17. Tensión en cuerdas ideales

17.1 La cuerda como transmisora de una interacción

Podemos arrastrar una caja tirando de una cuerda o sostener una lámpara mediante un cable. La mano y la caja no necesitan tocarse directamente: cada extremo interactúa con la cuerda y esta transmite el efecto entre ellos.

La fuerza ejercida por una cuerda estirada sobre un cuerpo unido a ella se denomina tensión. Es una fuerza de contacto, aunque en un diagrama simplificado la dibujemos en el punto de unión.

17.2 Dirección y sentido de la tensión

La geometría de la cuerda determina la línea de acción. En un tramo recto, el vector tensión es paralelo al tramo. Sobre el objeto situado en un extremo, apunta desde el objeto hacia el interior de la cuerda.

Si la cuerda cambia de dirección, por ejemplo al rodear un soporte, también cambia la dirección del vector local. La tensión no tiene una dirección absoluta independiente de la cuerda.

17.3 Una cuerda tira, pero no empuja

Una cuerda flexible puede transmitir un tirón cuando está estirada. Si intentamos usarla para empujar, se curva o queda floja. Por eso su módulo satisface:

Un resultado algebraico T < 0 indica que la hipótesis de cuerda tensa no es compatible con la situación. Debemos establecer T = 0, considerar la cuerda floja y volver a analizar el movimiento sin esa restricción.

Una barra rígida ideal es diferente: puede ejercer tracción o compresión. No conviene reemplazar indistintamente una cuerda por una barra.

17.4 El modelo de cuerda ideal

Una cuerda real tiene masa, puede estirarse, oscilar y romperse. Para concentrarnos en las leyes de Newton utilizaremos un modelo más sencillo:

“Ideal” no significa perfecta ni más resistente. Significa que ignoramos ciertos efectos para construir un modelo útil dentro de límites declarados.

17.5 Por qué la tensión es uniforme en una cuerda ideal

Aislemos un pequeño tramo recto de una cuerda ideal. Los segmentos vecinos tiran de sus extremos en sentidos opuestos. Como su masa es despreciable, una fuerza resultante finita no puede asociarse mediante ΣF = ma a una aceleración finita del tramo.

Repitiendo el razonamiento a lo largo de una misma cuerda ideal, sin elementos que alteren la transmisión, obtenemos un único módulo T. Los vectores de los extremos pueden apuntar en sentidos diferentes aunque sus módulos sean iguales.

17.6 Cuándo no podemos usar una única tensión

La igualdad anterior depende del modelo. No debe aplicarse automáticamente en estas situaciones:

• La cuerda posee una masa que no puede despreciarse.
• Hay rozamiento entre la cuerda y una superficie.
• Un dispositivo con masa o dinámica propia interrumpe el tramo.
• La cuerda es elástica y su deformación cambia de una región a otra.
• Se trata de cuerdas diferentes unidas entre sí.

En esos casos pueden existir módulos distintos. Las poleas y los sistemas de varios cuerpos se analizarán específicamente en los temas 22 y 23.

17.7 Tercera ley en los extremos de una cuerda

Si una cuerda tira de una caja con una fuerza Tcuerda→caja, la caja tira de la cuerda con una fuerza opuesta:

Esas dos fuerzas forman un par de acción y reacción porque actúan sobre cuerpos diferentes. En cambio, las fuerzas que la misma cuerda ejerce sobre dos objetos conectados no forman entre sí un par de tercera ley: cada una tiene su reacción correspondiente sobre la cuerda.

17.8 Cómo dibujar la tensión

1. Elegí un cuerpo como sistema y no incluyas la cuerda en él.
2. Localizá cada cuerda que está unida al cuerpo.
3. Dibujá un vector desde el punto de unión, paralelo al tramo correspondiente.
4. Orientá el vector alejándose del cuerpo y hacia la cuerda.
5. Asigná símbolos distintos hasta justificar qué tensiones tienen el mismo módulo.

En un diagrama de cuerpo libre de una partícula, todos los vectores suelen trasladarse a un punto común para facilitar la suma. Esa convención gráfica no cambia qué cuerpo ejerce cada fuerza.

17.9 Cuerpo suspendido en equilibrio

Una masa cuelga en reposo de una cuerda vertical. Sobre ella actúan la tensión hacia arriba y el peso hacia abajo. Tomando +y hacia arriba:

Para una masa de 5 kg y g = 9,81 m/s², la tensión vale 49,05 N. Esta igualdad surge del equilibrio y de que solo hay dos fuerzas verticales; no es la definición de tensión.

17.10 Cuerpo suspendido con aceleración vertical

Si el cuerpo acelera junto con el extremo de la cuerda, la segunda ley permite calcular la tensión. Conservando +y hacia arriba:

• Con aceleración hacia arriba, T > mg.
• Con aceleración nula, T = mg, aunque el cuerpo suba o baje con velocidad constante.
• Con aceleración hacia abajo menor que g, 0 < T < mg.
• Con ay = −g, el valor requerido es T = 0.

