13. Problemas directos e inversos de dinámica

13.1 Una ecuación, distintas preguntas

La relación ΣF = m·a puede utilizarse en varios sentidos. A veces conocemos las interacciones y queremos predecir la aceleración. Otras veces conocemos cómo debe moverse el sistema y necesitamos calcular qué fuerza lo produce.

La diferencia entre problema directo e inverso no está en la ley física, sino en cuáles datos se conocen y qué magnitud se busca.

13.2 Reconocer datos e incógnitas

Antes de despejar, conviene organizar la información en una tabla. Cada dato debe incluir símbolo, valor, unidad, orientación y sistema al que pertenece.

Una velocidad conocida no reemplaza a la aceleración. Si el problema informa posiciones o velocidades en distintos instantes, primero puede ser necesario usar cinemática para obtener a.

13.3 Ruta común de resolución

El procedimiento es el mismo para problemas directos e inversos. Cambia el término aislado al resolver la ecuación.

13.4 Problema directo en una dimensión

Una caja de 6 kg recibe una fuerza de 28 N hacia la derecha y otra de 10 N hacia la izquierda. Se pide la aceleración.

La aceleración es 3 m/s² hacia la derecha. Este resultado no informa por sí solo la velocidad actual: la caja podría estar avanzando, detenida instantáneamente o moviéndose hacia la izquierda.

13.5 Del problema directo a la evolución cinemática

Si la resultante permanece constante, la aceleración calculada también es constante y podemos conectarla con la cinemática. Para la caja anterior, si x₀ = 2 m, v₀ = −1 m/s y t = 2 s:

La dinámica aporta la aceleración; las condiciones iniciales y el tiempo permiten calcular velocidad y posición. Si las fuerzas cambian, ya no podemos usar directamente estas fórmulas de aceleración constante para todo el intervalo.

13.6 Problema directo en dos dimensiones

Una partícula de 5 kg recibe fuerzas (18, 4) N, (−3, 6) N y (0, −5) N.

El módulo es √10 ≈ 3,16 m/s² y el ángulo aproximado es 18,43° desde +x.

13.7 Problema inverso: hallar la resultante

Un sistema de 1200 kg debe acelerar a 2 m/s² hacia la derecha. ¿Qué resultante externa se necesita?

La respuesta es la resultante requerida, no necesariamente una única fuerza aplicada. En una situación real, la fuerza propulsora podría tener que superar otras fuerzas opuestas para que la suma final sea 2400 N.

13.8 Problema inverso: hallar una fuerza aplicada

Una caja de 10 kg debe acelerar a 1,5 m/s² hacia la derecha. Una fuerza resistiva de 4 N actúa hacia la izquierda. ¿Qué fuerza aplicada hacia la derecha se necesita?

Un error frecuente sería responder 15 N. Ese es el valor de la resultante requerida; la fuerza aplicada debe ser mayor para compensar la oposición de 4 N.

13.9 Problema inverso: hallar la masa

Una resultante de 24 N produce una aceleración de 3 m/s² en su misma dirección. La masa es:

La masa debe resultar positiva. En un problema unidimensional, fuerza y aceleración llevan el mismo signo, por lo que su cociente es positivo. Si aparecen signos opuestos, el planteo o los datos son incompatibles con la segunda ley para ese sistema.

13.10 El caso especial de aceleración nula

Si a = 0, no podemos calcular la masa mediante m = FR/a. La segunda ley solo indica:

Cualquier masa positiva puede ser compatible con resultante cero. Sin información adicional, el problema de hallar la masa queda indeterminado.

En cambio, la condición de aceleración nula sí permite hallar una fuerza desconocida que equilibre a las demás. Si actúan 7 N hacia la izquierda, se necesitan 7 N hacia la derecha para conservar la velocidad.

13.11 Reconstruir aceleración desde datos cinemáticos

Algunos problemas inversos no entregan a directamente. Si el movimiento tiene aceleración constante, podemos obtenerla de velocidades e intervalos:

Una masa de 4 kg pasa de 2 m/s a 8 m/s en 3 s:

La conclusión supone que la aceleración es constante durante el intervalo. Con datos variables o ruidosos, la aceleración media no necesariamente coincide con la instantánea.

13.12 Datos suficientes, insuficientes o incompatibles

Antes de calcular debemos preguntar si los datos determinan una solución única:

Agregar números no siempre resuelve una falta de información. Deben aportar relaciones independientes entre las incógnitas.

13.13 Actividad interactiva: cambiar la incógnita

Una fuerza aplicada actúa hacia la derecha y una fuerza opuesta, hacia la izquierda. Elegí el tipo de problema. Los controles muestran los datos y el laboratorio calcula la incógnita correspondiente.

En el modo “fuerza aplicada”, la aceleración y la fuerza opuesta son datos. En “masa”, el programa utiliza las fuerzas y una aceleración no nula; si la combinación produciría una masa negativa o una división por cero, informa que los datos son incompatibles o insuficientes.

