverSegundaLey([
  { x: 12, y: 0 },
  { x: 0, y: 9 }
], 3);

console.log(solucion);

12.13 Incorporar fuerzas expresadas en forma polar

Podemos agregar una función que convierta módulo y ángulo antes de resolver:

function desdePolar(moduloN, anguloGrados) {
  const anguloRad = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return {
    x: moduloN * Math.cos(anguloRad),
    y: moduloN * Math.sin(anguloRad)
  };
}

const fuerzasN = [
  desdePolar(12, 0),
  desdePolar(9, 90)
];

const resultanteN = fuerzasN.reduce(
  (suma, fuerza) => ({
    x: suma.x + fuerza.x,
    y: suma.y + fuerza.y
  }),
  { x: 0, y: 0 }
);
const masaKg = 3;

console.log({
  axMps2: resultanteN.x / masaKg,
  ayMps2: resultanteN.y / masaKg
});

El pequeño residuo numérico de cos(90°) puede limpiarse con una tolerancia al presentar el resultado.

12.14 Verificaciones por eje

Una comprobación global puede ocultar un signo incorrecto. Conviene revisar cada ecuación:

• todas las componentes de la ecuación x están expresadas sobre el mismo eje;
• todos los signos coinciden con los sentidos declarados;
• cada fuerza aparece una sola vez, completa o descompuesta;
• la unidad de ambos miembros es N;
• ax tiene el signo de ΣFx y lo mismo ocurre en y;
• las restricciones físicas, como ay = 0, se aplican al eje correcto.

Finalmente reconstruimos el módulo y el ángulo para comprobar que la aceleración apunta como la fuerza resultante.

12.15 Errores frecuentes

• Usar el módulo total en cada eje: deben emplearse las componentes correspondientes.
• Sumar componentes x con componentes y: cada eje produce una ecuación independiente.
• Olvidar signos negativos: el módulo es positivo, pero una componente puede ser negativa.
• Duplicar una fuerza: no se suma el vector original junto con sus componentes.
• Suponer que ay = 0 elimina las fuerzas verticales: establece que se equilibran.
• Mezclar ejes globales y rotados: todas las componentes de una ecuación deben pertenecer a la misma base.
• Confundir componentes de aceleración con componentes de velocidad: describen magnitudes diferentes.
• Redondear demasiado pronto: conviene conservar precisión hasta el resultado final.

12.16 Ejercicios propuestos

1. Una masa de 2 kg recibe una resultante (6, −8) N. Calculá sus componentes de aceleración y su módulo.
2. Sobre una masa de 5 kg actúan (15, 5) N y (−5, 10) N. Hallá la resultante y la aceleración.
3. Una fuerza de 30 N actúa a 120° sobre una masa de 3 kg. Calculá ax y ay.
4. Un objeto apoyado tiene peso de 40 N hacia abajo y aceleración vertical nula. Calculá la componente vertical total que deben aportar las demás fuerzas.
5. Una partícula parte del reposo con aceleración constante (2, −1) m/s². Determiná su posición después de 3 s si comienza en el origen.
6. Explicá por qué dos ecuaciones construidas con ejes rotados correctamente deben predecir el mismo vector físico.
7. Extendé resolverSegundaLey para aceptar y devolver también una componente z.

function resolver3D(fuerzasN, masaKg) {
  if (masaKg <= 0) throw new RangeError("Masa inválida");
  const total = fuerzasN.reduce(
    (suma, fuerza) => ({
      x: suma.x + fuerza.x,
      y: suma.y + fuerza.y,
      z: suma.z + fuerza.z
    }),
    { x: 0, y: 0, z: 0 }
  );
  return {
    x: total.x / masaKg,
    y: total.y / masaKg,
    z: total.z / masaKg
  };
}

console.log(resolver3D([{ x: 2, y: 4, z: 6 }], 2));

12.17 Ideas para recordar

• La segunda ley vectorial produce una ecuación escalar independiente por eje.
• Las fuerzas deben proyectarse sobre una misma base antes de sumarlas.
• Los signos dependen de los sentidos positivos elegidos.
• Una aceleración nula en un eje significa fuerzas equilibradas sobre ese eje.
• Velocidad y aceleración no tienen que poseer las mismas componentes ni sentidos.
• Los ejes rotados son válidos si forman una base ortonormal y se usan consistentemente.
• Resolver por componentes se traduce naturalmente a estructuras vectoriales en JavaScript.

En el próximo tema resolveremos problemas directos e inversos de dinámica.