Si la ecuación exige una tensión negativa, la cuerda debe aflojarse y el cuerpo deja de acompañar el movimiento impuesto por su extremo.

17.11 Tirón horizontal sobre una superficie ideal

Un bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento y una cuerda horizontal ejerce la única fuerza en la dirección del movimiento. Entonces:

Si m = 8 kg y ax = 2 m/s², la tensión necesaria es T = 16 N. En vertical, el peso y la normal se equilibran por separado.

Cuando incorporemos rozamiento, la tensión ya no coincidirá con la fuerza resultante horizontal.

17.12 Cuerda oblicua y componentes

Si una cuerda forma un ángulo θ con el eje +x, su tensión puede expresarse por componentes:

Es el mismo vector T, no dos tensiones distintas. Cada componente interviene en la ecuación de su eje. Por ejemplo, al tirar oblicuamente de una caja apoyada, la componente vertical puede modificar la normal.

Antes de usar signos, conviene observar hacia qué sentido apunta cada componente en el sistema de coordenadas elegido.

17.13 Actividad interactiva: tensión y aceleración

Modificá la masa y la aceleración vertical solicitada. El laboratorio calcula la tensión necesaria para que el cuerpo acompañe a la cuerda y detecta cuándo esa condición exigiría que la cuerda empujara.

17.14 Representar una cuerda ideal con JavaScript

Podemos calcular la tensión requerida y comprobar si el modelo de cuerda tensa es posible:

function tensionVertical(masaKg, aceleracionY, gravedad = 9.81) {
  const requeridaN = masaKg * (gravedad + aceleracionY);
  const cuerdaTensa = requeridaN > 0;

  return {
    tensionN: Math.max(0, requeridaN),
    cuerdaTensa,
    aceleracionRealY: cuerdaTensa ? aceleracionY : -gravedad
  };
}

console.log(tensionVertical(5, 2));
// { tensionN: 59.05, cuerdaTensa: true, aceleracionRealY: 2 }

La función distingue la aceleración solicitada de la que realmente puede tener el cuerpo. Si se pidiera ay < −g, una cuerda tendría que empujar para mantener el vínculo; al no poder hacerlo, queda floja y el cuerpo entra en caída libre ideal.

Para construir un vector tensión a partir de una dirección unitaria:

function vectorTension(moduloN, direccionUnitaria) {
  if (moduloN < 0) throw new RangeError('La tensión no puede ser negativa');
  return {
    x: moduloN * direccionUnitaria.x,
    y: moduloN * direccionUnitaria.y
  };
}

console.log(vectorTension(20, { x: 0.8, y: 0.6 }));
// { x: 16, y: 12 }

17.15 Estrategia general de resolución

1. Elegí el cuerpo que vas a estudiar.
2. Identificá cada cuerda y comprobá si puede considerarse ideal y tensa.
3. Dibujá la tensión desde el cuerpo hacia la cuerda, siguiendo su dirección local.
4. Agregá el peso, la normal y las demás fuerzas externas.
5. Elegí ejes convenientes y aplicá la segunda ley por componentes.
6. Despejá T sin suponer previamente que vale mg.
7. Verificá unidades y la condición T ≥ 0.

17.16 Errores frecuentes

17.17 Ejercicios propuestos

1. Una lámpara de 3 kg cuelga en reposo de una cuerda vertical. Calculá la tensión con g = 9,81 m/s².
2. Una masa de 6 kg acelera verticalmente hacia arriba a 1,5 m/s². ¿Qué tensión ejerce la cuerda?
3. La misma masa acelera hacia abajo a 2 m/s². Calculá la tensión.
4. Un bloque de 10 kg acelera a 1,8 m/s² sobre una superficie horizontal sin rozamiento, tirado por una cuerda horizontal. Hallá T.
5. Una tensión de 50 N forma 40° con el eje +x. Calculá sus componentes.
6. Una ecuación obtenida suponiendo cuerda tensa da T = −7 N. Explicá la interpretación física correcta.

17.18 Ideas para recordar

• La tensión es la fuerza con que una cuerda tensa tira de un cuerpo.
• Su dirección es tangente a la cuerda y su sentido apunta hacia ella.
• Una cuerda ideal es inextensible, flexible y de masa despreciable.
• El módulo es uniforme a lo largo de una misma cuerda ideal cuando nada altera su transmisión.
• La tensión se calcula con la segunda ley; solo en casos particulares vale mg.
• Una cuerda no empuja: si el cálculo exige T < 0, queda floja y T = 0.

En el próximo tema analizaremos el rozamiento estático, una fuerza de contacto paralela a las superficies que se ajusta para impedir el deslizamiento hasta alcanzar un valor límite.