13.14 Implementar varios modos en JavaScript

Podemos representar cada tipo mediante una función específica y conservar una convención de signos común:

function resolverDirecto(fuerzaAplicadaN, fuerzaOpuestaN, masaKg) {
  const resultanteN = fuerzaAplicadaN - fuerzaOpuestaN;
  return { resultanteN, aceleracionMps2: resultanteN / masaKg };
}

function calcularFuerzaAplicada(masaKg, aceleracionMps2,
                                fuerzaOpuestaN) {
  return masaKg * aceleracionMps2 + fuerzaOpuestaN;
}

function calcularMasa(fuerzaAplicadaN, fuerzaOpuestaN,
                      aceleracionMps2) {
  if (Math.abs(aceleracionMps2) < 1e-12) {
    throw new RangeError("La aceleración no permite determinar la masa");
  }
  const masaKg = (fuerzaAplicadaN - fuerzaOpuestaN) / aceleracionMps2;
  if (masaKg <= 0) throw new RangeError("Datos incompatibles");
  return masaKg;
}

console.log(resolverDirecto(20, 5, 5));
console.log(calcularFuerzaAplicada(10, 1.5, 4));
console.log(calcularMasa(20, 5, 3));

13.15 Verificación del problema inverso

La mejor comprobación consiste en sustituir la respuesta en el problema directo. Si calculamos una fuerza aplicada de 19 N para una masa de 10 kg con 4 N opuestos:

Además debemos revisar:

• que la masa sea positiva y finita;
• que fuerza y aceleración resultantes tengan el mismo sentido;
• que las unidades finales correspondan a la incógnita;
• que la respuesta satisfaga restricciones y supuestos;
• que los casos límite tengan sentido físico.

13.16 Errores frecuentes

• Comenzar con un despeje sin definir signos: la ecuación debe surgir del DCL y los ejes.
• Confundir fuerza aplicada con resultante: las demás fuerzas también contribuyen a la suma.
• Usar velocidad donde se necesita aceleración: son magnitudes diferentes.
• Dividir por aceleración cero para hallar masa: el problema queda indeterminado.
• Aceptar una masa negativa: indica datos incompatibles o signos mal asignados.
• Aplicar fórmulas de aceleración constante cuando la fuerza cambia: debe verificarse el supuesto temporal.
• Resolver una incógnita vectorial con una sola ecuación escalar: pueden faltar componentes o relaciones.
• No sustituir la respuesta: se pierde una comprobación sencilla y potente.

13.17 Ejercicios propuestos

1. Una masa de 8 kg recibe 30 N hacia la derecha y 14 N hacia la izquierda. Calculá su aceleración.
2. Un objeto de 12 kg debe acelerar a 2,5 m/s² hacia la izquierda. Determiná la resultante con +x hacia la derecha.
3. Una fuerza opuesta de 6 N actúa sobre una caja de 4 kg. ¿Qué fuerza hacia la derecha produce 3 m/s² hacia la derecha?
4. Fuerzas de 25 N y 5 N actúan en sentidos opuestos y producen 4 m/s² en el sentido de la primera. Calculá la masa.
5. Una masa de 3 kg pasa de −2 m/s a 7 m/s en 3 s con aceleración constante. Calculá la resultante.
6. Explicá por qué FR = 0 y a = 0 no alcanzan para hallar la masa.
7. Escribí pruebas para las tres funciones JavaScript de la sección 13.14.

function resolverDirecto(fuerzaAplicadaN, fuerzaOpuestaN, masaKg) {
  const resultanteN = fuerzaAplicadaN - fuerzaOpuestaN;
  return { resultanteN, aceleracionMps2: resultanteN / masaKg };
}

function calcularFuerzaAplicada(masaKg, aceleracionMps2,
                                fuerzaOpuestaN) {
  return masaKg * aceleracionMps2 + fuerzaOpuestaN;
}

function calcularMasa(fuerzaAplicadaN, fuerzaOpuestaN,
                      aceleracionMps2) {
  if (Math.abs(aceleracionMps2) < 1e-12) {
    throw new RangeError("La aceleración no permite determinar la masa");
  }
  const masaKg = (fuerzaAplicadaN - fuerzaOpuestaN) / aceleracionMps2;
  if (masaKg <= 0) throw new RangeError("Datos incompatibles");
  return masaKg;
}

console.assert(resolverDirecto(30, 14, 8).aceleracionMps2 === 2);
console.assert(calcularFuerzaAplicada(4, 3, 6) === 18);
console.assert(calcularMasa(25, 5, 4) === 5);

try {
  calcularMasa(10, 10, 0);
  console.assert(false, "Debió rechazar aceleración nula");
} catch (error) {
  console.log(error.message);
}

13.18 Ideas para recordar

• Un problema directo predice aceleración a partir de fuerzas y masa.
• Un problema inverso reconstruye resultante, fuerza desconocida o masa desde el movimiento.
• Fuerza aplicada y fuerza resultante no son necesariamente iguales.
• Los datos cinemáticos pueden usarse para obtener la aceleración requerida.
• Aceleración nula no permite hallar masa a partir de m = F/a.
• Una masa negativa señala datos incompatibles o una convención de signos incorrecta.
• Todo resultado inverso debe comprobarse sustituyéndolo en el problema directo.

En el próximo tema estudiaremos la tercera ley de Newton: pares de acción y reacción.